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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 30}
\lfoot{\small 06311}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 30 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\emph{Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. Aucune justification n'est demandée}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Donner la fraction irréductible égale à 
\begin{center}$\left(\dfrac12\right)^2 - \dfrac54 \times 3$\end{center}&\\ \hline
\textbf{2.} &Donner la forme développée et réduite de \vspace{-0.3cm}
\begin{center}$3x(x + 1) - (2x + 3)^2$\end{center}&\\ \hline
\textbf{3.} &Un prix baisse de 10\,\% puis augmente de 10\,\%.

Quel est le pourcentage d'évolution global ?&\\ \hline
\textbf{4.} &À partir de 2020, une population d'oiseaux diminue de 1,5\,\% par an. Cette situation est modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ est le nombre d'oiseaux en $2020+n$.

Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ en précisant sa raison.&\\ \hline
\textbf{5.} &Donner le tableau de signe de l'expression 

$4(x - 1)(x + 2)$.&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,1)
\psframe(5,1)\psline(0,0.5)(5,0.5)\psline(2,0)(2,1)
\uput[u](1,0.4){$x$}\uput[u](2.5,0.4){$- \infty$}\uput[u](4.5,0.4){$+ \infty$}
\uput[u](1,-0.1){\footnotesize $4(x - 1)(x + 2)$}
\end{pspicture}\\ \hline
\textbf{6.} &Résoudre dans $\R$ l'équation $4x^2 = 25$.&\\ \hline
\textbf{7.} &Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
\begin{center}$f(x) = 2x^3 - 3x + 5$\end{center}
Donner l'expression de la dérivée de $f$.&$f'(x) = \ldots \ldots$\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{8.}&Dans le repère ci-dessous, sont tracées la courbe représentative d'une fonction f et la tangente à cette courbe au point d'abscisse 1.
\psset{unit=0.85cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-7,-2.5)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle](0,0)(-7,-2.5)(4,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{3}{x  dup mul 0.25 mul x add 1.25 sub}
\psplotTangent[,linewidth=1.25pt]{1}{4}{x dup mul 0.25 mul x add 1.25 sub}
\end{pspicture*}
\end{center}&\\ \hline
\textbf{9.}&Dans le plan muni d'un repère, le point A
de coordonnées $(-1~;~-7)$ appartient-il à la courbe d'équation 

$y = 2x^2 + 4x - 1$ ?&\\ \hline
\textbf{10.}&Quelle parabole représente la fonction $g$  définie par $g(x)= - (x - 2)(x + 1)$ ?

\psset{unit=0.85cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-4,-4.1)(4,4.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{3}{2.25 x 0.5 add dup mul sub}\uput[l](-3,-3.5){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-6}{3}{2.25 x 0.5 sub dup mul sub}\uput[r](3,-3.5){$\mathcal{C}_2$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6}{3}{ x 0.5 sub dup mul 2.25 sub}
\uput[l](-3,3.5){$\mathcal{C}_3$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{-6}{3}{ x 0.5 add dup mul 2.25 sub}
\uput[l](3,3.5){\red $\mathcal{C}_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}
&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un aménagement autoroutier prévoit la construction d'un bassin de rétention d'eau enterré, en forme de parallélépipède rectangle. Celui-ci est modélisé ci-dessous par le solide ABCDSEFG. La surface au sol est le rectangle ABCD.

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(15,4.8)
\psframe(1.5,1.5)(5.2,3.7)
\uput[dl](1.5,1.5){A}\uput[dr](5.2,1.5){B}\uput[ur](5.2,3.7){C}\uput[ul](1.5,3.7){D}
\rput(3.35,2.6){Vue de dessus}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.5,4.1)(5.2,4.1)\uput[u](3.35,4.1){Longueur}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,1.5)(1,3.7)\rput{90}(0.8,2.6){largeur}
\pspolygon(7.5,1.6)(12.5,0.3)(12.5,1.1)(7.5,2.4)
\psline(12.5,0.3)(14.3,1.6)(14.3,2.4)(12.5,1.1)
\psline(14.3,2.4)(9.3,3.7)(7.5,2.4)
\psline[linestyle=dashed](7.5,1.6)(9.3,2.9)(9.3,3.7)
\psline[linestyle=dashed](9.3,2.9)(14.3,1.6)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(7.3,2.5)(9.1,3.8)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(14.3,2.6)(9.3,3.9)
\uput[l](7.5,2.4){A} \uput[dr](12.5,1.1){B} \uput[ur](14.3,2.4){C} \uput[u](9.3,3.7){D}
\uput[dl](7.5,1.6){S} \uput[d](12.5,0.3){E} \uput[dr](14.3,1.6){F} \uput[ur](9.3,2.9){G}
\end{pspicture}
\end{center}

Les contraintes techniques imposent un volume de $360$~m$^3$ et une profondeur de $2,5$~m.

