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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 19}
\lfoot{\small 06305}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 19 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte. 
Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un demi-point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Pour chaque question, entourer sur le sujet la réponse choisie.} 

\bigskip

\textbf{Question \no 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 3$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

Pour tout réel $x, \:f'(x)$ est égal à :

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$2x^2 - 6x$& $6x^2-12x$& $6x^2 - 12x -3$& $- 4x- 3$\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\medskip

\textbf{Question \no 2}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ dont la fonction dérivée $g'$ est définie sur $\R$ par
$g'(x) = x^2 - 4x + 5$.

Le coefficient directeur de la tangente à sa courbe représentative au point d'abscisse 2 est : 

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$-8$&0& 1& 5\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\medskip

\textbf{Question \no 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Sur le graphique ci-contre, la courbe $\mathcal{P}$ représente une fonction définie sur $\R$. 

Avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{P}$ en son point d'abscisse $-1$ est :

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$-3$&2&2,5& 7,5\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2.5)(1.5,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(1.5,8.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{1.5}{5.625 x 0.5 add dup mul 2.5 mul sub}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt]{-1}{6}{5.625 x 0.5 add dup mul 2.5 mul sub}
\uput[l](-2.5,1.5){$T$}\uput[l](1,-2){\red $\mathcal{P}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\newpage

\textbf{Question \no 4}

\medskip

L'ensemble des solutions sur $\R$ de l'inéquation $-3 - 8x < - 15 +4x$ est l'intervalle: 

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$]1~;~+\infty[$& $]-\infty~;~0[$& $]-\infty~;~1[$& $]0~;~+\infty[$\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\medskip

\textbf{Question \no 5}

\medskip

Sur l'intervalle $[-10~;~10]$, le tableau de signes de l'expression factorisée 
$A(x) = (x+1)(x - 4)$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(6.7,1.5)
\psframe(6.7,1.5)\psline(1.6,0)(1.6,1.5)\psline(0,1)(6.7,1)
\uput[u](0.8,0.9){$x$} \uput[u](1.9,0.9){$-10$} \uput[u](3.3,0.9){4} \uput[u](5,0.9){$-1$} \uput[u](6.5,0.9){10}
\rput(0.8,0.6){signe de}\rput(0.8,0.2){$A(x)$}
\rput(2.45,0.5){$-$}\rput(3.3,0.5){0}\rput(4.35,0.5){+}\rput(5,0.5){0}\rput(5.85,0.5){$-$}
\end{pspicture*}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(6.7,1.5)
\psframe(6.7,1.5)\psline(1.6,0)(1.6,1.5)\psline(0,1)(6.7,1)
\uput[u](0.8,0.9){$x$} \uput[u](1.9,0.9){$-10$} \uput[u](3.3,0.9){$-1$} \uput[u](5,0.9){4} \uput[u](6.5,0.9){10}
\rput(0.8,0.6){signe de}\rput(0.8,0.2){$A(x)$}
\rput(2.45,0.5){$-$}\rput(3.3,0.5){0}\rput(4.35,0.5){+}\rput(5,0.5){0}\rput(5.85,0.5){$-$}
\end{pspicture*}\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(6.7,1.5)
\psframe(6.7,1.5)\psline(1.6,0)(1.6,1.5)\psline(0,1)(6.7,1)
\uput[u](0.8,0.9){$x$} \uput[u](1.9,0.9){$-10$} \uput[u](3.3,0.9){$-1$} \uput[u](5,0.9){4} \uput[u](6.5,0.9){10}
\rput(0.8,0.6){signe de}\rput(0.8,0.2){$A(x)$}
\rput(2.45,0.5){+}\rput(3.3,0.5){0}\rput(4.35,0.5){$-$}\rput(5,0.5){0}\rput(5.85,0.5){+}
\end{pspicture*}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(6.7,1.5)
\psframe(6.7,1.5)\psline(1.6,0)(1.6,1.5)\psline(0,1)(6.7,1)
\uput[u](0.8,0.9){$x$} \uput[u](1.9,0.9){$-10$} \uput[u](3.3,0.9){4} \uput[u](5,0.9){$-1$} \uput[u](6.5,0.9){10}
\rput(0.8,0.6){signe de}\rput(0.8,0.2){$A(x)$}
\rput(2.45,0.5){+}\rput(3.3,0.5){0}\rput(4.35,0.5){$-$}\rput(5,0.5){0}\rput(5.85,0.5){+}
\end{pspicture*}
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question \no 6}

\medskip

Un sprinter met la secondes pour parcourir 100 mètres. La vitesse moyenne du sprinter est de:

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,6 km.h-1& 10 km.h-1& 20 km.h-1& 36 km.h-1\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\medskip

\textbf{Question \no 7}

\medskip

Les solutions, dans $\R$ de l'équation $x^2 = 100$ sont:

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
10 & 10 km.h-1&50&$- 50$ et 50\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\medskip

\textbf{Question \no 8}

\medskip

Depuis 2015, une entreprise augmente le salaire mensuel brut de ses cadres de 2\,\% chaque année. On modélise le salaire mensuel brut d'un cadre à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, \:$u_n$ désigne le salaire mensuel brut d'un cadre l'année $2015 + n$.

