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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{janvier 2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Métropole-La Réunion~e3c \no 125~\decofourright\\[5pt] janvier 2020 }}
\end{center}
%%%% 99
\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Séries technologiques}

\medskip

\textbf{Partie I- Exercice 1}

\medskip

\textbf{Sans calculatrice \hfill 20 minutes}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un demi-point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip

Entourer, sur le sujet, la réponse correspondante choisie.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Questions}}&\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Réponses}}\\ \hline
\textbf{1.~~}Augmenter une quantité de 12\,\% revient à la multiplier par :&1,2&0,12 &1,12&12\\ \hline
\textbf{2.~~} Si l'on augmente la valeur 220 de 10\,\%, on obtient:		&242&240&244,2&244\\ \hline
\textbf{3.~~}  Le prix au kilogramme des tomates est passé de 1,20 \euro{} à 1,08 \euro. Cela représente une baisse de :												&12\,\%&8\,\% &10\,\%&20\,\%\\ \hline
\textbf{4.~~} L'équation $x^2 = 144$ admet pour solution(s) dans $\R$ :&$-12$&12& $- 12$ et 12 & 72\\ \hline
\textbf{5.~~} L'expression algébrique $3x - 6$ est positive pour tout nombre réel $x$ vérifiant:&$x\geqslant 2$&$x\leqslant2$&$x\geqslant - 2 $&$x\leqslant - 2$\\ \hline
\multicolumn{5}{|l|}{\textbf{6.~~} L'inéquation $x^2 \geqslant 9$ a pour ensemble-solution:}\\ 
\multicolumn{5}{|c|}{\textbf{A.} $]-\infty~;~ 3]$ \quad \textbf{B.} $[- 3~;~ +\infty[$ \quad \textbf{C.} $[-3~;~ 3]$ \quad \textbf{D.} $]- \infty~;~-3] \cup [3~;~+ \infty[$}\\ \hline
\multicolumn{5}{|p{12cm}|}{\textbf{7.~~} On s'intéresse au tableau d'évolution des prix du carburant sur une période allant de janvier
à août:}\\
\multicolumn{5}{|l|}{\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois &Janvier& Février& Mars& Avril& Juin& Juillet& Août\\ \hline
Indice &100 &103 &107 &110 &104 &99 &103\\\hline 
\end{tabularx}}\\ 
 \multicolumn{5}{|l|}{Sur la période allant du mois de février au mois d'août, le prix du carburant a toujours:}\\
\multicolumn{5}{|c|}{\textbf{A.} Baissé \quad \textbf{B.} Augmenté \quad \textbf{C.} Stagné \quad \textbf{D.} Aucune des réponses précédentes}\\ \hline
\multicolumn{5}{|l|}{\textbf{8.~~} On considère le tableau de la question 7.}\\
\multicolumn{5}{|l|}{Entre le mois d'avril et le mois de juillet, le prix du carburant a baissé de :}\\
\multicolumn{5}{|c|}{\textbf{A.}\quad 11\,\% \quad \textbf{B.}\quad10\,\% \quad \textbf{C.}\quad9\,\% \quad \textbf{D.}\quad 8\,\%}\\ \hline
\multicolumn{5}{|l|}{\textbf{9.~~}Une solution dans $\R$ de l'équation $x^2- 2x - 3 = 0$ est :}\\
\multicolumn{5}{|c|}{\textbf{A.}\quad 0 \quad \textbf{B.}\quad 1 \quad \textbf{C.}\quad 2 \quad \textbf{D.}\quad 3}\\ \hline
\multicolumn{5}{|l|}{\textbf{10.~~} La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (4x - 8)(7x +7) $ admet pour tableau de signes:}\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X}|}
%
\textbf{A.}&\textbf{B.}\\
\begin{pspicture}(6,1)
\psframe(6,1) \psline(0,0.5)(6,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\uput[d](0.5,1){$x$}\uput[d](1.5,1){$- \infty$}\uput[d](2.5,1){$- 2$}\uput[d](4,1){$- 1 $}\uput[d](5.5,1){$+ \infty$}
\uput[d](0.5,0.5){$f(x)$}\uput[d](0.5,0.5){$x$}\uput[d](2,0.5){$+$}\uput[d](3.25,0.5){$-$}\uput[d](4.75,0.5){$+$}\uput[d](2.5,0.5){$0$}\uput[d](4,0.5){$0$}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(6,1)
\psframe(6,1) \psline(0,0.5)(6,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\uput[d](0.5,1){$x$}\uput[d](1.5,1){$- \infty$}\uput[d](2.5,1){$- 1$}\uput[d](4,1){$2$}\uput[d](5.5,1){$+ \infty$}\uput[d](2,0.5){$+$}\uput[d](3.25,0.5){$-$}\uput[d](4.75,0.5){$+$}
\uput[d](0.5,0.5){$f(x)$}\uput[d](2.5,0.5){$0$}\uput[d](4,0.5){$0$}
\end{pspicture}\\
\textbf{C.}&\textbf{D.}\\
\begin{pspicture}(6,1)
\psframe(6,1) \psline(0,0.5)(6,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\uput[d](0.5,1){$x$}\uput[d](1.5,1){$- \infty$}\uput[d](2.5,1){$- 1$}\uput[d](4,1){$2$}\uput[d](5.5,1){$+ \infty$}\uput[d](0.5,0.5){$f(x)$}\uput[d](2.5,0.5){$0$}\uput[d](4,0.5){$0$}
\uput[d](2,0.5){$-$}\uput[d](3.25,0.5){$+$}\uput[d](4.75,0.5){$-$}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(6,1)
\psframe(6,1) \psline(0,0.5)(6,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\uput[d](0.5,1){$x$}\uput[d](1.5,1){$- \infty$}\uput[d](2.5,1){$- 2$}\uput[d](4,1){$- 1 $}\uput[d](5.5,1){$+ \infty$}\uput[d](0.5,0.5){$f(x)$}\uput[d](2.5,0.5){$0$}\uput[d](4,0.5){$0$}
\uput[d](2,0.5){$-$}\uput[d](3.25,0.5){$+$}\uput[d](4.75,0.5){$-$}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}

