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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 73}
\lfoot{\small 06360}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 73 Terminale technologique \decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\quad Sans calculatrice \quad Durée : 20 minutes}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|X|}\hline
&Énoncé&Réponse\\ \hline
\textbf{1.}&\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(6,11)
\psaxes[Dx=50,Dy=5](0,0)(0,0)(6,10)
\multido{\n=1+1,\na=40+1}{6}{\uput[d](\n,0){\na}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.8,0)(1.2,7)\uput[u](1,7){7}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.8,0)(2.2,2)\uput[u](2,2){2}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.8,0)(3.2,9)\uput[u](3,9){9}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.8,0)(4.2,4)\uput[u](4,4){4}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.8,0)(5.2,5)\uput[u](5,5){5}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.8,0)(6.2,2)\uput[u](6,2){2}
\rput(3,-2.5){Pointure}\rput{90}(-1,5){Effectifs}
\end{pspicture}&L'effectif total de la série représentée est:

..................................\\ \hline
\textbf{2.}&Une augmentation de 20\,\% suivie d'une réduction de 20\,\% est équivalente à ....&une.........................de..........\\ \hline
\textbf{3.}&Quelle proportion représente 20\,\% de 30\,\%  d'une grandeur?&...........................\\ \hline
\textbf{4.}&\rule[-5mm]{0mm}{10mm}Comparer $\dfrac{10}{7}$ et $\dfrac{11}{8}$&$\dfrac{10}{7} \ldots\dfrac{11}{8}$
\rule[-5mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
\textbf{5.}&Calculer la dérivée du polynôme:

$P(x)= x^3 - \dfrac13 x^2 + 4,5x - 8$\rule[-4mm]{0mm}{8mm}&$P'(x) = \ldots$\\ \hline
\textbf{6.}& On donne la formule $PV = NRT$.

Exprimer $T$ en fonction de $P{}, V, N$ et $R$.&$T = $\\ \hline
\textbf{7.}&Développer et réduire l'expression:

$2(x - 3)^2 + 5.$&\dotfill \\ \hline
\textbf{8.}&Donner le tableau de signes de la fonction définie sur $\R$ par:

$f(x) = 2(x - 3)(4 + x)$&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,1)
\psframe(5,1)\psline(0,0.5)(5,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0.4){$x$}\uput[u](0.5,-0.1){$f(x)$}
\end{pspicture} \\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|X|}\hline
\textbf{9.}&On considère les fonctions $f$ et $g$,définies sur $[-7~;~5]$,dont les courbes représentatives 
$\mathcal{C}_f$ (trait pointillé) et $\mathcal{C}_g$ (trait plein) sont données sur le graphique ci-dessous.

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(6,7)
\psaxes[Dx=50,Dy=5](0,0)(-8,-2)(6,7)
\pscurve[linewidth=1.25pt](-7,0)(-6,-1)(-5,0)(-4,1)(-2,2)(0,3)(1,3.75)(2,4)(3,3)(4,2)(5,3)\uput[u](2,4){$\mathcal{C}_g$}
\pscurve[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](-7,6)(-6,5)(-5,4)(-4,3)(-3,2.5)(-2,2)(-1,1.5)(0,1)(1,0.5)(2,0)(3,1)(4,2)(5,1)\uput[r](-6,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}

Résoudre graphiquement $f(x) \leqslant g(x)$ sur $[-7~;~5]$.
&$S = \ldots\ldots$\\ \hline
\textbf{10.}&On considère une fonction $f$  définie sur $[-2~;~3]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée sur le graphique ci-dessous.

On a également tracé la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = 2$.

Donner le nombre dérivé $f'(2)$.

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3.1)(4,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3,-3)(4,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{3}{x 3 exp 3 div x dup mul sub 8 9 div add 2.25  mul}
%\psplotTangent{0}{1}{x 3 exp 3 div x dup mul sub 2 add}
\uput[r](3,2){\red $\mathcal{C}_f$}
%\psplotTangent{2}{2}{x 3 exp 3 div x dup mul sub 8 9 div add 2.25  mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{4}{ x 0.5 neg mul}
\end{pspicture*}&$f'(2) = \ldots$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

La production de déchets polluants d'une entreprise de Travaux Publics était de \np{22500}
tonnes en 2008 et n'a fait qu'augmenter depuis, pour atteindre \np{29000}~tonnes en 2019. 

Depuis 2008, en raison de normes anti-pollution, la production de déchets polluants de
l'entreprise est sanctionnée par une amende si elle dépasse \np{21000}~tonnes par an.

