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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 20}
\lfoot{\small 06306}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 20 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. 

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.}&Calculer 20\,\% de $150$~\euro.&\\ \hline
\textbf{2.}&Un prix passe de $50$~\euro{} à $52$~\euro.

Déterminer le pourcentage d'évolution de ce prix. &\\ \hline

\textbf{3.}&Calculer et simplifier $\dfrac35 + \dfrac75 \times \dfrac53$.&\\ \hline
\textbf{4.}&Factoriser l'expression :
\vspace{-0.4cm}\[A(x) = (x + 1)(x - 7)+(x + 1)(2x - 3).\]\vspace{-0.4cm}&\\ \hline
\textbf{5.}& On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\vspace{-0.4cm}\[f(x) = 2x^3 - 5x^2+ 2x - 1\]\vspace{-0.4cm} 

et on note $f'$ sa dérivée.

Exprimer, pour tout réel $x,\: f'(x)$ en fonction de $x$.&\\ \hline
\textbf{6.}& Résoudre dans $\R$ l'équation $-2x - 10 = 0$.&\\ \hline
\textbf{7.}&Compléter :&$3,2 \times 10^{10}$ est égal à \ldots \ldots milliards.\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\textbf{8.}&On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [0~;~8] dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. La droite $(d)$ est la tangente à la courbe au point A d'abscisse $2$.

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(8.2,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-3)(8.2,6.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{8}{x 4 sub dup mul 0.5 mul 1 sub}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt]{2}{8}{x 4 sub dup mul 0.5 mul 1 sub}
\uput[l](7.5,5.5){\red $\mathcal{C}_h$}\uput[ur](4,-3){$(d)$}
\psdots(2,1)\uput[ur](2,1){\red A}
\end{pspicture*}
\end{center}

Avec la précision permise par le graphique, déterminer le coefficient directeur de cette tangente.&\\ \hline
\textbf{9.}&On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 3~;~9]$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. 

Répondre aux questions avec la précision permise par le graphique.

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.5,-4)(9.5,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-4)(9.5,6)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{9}{x 3 exp x dup mul 7 mul sub 4 x mul add 12 add 16 div neg}
\uput[r](-3,5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
&\vspace{-3cm}Le tableau de signes de $f$ sur l'intervalle $[- 3~;~9]$ est :

\vspace{2cm}

\psline(0,0)(4,0)

Les solutions sur l'intervalle $[- 3~;~9]$ de l'équation $f(x) = 2$ sont:

\vspace{1.5cm}\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}
\medskip

Deux groupes industriels A et B sont soumis à une nouvelle réglementation qui limitera en
2030 la quantité des rejets polluants à 30 000 tonnes par an.

\begin{enumerate}
\item  Les rejets polluants du groupe A sont évalués à \np{53 000} tonnes en 2020.
 Ce groupe
industriel planifie de réduire chaque année ses rejets polluants de \np{1 800} tonnes.
	\begin{enumerate}
	\item  Quelle sera la quantité de rejets polluants du groupe A en 2025 ?
	\item  Recopier et compléter le programme ci-dessous écrit en langage Python
pour qu’à la fin de son exécution, la variable n contienne le nombre d’années
nécessaires pour que l’entreprise A respecte la nouvelle réglementation.	
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$u = \np{53000}$\\
$n = 0$\\
while $\cdots\cdots\cdots\cdots$ :\\
\hspace{0.5cm}$n = n + 1$\\
\hspace{0.5cm}$u =u-\np{18000}$\\

 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item  Les rejets du groupe industriel B sont évalués à \np{52 000} tonnes en 2020. Ce groupe
industriel décide de réduire chaque année ses rejets polluants de 4 \%.


On modélise la quantité de rejets polluants à l’aide d’une suite $(r_n)$. Pour tout entier
naturel $n$, $r_n$ représente donc la quantité de rejets polluants, exprimée en tonnes,
pour l’année $2020 + n$.
	\begin{enumerate}
	\item Préciser $r_0$ et $r_1$.
	\item Donner sans justifier la nature de la suite $(r_n)$, puis exprimer, pour tout
entier naturel $n$, $r_n$ en fonction de $n$.
	\item La nouvelle réglementation sera-t-elle respectée pour le groupe industriel B en 2030 ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\newpage 

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise de la peinture écologique. Sa capacité de
production est limitée à 10 milliers de litres de peinture par mois.
Le coût total de production mensuel, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la
fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0~;~10]$ par 
\[C(x)= 0,8x^2 - 12x + 63,368.\]
où $x$ désigne la quantité de peinture fabriquée chaque mois, exprimée en milliers de litres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $C$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1mm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-5.5)(12,75)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,xunit=1,yunit=10](0,0)(-0.5,-0.5)(10.4,7.4)
\multido{\n=0.0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-0.5)(\n,74)}
\multido{\n=0+10}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(10.4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(10.5,75)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{0.8*x^2 -12*x + 63.368 }
\end{pspicture}
\end{center}

Répondre avec la précision permise par le graphique.

\begin{itemize}
\item  Quel est le coût de production mensuel de \np{3000}~L de peinture ?

\item Pour quelles valeurs de la quantité de peinture à produire
mensuellement, le coût de production est-il inférieur ou égal à \np{20000} \euro\ ?
\end{itemize}
\item Le coût moyen unitaire de production, exprimé en euros, correspondant à la production de $x$
milliers de litres de peinture, est donné sur l’intervalle $]0 ; 10]$ par $f(x)=
\dfrac{C(x)}{x}$.

{\bf Ainsi $f(6)$ représente le coût de production, en euros, d’un millier de litres de peinture
lorsque l’entreprise produit \np{6000} L de peinture.}
	\begin{enumerate}
	\item  Montrer que $f(x) = 0,8x-12 + \dfrac{63,368}{x}$.
	\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~10]$, $f'(x) = \dfrac{
0,8(x - 8,9)(x + 8,9)}{x^2}$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0~;~10]$.
	\item En déduire le coût moyen unitaire de production minimal ainsi que la quantité
de peinture à produire pour obtenir ce coût minimal.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Lors d’une course VTT, 75 \% des participants sont licenciés en club.

\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~] Parmi les participants licenciés, 60 \% ont terminé la course en moins de 4h.
\item[$\bullet$~~] Parmi les participants non licenciés, 45 \% ont terminé la course en moins de 4h.
\end{itemize}

On interroge au hasard un participant. On considère les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $L$ : \og le participant est licencié en club \fg
\item[ ] $A$ : \og le participant termine la course en moins de 4~h \fg
\end{description}

\begin{enumerate}
\item À l’aide des informations de l’énoncé, donner la probabilité $P_L(A)$ de l’évènement $A$
sachant que l’évènement $L $est réalisé.
\item Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant qui représente la situation.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$L$~~}\naput{$\ldots\ldots$}}
	{
\TR{$A$}\naput{$\ldots\ldots$}
\TR{$\overline{A}$}\nbput{$\ldots\ldots$}
	}
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{L}$~~}\nbput{$\ldots\ldots$}}
	{
\TR{$A$}\naput{$\ldots\ldots$}
\TR{$\overline{A}$}\nbput{$\ldots\ldots$} 
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité $P\left(L\cap A\right)$.
\item Montrer que $P(A) = \np{0,5625}$.
\item  Un organisateur affirme que 80\,\% des participants ayant fini la course en moins de 4h
sont licenciés en club.

A-t-il raison ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}