De plus, la longueur et la largeur de la surface au sol doivent être comprises entre $4$~m et $36$~
m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire de la surface du bassin au niveau du sol est fixe et égale à 144 m2.
\end{enumerate}

On nomme $x$ la longueur en mètre du bassin avec $x \in [4~;~36]$. La largeur du bassin, en fonction de $x$, est donc égale à $\dfrac{144}{x}$.

On note $p(x)$ le périmètre du bassin au niveau du sol et on admet que
\begin{center}$p(x) = 2x + \dfrac{288}{x}$\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer $p'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [4~;~36].
\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [4~;~36], $p'(x) = \dfrac{2(x-12)2(x+12)}{x^2}$.
\item Dresser le tableau de signes de la dérivée $p'(x)$, puis le tableau de variations de la fonction $p$ sur [4~;~36].
\item On souhaite protéger le bassin avec une clôture qui en fait exactement le tour. 

Donner les dimensions du bassin qui permettent d'employer la plus petite longueur possible de clôture.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise engage un nouvel employé au 1\up{er} janvier 2021. Le contrat de travail prévoit un salaire annuel de \np{24000}~\euro{} en 2021 et une augmentation de 3\,\% le 1\up{er}
janvier de chaque année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire un calcul justifiant que le salaire obtenu en 2022 avec ce contrat est de \np{24720}~\euro.
\end{enumerate}

On modélise le salaire annuel en euro par une suite $u$ pour laquelle, pour tout entier naturel $n,\:u_n$ représente le salaire perçu l'année $(2021 + n)$.

Ainsi $u_0 = \np{24000}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est la nature de la suite $u$ ?
\item Calculer le salaire perçu en 2030.
\item On donne le programme suivant écrit en langage Python.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{def cumul} (duree) :\\
\qquad montant = 0\\
\qquad u = 24000\\
\qquad \textbf{for} compteur \textbf{in} range (duree) :\\
\qquad \qquad montant = montant + u\\
\qquad \qquad u = u * 1.03\\
\qquad  \textbf{return} montant\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Que renvoie cumul (5) ? Interpréter la réponse obtenue dans le contexte de l'exercice.
\item Dans l'objectif de constituer une épargne de \np{50000}~\euro, l'employé envisage d'économiser chaque année \textbf{un dixième de son salaire}. 

Combien d'années lui faudra-t-il pour atteindre son objectif en procédant ainsi?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une usine fabrique des pièces pour des vélos électriques à l'aide de trois machines $a,\: b$ et $c$. 

La machine $a$ produit 40\,\% des pièces, la machine $b$ en produit 35\,\% et la machine $c$ produit le reste.

Après une étude de qualité, il apparaît que 2\,\% des pièces issues de la machine $a$ sont défectueuses.

L'étude a aussi montré que les machines $b$ et $c$ produisent aussi quelques pièces défectueuses.

On choisit au hasard une pièce produite dans l'usine.

On note $A, B, C$ et $D$ les évènements respectifs 

\og la pièce provient de la machine $a$ \fg,

\og la pièce provient de la machine $b$ \fg,

\og la pièce provient de la machine $c$ \fg{} et

\og la pièce est défectueuse\fg{} ; 

$\overline{D}$ est l'évènement \og la pièce est conforme \fg.

On a construit ci-dessous un arbre pondéré de probabilités incomplet qui traduit cette situation.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\naput{0,4}}
	{\TR{$D$}\naput{0,02}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$B$~~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$D$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{0,97}
	}
\pstree{\TR{$C$~~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$D$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Que signifie le nombre $0,97$ dans l'arbre de probabilités ci-dessus ?
\item Reproduire et compléter l'arbre en remplaçant uniquement les pointillés par
des valeurs en écriture décimale.
\item Grâce à cet arbre, calculer et donner en pourcentage la probabilité que la
pièce soit issue de la machine $a$ et défectueuse.
\item Le contrôle qualité a aussi montré que la probabilité qu'une pièce soit issue de
la machine $c$ et soit défectueuse est égale à 1\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer et donner en pourcentage la probabilité que la pièce choisie
au hasard soit défectueuse, sachant qu'elle provient de la machine $c$.
		\item Finir de compléter l'arbre en indiquant les probabilités sur les branches issues de l'évènement C.
		
En déduire la probabilité que la pièce choisie au hasard soit défectueuse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}