Plus précisément, chaque année, l'entreprise doit payer une amende si la production de déchets polluants dépasse \np{21000}~tonnes, et cette amende augmente de \np{5000}~euros par an.

En 2008, l'entreprise a payé \np{26500}~euros d'amende.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On modélise le montant des amendes payées par l'entreprise à l'aide d'une suite
$\left(u_n\right)_{n\geqslant 1}$ où $u_n$ représente l'amende payée en $(2007 + n)$.

Ainsi, $u_1 = \np{26500}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le montant de l'amende payée par l'entreprise en 2009 et 2010.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier.
		
On précisera sa raison.
	\end{enumerate}	
\item En raison des montants d'amende très importants, l'entreprise décide de réduire sa production de déchets polluants de 5\,\% par an à partir de 2020.

Pour $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 0, on note $v_n$ la quantité de déchets
polluants rejetée en $(2019 + n)$.

Ainsi, $v_0 = \np{29000}$ et $v_{n+1} = 0,95v_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la quantité de déchets polluants prévue pour 2030. 
		
\emph{On arrondira le résultat à la tonne près.}
		\item À partir de quelle année l'entreprise ne paiera-t-elle plus d'amende ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Dans une ville, \np{10000}~vélos sont mis en service en même temps. On estime qu'en raison des accidents, des dégradations et des problèmes techniques, 6\,\% de ces vélos sont retirés de la circulation chaque année (régulièrement au fil des mois).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de vélos sont toujours en circulation au bout d'un an ?
\item On choisit de modéliser cette situation par la fonction $f$, qui pour $x$, exprimé en
nombre entier d'années, donne le nombre de vélos restant en circulation. On a donc 
\[f(x) = \np{10000} \times 0,94^x.\]

En déduire le nombre de vélos restants au bout de 20 ans.
\item Convertir 54 mois en années, puis déterminer le nombre de vélos en circulation après $54$~mois en admettant que le modèle précédent reste valable pour des nombres non entiers d'années.
\item On veut savoir au bout de combien de temps le nombre de vélos en circulation deviendra inférieur à \np{2000}.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que cette question revient à résoudre l'inéquation $0,94^x \leqslant 0,2$.
		\item Déterminer finalement, selon ce modèle, la durée minimale (en année et en
mois) pour qu'il reste moins de \np{2000} vélos en circulation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Dans une grande salle marseillaise, lors de huit concerts différents, on a relevé à l'aide d'un sonomètre la pression acoustique (en pascals : Pa) à laquelle est soumise l'oreille d'une personne, ainsi que le niveau d'intensité sonore (en décibels : dB) du bruit responsable de cette pression.
Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Pression acoustique $p_i$ (en Pa)&0,5 &1 &3 &5 &7 &10 &13 &15\\ \hline
Intensité sonore $y_i$ (en dB)&88 &94 &103 &108 &111 &114 &116 &117\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage de points correspondants est donné ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-7)(22,45)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5,Oy=80,Dy=5](0,0)(0,0)(22,45)
\psdots[linecolor=blue](0.5,8)(1,14)(3,23)(5,28)(7,31)(10,34)(13,36)(15,37)
\rput(10,-7){Pression acoustique en Pa}\rput{90}(-2,20){Intensité sonore en dB}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Un ajustement affine du nuage de points semble-t-il pertinent ? Pourquoi?
\item On pose $x_i = \log \left(p_i\right)$.

 Reproduire et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $x_i$ à $10^{-2}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i = \log p_i$				&	&	&	 	&		&	 	&	 &		&\\ \hline
Intensité sonore $y_i$ (en dB)	&88 &94 &103	&108 	&111 	&114 &116 	&117\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À l'aide de la calculatrice, en arrondissant les coefficients à $10^{-2}$, donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
\item Dans cette question, on prendra comme ajustement affine la droite d'équation: 
\[y = 8,6x +93,9.\]
	\begin{enumerate}
		\item Lors d'un concert du groupe de rock AC/DC, en 2012, l'oreille des spectateurs a été soumise à la pression maximale de $67$~Pa pendant moins d'une minute.
		
Déterminer l'intensité sonore atteinte lors de ce concert. Le résultat sera donné au décibel près.
		\item En 2017 la réglementation pour le niveau sonore moyen d'une salle de concert est passée à $102$ dB. 
		
À quelle pression en Pa cela correspond-il pour cette salle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}