\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {e3c}, %pdftitle = {06303} %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 2021} \rfoot{\small \no 17} \lfoot{\small 06303} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 17 Terminale technologique ~\decofourright}} \medskip \textbf{PARTIE I} \end{center} \medskip \textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline \textbf{1.} &Le prix d'un jeu vidéo diminue de 40\,\%. Son nouveau prix est de 42~\euro. Quel était le prix de ce jeu avant réduction ?&\\ \hline \textbf{2.} &Dans une classe, les trois quarts des élèves sont des filles. Sachant qu'il ya 24 filles, combien y a-t-il d'élèves dans cette classe ?&\\ \hline \textbf{3.} &Développer et réduire l'expression: \vspace{-0.3cm}\[(2x - 3)(x + 5).\]\vspace{-0.3cm}&\\ \hline \textbf{4.} &Déterminer la fraction irréductible égale à : \vspace{-0.3cm}\[\dfrac{2 +\dfrac13}{\dfrac54}.\]\vspace{-0.3cm}&\\ \hline \textbf{5.} &Mettre sous la forme d'une seule puissance de $1,2$ : \vspace{-0.3cm}\[\dfrac{1,2^{-3} \times 1,2^9}{1,2^4}.\]\vspace{-0.3cm}&\\ \hline \textbf{6.} &Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par \vspace{-0.3cm}\[f(x) =x^3 - 3x^2 + 7x - 5.\]\vspace{-0.3cm}&\\ \hline \end{tabularx} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\hline &\multicolumn{2}{|m{12.4cm}|}{On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-8~;~7]$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous: \begin{center} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-8.2,-10.2)(7.2,12.2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-8.2,-10.2)(7.2,12.2) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2](0,0)(-8.2,-10.2)(7.2,12.2) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-8}{7}{ x 3 exp x dup mul 2 mul add 41 x mul sub 42 sub 2 mul 21 div neg} %\uput[ul](8,2){\red $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture*} \end{center} }\\ \hline \textbf{7.} &Déterminer par lecture graphique l'image de 1 par la fonction $f$.&\\ \hline \textbf{8.} &Déterminer par lecture graphique un antécédent de 12 par la fonction $f$.&\\ \hline \textbf{9.} &Déterminer graphiquement le nombre de solution de l'équation f(x) = 4 sur l'intervalle $[-8~;~7]$.&\\ \hline \textbf{10.} &Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[-8~;~7]$.&\\ \hline \end{tabularx} \newpage \textbf{Partie II} \medskip \textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur} \textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants} \bigskip \textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points} \medskip Des relevés sur le trafic de données consommées, exprimé en millions de gigaoctets (millions de Go) sur les réseaux mobiles ont été effectuées de 2017 à 2019 : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5,2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année&2017&2018&2019\\\hline Volume de données consommées (en millions de Go)&\np{2203}&\np{3646}&\np{5266}\\ \hline \multicolumn{4}{r}{\emph{Source : Arcep}} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer, à l’aide des relevés, le taux global d’évolution du volume de données consommées entre 2017 et 2019. Le résultat sera exprimé en pourcentage arrondi à l’unité. \item On considère qu’à partir de l’année 2019 le volume de données consommées augmente chaque année de 55\,\%. \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $U_n$ le volume de données consommées, exprimé en millions de Go, l’année (2019 +$n$). Ainsi $U_0=\np{5266}$. Calculer $U_1$. Arrondir à l’unité. \item Quelle est la nature de la suite $\left(U_n\right)$ ? Préciser sa raison. \item Exprimer $U_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Un spécialiste affirme que si le volume de données consommées dépasse \np{40000} millions de gigaoctets alors l’ensemble des réseaux sera saturé. À partir de quelle année ce seuil sera-t-il dépassé ? Détailler la démarche. \end{enumerate} \bigskip \textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points} \medskip Suite à un héritage, un particulier décide de placer \np{120000} \euro{} sur un compte bancaire afin de pouvoir acheter plus tard un bien immobilier. Connaissant le prix du marché, il estime qu’il lui faut augmenter son capital initial de 35\,\% pour pouvoir acquérir le bien souhaité. \medskip \begin{enumerate} \item De quel capital le particulier a-t-il besoin pour acheter ce bien immobilier ? \item Le particulier envisage un placement bancaire de son capital de \np{120 000}\euro au taux annuel de 2,5\,\%. \begin{enumerate} \item Calculer le capital acquis après deux années de placement. \item Résoudre dans $\R$ l’équation $1,025^x = 1,35$. \item En déduire le nombre d’années nécessaires pour que le particulier dispose du capital suffisant pour acquérir son bien immobilier. \end{enumerate} \item Le particulier souhaite négocier le taux annuel $t$ de son placement, exprimé en pourcentage, afin de pouvoir acquérir le bien immobilier après $10$~années de placement. On admet que le taux $t$ pour atteindre le souhait du particulier vérifie l’équation $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{10} = 1,35$. Déterminer le taux d’intérêt annuel qui satisfera le souhait du particulier. On arrondira la valeur de $t$ à 0,01\,\% près. \end{enumerate} \newpage \textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points} \medskip Un recensement de la population française par groupe d’âges a été rendu public au 1\up{er} janvier 2020 : \begin{center} \begin{tabularx}%{\linewidth} {15.5cm}{|l|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \cellcolor{lightgray} Groupe d’âges&\cellcolor{lightgray} Moins de 15 ans&\cellcolor{lightgray} 15 - 19 ans&\cellcolor{lightgray} 20 - 39 ans&\cellcolor{lightgray} Plus de 39 ans&\cellcolor{lightgray} Total\\ \hline \cellcolor{lightgray} Population&\np{11 943 747}&\np{4 140 996}&\np{15 759 165}&\np{35219795}&\cellcolor{lightgray} \np{67063703}\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\emph{\small Source : Insee, estimations de population (données provisoires arrêtées à fin} 2019)} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier, par un calcul, que la proportion des individus de moins de 20 ans dans la population française est environ égale à 24 \%. \medskip Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette proportion est égale à 24\,\%. \medskip Parmi ces individus de moins de 20 ans, 51\,\% sont des hommes. Parmi les individus de 20 ans et plus, 53\,\% sont des femmes. \medskip On choisit au hasard un individu de la population Française et on considère les événements suivants : \medskip $\bullet$ $J$ : \og l’individu a moins de 20 ans \fg $\bullet$ $F$ : \og l’individu est une femme \fg \item Représenter la situation par un arbre pondéré. \item \begin{enumerate} \item Décrire par une phrase l’événement $J\cap F$. \item Calculer sa probabilité notée $P(J\cap F)$. \end{enumerate} \item Justifier par un calcul que la probabilité que l’individu choisi soit un homme est égale à \np{0,4796}. \item Sachant que l’individu choisi est un homme, quelle est la probabilité qu’il ait moins de 20 ans ? Donner le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{document}