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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 69}
\lfoot{\small 06356}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 69 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{\Large PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Une entreprise possède $25$~véhicules, dont $15
$~utilitaires.

Exprimer la proportion d'utilitaires par rapport à l'ensemble des véhicules de l'entreprise sous la forme d'un pourcentage.&\\ \hline
\textbf{2.} &Calculer 30\,\% de $120$.&\\ \hline
\textbf{3.} &20\,\% des participants à un centre de vacances ont
moins de $10$~ans, ce qui correspond à $18$ enfants de 
moins de $10$~ans.

Combien le centre de vacances compte-t-il de participants au total ?&\\ \hline
\textbf{4.} &Calculer $\dfrac13 + \dfrac14 \times \dfrac65$ et donner le résultat sous la forme
d'une fraction irréductible.&\\ \hline
\textbf{5.} &Dresser le tableau de signes de $(2x - 6)(x + 8)$. &\\ \hline
\textbf{6.} &Écrire $\dfrac{10^5 \times 10^{-3}}{\left(10^4\right)^2}$ sous la forme d'une puissance de $10$.&\\ \hline
\textbf{7.} &La distance de la Terre à la Lune est d'environ
\np{384400000} mètres.

Donner sous forme scientifique l'écriture de cette distance en mètre.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|X|} \hline
Les trois questions suivantes portent sur la fonction $f$ dont la 
représentation graphique est donnée ci-contre.&\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture*}(-8,-10)(6,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8,-10)(6,8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-8}{6}{x 3 exp  x dup mul 3 mul add  28 x mul sub 60 sub 10 div}
\uput[r](-7,-9){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|X|} \hline
\textbf{8.} &Déterminer $f(-5)$.&\\ \hline
\textbf{9.} & Combien $-5$ a-t-il d'antécédents par la fonction $f$ ?&\\ \hline
\textbf{10.} & Résoudre l'équation $f(x) = 0$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\Large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Le nombre d'habitants en France était de \np{66977703} au 1\up{er} janvier 2019 et de \np{67063703} au 1\up{er} janvier 2020 selon les chiffres de l'INSEE.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre d'habitants en France entre le 1\up{er} janvier 2019 et le 1\up{er} janvier 2020 (arrondir à $0,01$\,\%).
\end{enumerate}

Indépendamment de la réponse précédente, on fait l'hypothèse, pour le reste de l'exercice, qu'à partir de 2020, le pourcentage d'augmentation de la population française d'une année à la suivante est de $0,2$\,\%. 

On définit la suite $\left(u_n\right)$ telle que le premier terme $u_0$ est la population française au premier janvier 2020 et $u_n$ la population au 1\up{er} janvier de l'année $2020 +n$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer $u_1$ puis justifier que, pour tout $n \in \N$, on a $u_{n+1} = 1,002u_n$.
\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.

Donner sa raison et son premier terme.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis calculer $u_{30}$ (arrondir le résultat à l'unité).
\item On veut déterminer, à l'aide d'un algorithme, l'année au cours de laquelle la population française devrait dépasser les \np{80000000} d'habitants selon les hypothèses ci-dessus.

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Recopier et compléter le programme ci-contre afin qu'il renvoie l'année cherchée à la fin de son exécution.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{m{2cm}|l|}\cline{2-2}
\phantom{Denis}&def population():\\
&\qquad  n=0\\
&\qquad u=\np{67063703}\\
&\qquad while \ldots\ldots :\\
&\qquad \qquad u= \ldots\\
&\qquad \qquad n=n+l \\
&\qquad return( )\\ \cline{2-2}
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes et peuvent donc être traitées séparément.\\ Aucune connaissance de géométrie n'est nécessaire, les formules étant rappelées.}

\medskip


On veut réaliser un coffre en bois ayant la forme d'un pavé droit d'un volume de $4,5$~m$^3$.

\medskip
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
La largeur de ce coffre doit être $\ell = 2$~m, sa hauteur est notée $h$ et sa profondeur $x$, ces deux dimensions étant également données en mètre. 

Le but est de réaliser ce coffre avec le moins de bois possible. 

Il s'agit donc de minimiser l'aire totale des faces de ce coffre, c'est-à-dire du pavé droit.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7.8,2.5)
\psframe(6.3,1.6) \psline(6.3,0)(7.7,0.8)(7.7,2.4)(6.3,1.6)
\psline(7.7,2.4)(1.4,2.4)(0,1.6)
\uput[l](0,0.8){$h$} \uput[d](3.15,0){2 m} \uput[dr](7,0.4){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

On rappelle qu'un pavé droit de largeur $\ell$, de profondeur $x$ et de hauteur $h$ admet un volume donné par la formule $V = h \times \ell \times x$ et que l'aire totale des faces de ce pavé droit est égale à $2(h\ell + hx + \ell x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On cherche à exprimer l'aire totale des faces du pavé droit en fonction de $x$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer à l'aide de la formule du volume donnée ci-dessus que $h = \dfrac{2,25}{x}$.
		\item Montrer que l'expression de l'aire totale des faces du pavé droit en fonction de la profondeur $x$ peut s'écrire : $4x + 4,5 + \dfrac 9x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On note $f$ la fonction définie sur ]0~;~2,25[ par $f(x) = 4x + 4,5 + \dfrac 9x$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur ]0~;~2,25[.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que, sur l'intervalle ]0~;~2,25[, on a $f'(x) = \left(2 - \dfrac 3x\right)\left(2 + \dfrac 3x\right)$.
\item Dresser le tableau de signes de $f' (x)$ puis le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~2,25[.
\item Déduire des questions précédentes la valeur de $x$ pour laquelle l'aire totale des faces du pavé droit est minimale. 

Quelle est alors l'aire totale des faces du coffre ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Un artisan a créé un site internet afin d'élargir sa clientèle. Le nombre de visites par mois lors des trois premiers trimestres de mise en service du site est donné dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang du mois $(x)$ &1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline
Nombre de visiteurs $(y)$&120 &138 &152 &164 &182 &190 &198 &210 &228\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points de coordonnées $(x~;~y)$ dans le repère orthogonal donné en annexe à rendre avec la copie.
\item Une droite $\left(d_1\right)$ est représentée en pointillés sur l'annexe. 

Tracer sur cette annexe à rendre avec la copie la droite $\left(d_2\right)$ d'équation $y = 12,8x + 112$.
\item Laquelle des droites $\left(d_1\right)$ ou $\left(d_2\right)$ semble-t-elle être un bon ajustement affine du nuage de points? Justifier la réponse.
Dans la suite de l'exercice, on prendra la droite (d2) comme ajustement affine du nuage de points.
\item Estimer par lecture graphique le nombre de visiteurs auquel l'artisan peut s'attendre un an (12 mois) après la mise en service du site.
\item Avec cet ajustement affine, estimer le nombre de visiteurs attendus au bout de deux ans.
\end{enumerate}

\newpage 

\begin{center}

\textbf{\Large Annexe exercice 4\\[10pt]
À rendre avec la copie} 

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-1,-8)(12.5,174)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,174)}
\multido{\n=0+2}{87}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(12.5,\n)}
\multido{\n=0+10}{17}{\psline[linewidth=.5pt](0,\n)(12.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Oy=100,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(12.5,174)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,32)(12.5,146)
\uput[r](11.8,138){$\left(d_1\right)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}