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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 32}
\lfoot{\small 06313}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 32 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Donner la fraction irréductible égale à $\left(\dfrac12\right)^2 - \dfrac54 \times 3$.&\\ \hline
\textbf{2.} &Donner la forme développée et réduite de 
\vspace{-0.4cm}\[3x(x +1) - (2x +3)^2.\]\vspace{-0.6cm}&\\ \hline
\textbf{3.} &Un prix baisse de 10\,\% puis augmente de 10\,\%. Quel est le pourcentage d'évolution global ?&\\ \hline
\textbf{4.} &À partir de 2020, une population d'oiseaux rares diminue de 1,5\,\% par an. 

Cette situation est modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ est le nombre d'oiseaux l'année $2020 + n$.  Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison.&\\ \hline
\textbf{5.} &Donner le tableau de signes de l'expression 

$4(x - 1)(x + 2)$.&\\ \hline
\textbf{6.} &Résoudre dans $\R$ l'équation $4x^2 = 25$.&\\ \hline
\textbf{7.} &Si la fonction $f$ est définie sur $\R$ par

$f(x) =2x^3 - 3x + 5$, alors $f'(x) = \ldots$&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\hline
\textbf{8.}&Dans le repère ci-dessous, sont représentées la courbe représentative d'une fonction $f$ et sa tangente au point d'abscisse 1.

\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-7,-2.2)(4.2,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-2.2)(4.2,4.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{4.2}{x 2 add dup mul 2 mul 9 div 2 sub}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt]{1}{5}{x 2 add dup mul 2 mul 9 div 2 sub}
\psdots(1,0)
\end{pspicture*}
\end{center}

Que vaut la dérivée de $f$ en 1 ?&\\ \hline
\textbf{9.}&Dans le plan muni d'un repère, le point A de coordonnées $(-1~;~-7)$ appartient-il à la courbe d'équation $y =2x^2 + 4x - 1$ ?&\\ \hline
\textbf{10.}&La fonction $h$ est définie sur [1~;~5] par
$h(x) = \dfrac 2x$.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $h$ au point d'abscisse 2.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip


Grâce aux progrès de la médecine, le taux de mortalité infantile a fortement diminué
au cours du vingtième siècle. Le taux de mortalité infantile est le rapport entre, d’une
part, le nombre d’enfants décédés à moins d’un an et, d’autre part, le nombre
d’enfants vivants à la naissance.
Le tableau ci-dessous présente l’évolution du taux de mortalité infantile en France
entre 1905 et 1955, exprimé pour \np{1000}~naissances (\textperthousand).


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Année $(x_i)$&
Taux de mortalité infantile en \textperthousand $(y_i)$\\ \hline
1905&144,50\\ \hline
1910&118,60\\ \hline
1915&130,40\\ \hline
1920&123,30\\ \hline
1925&94,80\\ \hline
1930&83,80\\ \hline
1935&72,50\\ \hline
1940&91,40\\ \hline
1945&113,70\\ \hline
1950&52,00\\ \hline
1955&38,60\\ \hline
\multicolumn{2}{r}{\emph{Source : INSEE, Statistiques d’état civil}}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans le repère de la feuille annexe, construire le nuage de points $M_i(x_i;y_i)$
associé à ce tableau.
\item On peut observer une surmortalité infantile pendant les deux guerres mondiales,
mais si on ne tient pas compte de ces périodes, un ajustement affine du nuage de
points est envisageable.

\medskip
On ne tient donc plus compte dans la suite de l’exercice des taux de mortalité
infantile des années 1915, 1940 et 1945.
À l’aide de la calculatrice, donner l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$
en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients
au dix-millième.
\item Dans la suite de l’exercice, on admet que la droite $\Delta$ d’équation
$y=-2,018x + 3983$
réalise un ajustement affine convenable du nuage de points.
	\begin{enumerate}
	\item Construire la droite $\Delta$ dans le repère de l’annexe en précisant les coordonnées
des points utilisés pour la construction de cette droite.
	\item En utilisant ce modèle, estimer par un calcul le taux de mortalité infantile en
France en 1933.
	\item Ce modèle pouvait-il encore être utilisé pour estimer le taux de mortalité
infantile en France en 2000 ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\newpage
\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip


Au 31 décembre 2020, une plateforme de jeux en ligne sur abonnement compte
20,16 millions d’abonnés. Cette plateforme souhaite anticiper l’évolution du nombre
d’abonnés dans les années futures.
D’après une étude menée au cours des années précédentes, on peut admettre que
le nombre d’abonnés augmente de 14\,\% par an.