\textbf{PARTIE II}

\medskip

\textbf{Cette partie se compose de trois exercices indépendants}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill 5 points}

\medskip

Un architecte souhaite dessiner la vitrine d'une bijouterie. Cette vitrine, représentée sur le schéma ci-dessous par le rectangle ABCD, mesure 5 mètres de longueur et 3 mètres de hauteur. Elle sera constituée de deux matières, du verre transparent représenté en blanc sur le schéma et du verre teinté représenté en gris.

Les points de fixation E, F{}, G et H du verre teinté forment le parallélogramme EFGH.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.2)
\psframe(6,3)
\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](6,0){B}\uput[ur](6,3){C}\uput[ul](0,3){D}
\uput[d](5,0){E}\uput[r](6,2){F}\uput[u](1,3){G}\uput[l](0,1){H}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(6,2)(1,3)(0,1)
\end{pspicture}
\end{center}

On note $x$ un nombre appartenant à l'intervalle [0~;~3].

Les longueurs, exprimées en mètre, AH, DG, CF et BE sont égales à $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire, exprimée en m$^2$, du rectangle ABCD. 
		\item Exprimer les longueur DH et AE en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item On admet que l'aire du triangle AEH est donnée par $\dfrac{x(5-x)}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de l'aire du triangle BEF.
		\item Montrer que l'aire du quadrilatère EFGH est donnée par:

\[f(x)= 2x^2 - 8x + 15.\]

	\end{enumerate}
\item On admet que la parabole qui représente graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal a pour sommet le point d'abscisse $2$.

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~3].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 : \hfill 5 points}

\medskip

Un motif est créé afin d'orner une vitrine. Celui-ci est construit à partir d'un pentagone régulier ABCDE de centre O représenté en annexe 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points C, D, E sur l'annexe 1 à rendre avec la copie.
\item  Les points F, G, H, I et J sont obtenus par symétries respectives du point O par rapport aux points A, B, C, D et E.

Construire les points H, I, J sur l'annexe 1 à rendre avec la copie.
\item  Les points K, L, M, N et P sont les milieux respectifs de [AF], [BG], [CH], [EI] et [FJ].

On dessine ensuite les cinq cercles de centre K, L, M, N et P de rayon AK et enfin une
partie de chacun des cinq cercles de centre A, B, C, D et E de rayon OA.

Placer les points M, N et P et tracer les segments [AO], [BO], [CO], [DO] et [EO] sur la
figure en annexe 1 à rendre avec la copie.
\item  Déterminer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ en expliquant la réponse.
\item  Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 : \hfill 5 points}

\medskip

En 2018 et 2019, une galerie a recensé le nombre de tableaux et sculptures exposés pour
chacune de ces deux années. Chaque œuvre, tableau ou sculpture, est recensée à l'aide d'un
formulaire de renseignements fourni avant son exposition par son créateur.

On choisit au hasard un formulaire de renseignements parmi ceux des années 2018 et 2019.

On note:

$\bullet~~$ $T$ l'évènement : \og Le formulaire prélevé correspond à un tableau \fg.

$\bullet~~$ $H$ l'évènement: \og Le formulaire prélevé correspond à une oeuvre de 2018\fg.

Selon les données recensées, on sait que:

\begin{itemize}
\item L'effectif total des oeuvres est de \np{3000}, dont ±np{1530} sont des tableaux;
\item 74\,\% des oeuvres sont des oeuvres présentées en 2019 ;
\item Parmi les oeuvres de 2018, $351$ sont des tableaux.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le nombre de formulaires correspondant à des oeuvres de 2019 est égal à
2220.
\item  Compléter le tableau en annexe 2 à rendre avec la copie.
\item  Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis au millième.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $T$.
		\item Décrire par une phrase l'évènement $T \cap H$ puis calculer la probabilité de cet
évènement.
 	\end{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que le formulaire choisi corresponde à un tableau sachant qu'il est daté de l'année 2019.
\end{enumerate}

\newpage
\begin {center}
\textbf{\large Annexe 1}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\multido{\n=-20+72,\na=-92+72,\nb=52+72}{5}{\psarc[linecolor=red](2;\n){2}{\na}{\nb}}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2;-20)(2;52)(2;124)(2;196)(2;268)
\multido{\n=-20+72}{5}{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3;\n){1}}
\psdots(2;52)(2;124)(3;52)(4;52)(3;124)(4;124)(0;0)
\uput[d](0,0){O}\uput[ur](2;52){A}\uput[ul](2;124){B}\uput[ur](3;52){K}
\uput[ur](4;52){F}\uput[ul](3;124){L}\uput[ul](4;124){L}
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\large Annexe 2}

\bigskip

\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Œuvres de 2018 &Œuvres de 201|9& Total\\ \hline
Tableaux 		&351&			&\np{1530}\\ \hline
Sculptures		&	&			&\\ \hline
Total 			&	&\np{2220}	& \np{3000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}