La suite $\left(u_n\right)$ est

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
arithmétique de raison 1,02&géométrique de raison 1,02&arithmétique de raison 2&géométrique de raison 2\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\medskip

\textbf{Question \no 9}

\medskip

Dans un repère du plan, le point de la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x - 3}$ qui appartient à l'axe des
ordonnées a pour coordonnées: 

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\left(0~;~- \dfrac13\right)$&$\left(- \dfrac13~;~0\right)$&$\left(0~;~\dfrac13\right)$&$\left(\dfrac13~;~0\right)$\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\medskip

\textbf{Question \no 10}

\medskip

Dans un repère du plan, le point de la courbe d'équation $y = \dfrac 1x - 3$ qui appartient à l'axe 
des abscisses a pour coordonnées : 

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\left(0~;~- \dfrac13\right)$&$\left(- \dfrac13~;~0\right)$&$\left(0~;~\dfrac13\right)$&$\left(\dfrac13~;~0\right)$\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}
\medskip

Une société produit et vend des vélos d’appartement. Elle possède deux ateliers de
production qui se répartissent la production d'une journée de la façon suivante :

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~] l’atelier 1 produit $900$ vélos d’appartement par jour, dont 2\,\% seront vendus à des cyclistes professionnels.
\item[$\bullet$~~]  l’atelier 2 produit $600$ vélos d’appartement par jour, dont 1\,\% seront vendus à des cyclistes professionnels.
\end{itemize}
\medskip

Les vélos d’appartement qui ne sont pas vendus à des cyclistes professionnels sont vendus à
des magasins de sport. Ainsi, toute la production journalière est vendue.

\medskip 

On prélève au hasard un vélos d’appartement dans une production journalière. On considère
les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~] $A_1$ : Le vélo d’appartement a été produit par l'atelier 1 ;
\item[$\bullet$~~] $A_2$ : Le vélo d’appartement a été produit par l'atelier 2 ;
\item[$\bullet$~~] $B$ : Le vélo d’appartement est vendu à un cycliste professionnel.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité de l’évènement $A_1$ est égal à $0,6$ puis construire un arbre
de probabilité associé à la situation de l'énoncé.
\item Décrire par une phrase l'évènement $A_1\cap B$ puis calculer sa probabilité $P \left(A_1\cap B \right)$.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ est égale à $0,016$.
\item On sait que le vélo d’appartement prélevé a été vendu à un cycliste professionnel.
Quelle est la probabilité qu'il ait été fabriqué par l’atelier 2 ?
\item Justifier que les évènements $A_2$ et $B$ ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Deux salariés d’une entreprise, Paul et Pierre, ont perçu chacun, en fin d’année 2020, une
prime suite aux bénéfices réalisés. Pour l’année 2020, Pierre a perçu 100 euros et Paul a reçu
120 euros.

\medskip

L’entreprise étant prospère, Paul espère une augmentation annuelle de sa prime de 10 \euro\  par
an et Pierre espère une augmentation de sa prime de 5\% par an.

\medskip

On modélise les primes perçues, exprimées en euros, par Paul et Pierre à l’aide de deux
suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ et $v_n$ représentent donc la prime reçue
respectivement par Paul et Pierre l'année $2020 +n$. On a donc $u_0 = 100$ et $v_0 = 120$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les primes que percevront Paul et Pierre en 2021.
\item Donner la nature de chacune des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

Préciser, pour chacune, sa raison.
\item En déduire les expressions, pour tout entier naturel $n$, des termes généraux $u_n$ et $v_n$
en fonction de $n$.
\item Paul et Pierre décident d’épargner, chacun de leur côté, toutes les primes qu’il
reçoivent chaque fin d’année depuis 2020. 

Indiquer, en expliquant la démarche utilisée, qui de Paul ou de Pierre aura épargné la plus grande somme d’argent en 2030.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur
l'intervalle $]0~;~+\infty [$ par une expression de la forme :
\[f(x) = a\log(x) + b\]
où log désigne le logarithme décimal et où $a$ et $b$ sont des constantes réelles.

\medskip

Les coordonnées des points A et B, qui appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$, sont des nombres
entiers.

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm,algebraic}
\begin{pspicture}(-0.5,-5.5)(22,35)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,xunit=5,yunit=5](0,0)(-0.2,-1)(4.4,6.4)
\multido{\n=0.0+5}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-1)(\n,32)}
\multido{\n=0+5}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](-1,\n)(22,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{-}(0,0)(-1,-5)(22,32)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3}{22}{20*log(x)+5 }
\psdots(1,5)(10,25)
\uput[ul](1,5){$A$}
\uput[dr](10,25){$B$}
\uput[u](5.5,20){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Lire sur le graphique ci-contre les coordonnées du point A et en déduire que $b$ est
égal à 5.
\item  Donner, par lecture graphique, la valeur de $f (10)$ et en déduire la valeur de $a$.

\medskip

On admet désormais que, pour tout $x>0$, $f(x) = 20\log(x)+5$.
\item Résoudre, dans l'intervalle $]0~;~+\infty [$, l'équation $f(x) = 20$.
\item\begin{enumerate}
	\item Vérifier que, pour tout $x>0$, $f(10x)= f(x) + 20$.
	\item Pour tout réel $x>0$, exprimer $f(\np{1000}x)$ en fonction de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}