\medskip
On peut alors envisager de modéliser le nombre d’abonnés (en million) par une suite
de premier terme 20,16.

\begin{enumerate}
\item Quel serait alors, avec ce modèle, le nombre d’abonnés au 31 décembre
2021 ?

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’abonnés pour l’année $(2020+n$)
et on suppose que ce modèle reste valable pour les vingt prochaines années.
\item Précisez la nature et la raison de cette suite.
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le nombre d’abonnés prévu au 31 décembre de l’année 2030. On
arrondira la réponse au million.
\item Recopier et compléter la fonction  abonnes() définie ci-dessous en langage
Python afin qu’elle renvoie la première année où le nombre d’abonnés à la
plateforme dépassera $100$~millions et donner la valeur que renvoie ce
programme.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
def abonnes():\\
\hspace{5mm} u= $\cdots$\\
\hspace{5mm} n=0\\
\hspace{5mm} while u< $\cdots\cdots$ :\\
\hspace{1cm} u= $\cdots$\\
\hspace{1cm} n=n+1\\
\hspace{5mm} return $\cdots$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\newpage
\bigskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Dans son atelier, un artisan dispose d’un four pour travailler le verre. À la fin de la
fusion des pièces de verre, la température du four est de $\np{1000}~\degres$C. L’artisan éteint
alors le four. La température de l’atelier, de $20~\degres$C, est supposée constante.

On s’intéresse à la phase de refroidissement du four.

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois courbes suivantes, quelle est la seule qui peut correspondre à
l’évolution de la température du four en fonction du temps exprimé en heure, à
partir du moment où l’on a éteint le four ? Argumenter la réponse.

\psset{xunit=6mm,yunit=0.06mm,algebraic}
\begin{pspicture}(-0.5,-80)(6.5,1050)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,xunit=1,yunit=200](0,0)(0,0)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,xunit=0.2,Dx=5,Dy=200,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.5,-5)(30,1000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,xunit=0.2,linecolor=blue]{0}{30}{980*0.8^x +20 }
\uput[d](3,-70){Courbe 1}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,-80)(6.5,1050)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,xunit=1,yunit=150](0,0)(0,0)(6,6.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,xunit=0.2,yunit=0.75,Dx=5,Dy=200,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.5,-5)(30,1300)
\pscurve[linewidth=1.25pt,xunit=0.2,yunit=0.75,linecolor=blue](0,1000)(2.5,1200)(5,1000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,xunit=0.2,yunit=0.75,linecolor=blue]{5}{30}{980*0.8^(x-5) +20 }
\uput[d](3,-70){Courbe 2}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,-80)(12,1050)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,xunit=1,yunit=200](0,0)(0,0)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,xunit=0.2,Dx=5,Dy=200,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.5,-5)(30,1000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,xunit=0.2,linecolor=blue]{0}{30}{980*0.85^x +20}
\uput[d](3,-70){Courbe 3}
\end{pspicture}

\bigskip

On note $t$ le temps (en heure) écoulé depuis l’instant où le four a été éteint. La
température du four (en degré Celsius) est modélisée par une fonction $f$ définie, pour
tout nombre réel $t$ positif, par : 
\[f(t) = 980\left(\dfrac{4}{5}\right)^t+ k,\]
 où $k$ est un nombre réel.
\item Déterminer la valeur de $k$ sachant qu’au bout de $10$~heures la température du
four est de $125~\degres$C.

\medskip

On considère à présent que, pour tout nombre réel $t$ positif, 
\[f(t) = 980\left(\dfrac{4}{5}\right)^t + 20.\]

\item Justifier le sens de variation de la fonction $f$.
\item Pour ne pas abîmer les pièces de verre à l’intérieur du four il faut que la
température du four, quand on l’ouvre, soit inférieure à $70~\degres$C.

Pourra-t-on ouvrir le four au bout de 8~h ?
\item Déterminer au bout de combien d’heures le four pourra être ouvert sans
risque pour les pièces de verre.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\Large \textbf{ANNEXE à rendre avec la copie\\[8pt]
Exercice 2}}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.7,-2)(15,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray,xunit=1.2](0,0)(0,0)(11,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1905,xunit=0.24,yunit=0.05,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(55,180)
\uput[d](13,-0.1){Année}
\uput[r](0,9.2){Taux de mortalité infantile en \textperthousand}
\rput(0.1,9.5){ }
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}