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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{janvier 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Métropole-La Réunion~e3c \no 322~\decofourright\\[5pt] janvier 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Séries technologiques}

\medskip

\textbf{Partie I- Exercice 1}

\medskip

Automatismes (5 points) Sans calculatrice\hfill 
Durée: 20 minutes

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|m{4cm}|}\hline
&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Énoncé}}&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Réponse}}\\ \hline
\textbf{1.~~}&5\,\% de 32 millions&\\ \hline
\textbf{2.~~}&$\dfrac{4}{3}  - \dfrac{2}{5}$&\\ \hline
\textbf{3.~~}&Une exploitation a une superficie de $1,2 \times 10^5$ m$^2$ soit
&\ldots\ldots ha\\ \hline
\textbf{4.~~}&Donner l'écriture décimale de 

$\dfrac{5 \times 10^3 + 3 \times 10^2}{10^5}$&\\ \hline
\textbf{5.~~}&La droite passant par les points A(2~;~3) et 8(4~;~0) a pour coefficient directeur&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{PARTIE 1(suite) Automatismes \hfill(5 points)\hfill Sans calculatrice}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\hline
&\multicolumn{1}{|c|}{ \textbf{Énoncé}}&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Réponse}}\\ \hline
\textbf{6.~~}&Dans le repère (O~;~I, J) ci-dessous, on donne la  représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[- 3~;~4]$&L'image de $- 2$ par $f$  est 

\dotfill\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{7.~~}&\multirow{3}{8cm}{\psset{unit=0.4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-9,-6)(9,6)
\rput(0,5.5){Par lecture graphique, compléter les phrases de} 
\rput(-4.5,4.755){la colonne \og Réponse \fg }
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8](-4,-3)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-3.)(5,4)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,-1)(-2.5,-0.67)(-2,1)(-1,3)(0,1)(1,-2)(2,-3)(3,-2)(4,1)
\uput[dl](0,0){\small O} \uput[d](1,0){\small I} \uput[l](0,1){\small J} 
\end{pspicture*}
\end{center}}
&
Le nombre d'antécédent(s) de 0 par $f$ est 

\dotfill\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{8.~~}&&L'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = - 2$ est

\dotfill\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{9.~~}&&L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant -2$ est 

\dotfill\\ \hline

~~
%\vspace{0.5cm}
\textbf{10.~~}&\psset{xunit=0.02cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-50,-1)(310,4)
\multido{\n=0+50}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,4) \uput[d](\n,0){\n}}
\psframe(0,0)(221,0.5)\uput[r](221,0.25){221}\uput[l](0,0.25){Liste D}
\psframe(0,1)(255,1.5)\uput[r](255,1.25){255}\uput[l](0,1.25){Liste C}
\psframe(0,2)(251,2.5)\uput[r](251,2.25){251}\uput[l](0,2.25){Liste B}
\psframe(0,3)(273,3.5)\uput[r](273,3.25){273}\uput[l](0,3.25){Liste A}
\end{pspicture}&\vspace{-1.5cm}Calculer le pourcentage de votants pour chaque liste dans la population totale.

Liste A : \ldots 

Liste B :  \ldots 

Liste C :  \ldots 

Liste D : \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

 
\textbf{\large PARTIE II}

\medskip

Calculatrice autorisée \hfill Durée: 1~h~30 

Cette partie est composée de trois exercices indépendants.

\medskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

On lance une balle du haut d'un mur. Soit $(x~;~y)$ les coordonnées du point représentant cette balle dans un repère orthonormé du plan placé comme sur la figure ci-dessous ($x$ et $y$ sont des longueurs en mètres).

On modélise la trajectoire de la balle jusqu'à ce qu'elle touche le sol par une portion de courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = f(x)$ avec $f$ fonction définie sur $\R$ par $f(x) = - 0,25x^2 + 2,4x + 4$.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(14,11)
\multido{\n=0.0+0.4}{36}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0.0+2}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0.0+0.4}{28}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(14,\n)}
\multido{\n=0.0+2}{5}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(14,11)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11.06}{2.4 x mul 4 add x dup mul 0.25 mul sub}
\uput[ur](8,7){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Lire graphiquement la hauteur maximale atteinte par la balle avec la précision permise par le graphique.
		\item Le script ci-dessous doit permettre d'estimer le maximum de f.
		
