\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {e3C 72},
%pdftitle = {06359},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 72}
\lfoot{\small 06359}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C 72 Terminale technologique \decofourright}}


\textbf{PARTIE 1- Exercice 1} \end{center}

\textbf{Automatismes (5 points) Sans calculatrice Durée : 20 minutes}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\hline
&\textbf{Énoncé}									&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1}&Calculer 40\,\% de 150.&\\ \hline
\textbf{2}&Développer et réduire $(2x - 1)^2$.		&\\ \hline
\textbf{3}&Factoriser $3(x + 1) + (1 - 3x)(x + 1)$.	&\\ \hline
\textbf{4}&Un article valant $50$~euros est soldé de $30\,\%$.

Quel sera le prix après réduction ?			&\\ \hline
\textbf{5}&Déterminer la dérivée de la fonction définie sur $\R$
par $f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$.					&\\ \hline
\textbf{6}&Si $P = \dfrac{U^2}{R}$, donner l'expression de $U$ en fonction de $P$ et $R$ ($P, U$ et $R$ sont des réels strictement positifs).				&\\ \hline
\textbf{7}&Déterminer l'équation réduite de la droite $(d)$ passant par le point A de coordonnées (0~;~2) et le point B de coordonnées (3~;~0).				&\\ \hline
\textbf{8}&Sur le graphique ci-dessous, sont tracées la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction dérivable $f$ et la tangente $D$ à cette courbe au point d'abscisse 2.

Déterminer le nombre dérivé $f'(2)$.
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-2.1)(5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-2)(5,6.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4}{2 x mul 2 add x dup mul  sub}
\psplotTangent{2}{6}{2 x mul 2 add x dup mul  sub}
\uput[ul](-1.2,-1.9){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}&\\ \hline
\textbf{9}&On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 - 1$ dont la courbe représentative
est notée $\mathcal{C}$.

Quelles sont la ou les abscisse(s) du ou des point(s) de $\mathcal{C}$ dont l'ordonnée est égale à 3 ?&\\ \hline
\textbf{10}& Déterminer la valeur exacte de la solution de l'équation 
$10^x = 50.$&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE II\\[7pt]
Calculatrice autorisée}
 \end{center}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise produit en série des axes de moteurs électriques. 

Cette entreprise possède deux machines que l'on appelle M$_1$ et M$_2$.

Chaque axe est produit par l'une ou l'autre de ces deux machines, et la machine M$_1$ produit 40\,\% de la production totale.

On constate, un jour donné de production, que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 1,5\,\% des axes produits par la machine M$_1$ sont défectueux
\item[$\bullet~~$] 2,5\,\% des axes produits par la machine M$_2$ sont défectueux
\end{itemize}

On considère un axe choisi au hasard dans la production totale du jour considéré. On note les événements suivants :

\begin{itemize}
\item $M_1$ : l'axe a été produit par la machine M$_1$
\item $M_2$ : l'axe a été produit par la machine M$_2$
\item $D$ : l'axe est défectueux.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{}\taput{\ldots}}
	{\TR{}\taput{0,015}
	\TR{}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{}\tbput{\ldots}}
	{\TR{}\taput{\ldots}
	\TR{}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Calculer $P\left(M_1 \cap D\right)$ et interpréter le résultat.
\item Calculer la probabilité que l'axe choisi soit défectueux.
\item La machine M$_1$ se déréglant au cours du temps, on décide de noter chaque jour, à partir d'un jour donné, le pourcentage des axes défectueux qu'elle produit.

On obtient le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Jour $x_i$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
\% d'axes défectueux $y_i$& 0,5 &0,8 &1,1 &1,4 &1,7 &1,9 &2,2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ seront arrondis au millième.
		\item On admet dans cette question que l'équation de la droite de régression est : 
		
$y = 0,28x + 0,24$.
		
On procède au réglage de la machine lorsque le pourcentage d'axes défectueux qu'elle produit est supérieur ou égal à 3\,\%.

Déterminer à partir de quel jour on devra procéder au réglage de la machine.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Au moment de l'arrêt d'un moteur de formule 1 à la fin de la course, la température, notée $C$, du moteur en degré Celsius est modélisée par la formule 
\[C(t) = 15 + 120 \times 2,7^{-0,12t},\]
où $t$ est le temps exprimé en minute, $t$ variant dans l'intervalle $[0~; +\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la température, arrondie au degré, du moteur 5 minutes après son arrêt.
\item La courbe de la dérivée $C'$ de la fonction $C$ est représentée ci-dessous.

Déduire graphiquement de cette courbe le sens de variation de la fonction $C$.
\begin{center}
\psset{unit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3,-17)(50,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize]{->}(0,0)(0,-17)(50,10)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{50}{14.4 2.71828 0.12 x mul exp div neg}
\uput[dr](2,-12){\red $C'(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item  Les mécaniciens sont autorisés à manipuler le moteur lorsque la température de celui-ci est inférieure à 29 \degres Celsius.

Déterminer graphiquement à l'aide de la représentation graphique de la fonction
$C$ ci-dessous au bout de combien de temps les mécaniciens pourront intervenir sur le moteur.

\begin{center}
\psset{unit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(50,40)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Oy=15,Dy=5,labelFontSize]{->}(0,0)(0,0)(50,40)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{15}{50}{2.7 2.71828 0.12 x mul exp div 120 mul }
\uput[r](20,38){\blue $C(t) = 15 + 120 \times 2,7^{-0,12t}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Certaines pièces mécaniques de haute précision ne peuvent être manipulées que si la température est inférieure ou égale à $15,3$ degrés Celsius.

La précision du graphique n'étant pas assez importante, on décide de déterminer au bout de combien de temps les manipulations pour ces pièces seront possibles. Pour cela on rédige un programme en Python.
Recopier et compléter ce programme Python afin de répondre à ce problème.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
Import math\\
def réparation() :\\
\qquad t=0\\
\qquad while( ... ) :\\
\qquad \qquad t=t+0.1\\
\qquad return( ... )\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Lorsqu'on exécute le programme précédent la fonction réparation() renvoie le nombre $50.3$ (arrondi au dixième).

Est-ce cohérent avec la solution de l'équation $120 \times 2,7^{-0,12t} = 0,3$ ? 

Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Après les vacances d'été, Céline a pris de bonnes résolutions. Elle a décidé d'arrêter de fumer progressivement.

Elle fume cent quarante cigarettes par semaine habituellement et va réduire progressivement sa consommation de cinq cigarettes par semaine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que cette situation peut être modélisée par une suite que l'on notera $u_n$ ($n$ étant le numéro de la semaine) avec $u_0 = 140$.Préciser la raison de cette suite.
\item Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Combien de cigarettes par semaine Céline fume-t-elle après sept semaines ?
\item Au bout de combien de semaines Céline aura-t-elle totalement arrêté de fumer ?
\item Calculer le nombre de cigarettes fumées entre le moment où Céline a commencé à
réduire sa consommation et l'arrêt total.
\end{enumerate}
\end{document}