Recopier et compléter les lignes 7 et 11 du script, sachant qu'en l'exécutant on a obtenu comme sortie: 9.76 atteint en \np{4.7999999999999983}.

\begin{center}
\begin{tabular}{c|l}
1 &def $f(x)$:\\
2 &\hspace{0.8cm}return$(-0,25*x*x+2.4* x+4)$\\ 
3 &\\
4 &$x=4$\\
5 &max $=f(4)$\\
6 &while $x < 6 :$\\
7&\hspace{0.8cm}if $f(x) ...$\\
8&\hspace{1.2cm} max $= f(x)$\\ 
9&\hspace{1.2cm}$x$ atteint $= x$\\
10 &\hspace{0.8cm}$x=x+0.01$\\
11 &print(...\og atteint en \fg, ...)\\
\end{tabular}
\end{center}

		\item Expliquer les choix des valeurs 4 et 6 en ligne 4 et 6 du script.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$,\: $f(x) = -0,25(x - 4,8)^2 + 9,76$.
		\item En déduire la hauteur maximale atteinte par la balle.
	\end{enumerate}

 : 

\item  Déterminer à quelle distance du mur, la balle retombe au sol. Expliquer votre démarche.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

On s'intéresse à un levier mécanique utilisé dans une usine. Celui-ci parcourt une distance de 10 mètres en 10 secondes mais pas à vitesse constante. On note $d(t)$ la distance en mètre parcourue par le levier, en fonction du temps $t$ exprimé en seconde avec $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~10]. 

On suppose que la fonction $d$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~10], on notera $d'$ sa fonction dérivée. 

On donne ci-dessous la courbe représentative de $d$ dans un repère orthonormé qui passe par les points A(5~;~5), E(8~;~9,2), et G(10~;~10).

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(11,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-2)(11,11)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{x dup mul 0.2 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1.5}{8}{x 2 mul 5 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2}{10}{x 0.8 mul 2.8 add}
\rput{-180}(10,10){\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{x dup mul 0.2 mul}}
\uput[ul](5,5){\small A}
\psdots(5,5)(7,9)(9,10)(-1,2)(0,10)(8,9.2)
\uput[ul](7,9){\small B}\uput[ul](9,10){\small C}\uput[ul](-1,2){\small D}\uput[ur](0,10){\small F}\uput[ul](10,10){\small G}\uput[dr](8,9.2){\small E}
\psline(-2,10)(11,10)
\uput[u](9.4,0){temps (secondes}\uput[r](0,10.8){distance (mètres)}
\end{pspicture}
\end{center}

On a également placé sur le graphique les points B(7~;~9), C(9~;~10), D$(-1~;~2)$, et F(0~;~10).

La droite (AB) est la tangente à la courbe au point A ; la droite (CD) est la tangente à la courbe au point E et la droite (FG) est la tangente à la courbe au point G.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement les nombres dérivés $d'(5)$, $d'(8)$ et $d'(10)$.
		\item Quelle est la vitesse instantanée du levier à l'instant 5~s ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux de variation de la distance en mètre parcourue par le levier entre lesinstants 5~s et 10~s.
		\item Que représente concrètement le résultat obtenu dans la question \textbf{2. a.} par rapport au levier automatique ? Expliquer la réponse.
	\end{enumerate}
\item  Pour tout $t \in  [0~;~5]$, la fonction $d$ est définie par: $d(t) = 0,2t^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer pour tout $t \in  [0~;~5]$,\: $d'(t)$ en fonction de $t$.
		\item Calculer $d'(2)$. Que représente concrètement le nombre dérivé d' (2) par rapport au levier automatique ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip
 
Au centre d'aide au sevrage tabagique, $200$ fumeurs ont suivi un traitement $T_1$ ou un traitement $Tz_2$. Au bout de quelques mois ces $200$ personnes subissent un test permettant d'évaluer leur nouvelle dépendance tabagique. Les résultats sont les suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item 28\,\% des personnes sont fortement dépendantes.
\item Parmi les 80 personnes ayant suivi le traitement $T_1$ , $27$ sont non dépendantes.
\item Parmi les personnes ayant suivi le traitement $T_2$ , $33$ sont non dépendantes et $47$ sont faiblement dépendantes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau croisé d'effectifs fourni \textbf{en annexe à remettre avec la copie}. \item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la fréquence $f_1$ des personnes ayant suivi le traitement $T_1$ ?
		\item Quelle est la fréquence $f_2$ des personnes faiblement dépendantes ?
	\end{enumerate}
\item  On choisit au hasard une personne.

Quelle est la probabilité que cette personne ait suivi le traitement $T_1$ ou soit faiblement dépendante?
\item  On considère que le traitement le plus efficace est celui pour lequel le pourcentage de personnes non dépendantes, parmi les personnes ayant suivi le traitement, est le plus élevé.

Quel est le traitement le plus efficace?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à remettre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{\large EXERCICE 4 question 1}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de personnes				&Non dépendantes&Faiblement dépendantes &Fortement dépendantes	&Total\\ \hline
Ayant suivi le traitement $T_1$	&				&						&						&\\ \hline
Ayant suivi le traitement $T_2$	&				&						&						&\\ \hline
Total							&				&						&						&200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}