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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small 06292}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 5 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE 1- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

Indiquer les réponses dans la colonne de droite du tableau. Aucune justification n'est attendue.


\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8.5cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Énoncé&Réponse\\ \hline
\textbf{1.} &Une bibliothèque contient \np{8000} livres dont 70\,\%
sont des romans.

Combien de romans contient cette bibliothèque ?&\\ \hline
\textbf{2.} &En juillet, un parc d'attraction accueille \np{120000}~personnes.

Le nombre de visiteurs augmente de $30$\,\% en août.

Combien de personnes seront accueillies en août dans ce parc ?&\\ \hline
\textbf{3.}&Le prix d'un casque audio évolue de $120$~\euro{} à $150$~\euro.

Déterminer le taux d'évolution, exprimé en pourcentage, du prix de ce casque.&\\ \hline
\textbf{4.}&Lors des soldes le prix d'un téléphone baisse de 20\,\% puis de 30\,\%.
Déterminer le taux d'évolution global, exprimé en pourcentage, du prix du téléphone.&\\ \hline
\textbf{5.}&Effectuer le calcul suivant et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :
\[A = \dfrac17 + \dfrac67 \times \dfrac{5}{12}.\]\vspace{-0.5cm}&\\ \hline
\textbf{6.}& Développer et réduire $-5x(x - 1)(x + 2)$.&\\ \hline
\textbf{7.}&Dans un repère du plan, on considère deux points C$(-1~;~3)$ et D$(2~;~-5)$.

Déterminer le coefficient directeur de la droite (CD).&\\ \hline
\textbf{8.}&On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

$f(x) = - 2(x + 3)(x - 4)$.

Dresser le tableau de signe de $f$ sur $\R$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8.5cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Énoncé&Réponse\\ \hline
\multicolumn{3}{|p{14cm}|}{Pour les questions 9. et 10., on considère la formule suivante: 

\[E_c =\dfrac12mv^2\]

où $E_c$ désigne l'énergie cinétique exprimée en joule, $m$ désigne la masse en kg et $v$ désigne la vitesse en m . s$^{-1}$.}\\ \hline
\textbf{9.}& Dans cette question :
\begin{center}$m = 150$ kg et $v = 10$ m. s$^{-1}$.\end{center}
Calculer $E_c$.&\\ \hline
\textbf{10.}&À partir de la formule $E_c = \dfrac12 mv^2$, exprimer $v$ en
fonction de $E_c$ et de $m$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}\textbf{PARTIE II} \end{center}

\medskip

\textbf{La calculatrice est autorisée selon la réglementation en vigueur.}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise qui gère des pompes d'alimentation de bac de stockage fait contrôler les pompes sur différents sites.

20\,\% des pompes sont sous garantie.

Le technicien constate que:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~] 1\,\% des pompes sous garantie sont défectueuses ;
\item[$\bullet$~~] 10\,\% des pompes qui ne sont plus sous garantie sont défectueuses.
\end{itemize}

On tire au hasard, dans le fichier de l'entreprise, la fiche d'une pompe dont l'entreprise assure le contrôle.

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}
On considère les évènements suivants :

$G$: \og la fiche tirée est celle d'une pompe sous garantie \fg{} et 

$D$ : \og la fiche tirée est celle d'une pompe défectueuse \fg.

On note $\overline{G}$ et $\overline{D}$ les évènements contraires.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier sur votre copie l'arbre pondéré ci-contre qui modélise la situation et le compléter par les probabilités manquantes.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G$~~}\naput{\ldots}}
	{\TR{$D$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}$~~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$D$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=2]
\item Démontrer que p(D) est égal à 0,082. A-t-il raison?
\item  Le technicien affirme que moins de 3\,\% des pompes défectueuses sont sous garantie.
\end{enumerate}

On tire au hasard 50 fiches de pompes dans le fichier de l'entreprise. Ces fiches sont indiscernables au toucher et ont la même probabilité d'être tirées. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. 

On note X la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 50 fiches, associe le nombre de fiches de pompes défectueuses.

\begin{enumerate}[resume]
\item  La variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que, parmi les 50 fiches tirées, il y ait exactement 3 fiches de
pompes défectueuses. Arrondir au millième. 
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0$ égal à $300$ et de raison $q$ égale à 1,13.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cette suite sert à modéliser une évolution. 
Préciser si cette évolution correspond à une augmentation ou une diminution et indiquer le taux d'évolution, exprimé en pourcentage, associé.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
\item Justifier que $u_{11}$ est proche de \np{1150}.
\item Calculer $\displaystyle\sum_{i = 0}^{11} u_i$ soit $u_0 + u_1 + \ldots + u_{11}$. 

On arrondira le résultat à l'unité.
\end{enumerate}

Une usine a produit et installé au total plus de \np{7500} piscines dans la région de la Loire, de janvier 2007 à janvier 2019. 

Cette usine est passée d'une capacité de production annuelle de $300$ piscines en 2007 à \np{1150} piscines en 2018. La production annuelle suit une évolution relative constante.
\begin{enumerate}[resume]
\item Peut-on utiliser la suite $\left(u_n\right)$ pour modéliser la production de piscines depuis 2007 de cette usine ? 

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Lorsqu'un fil conducteur est parcouru par un courant électrique d'intensité constante, ce fil conducteur s'échauffe par effet Joule et sa température varie en fonction du temps.

On note $f(t)$ la température, exprimée en degré Celsius, du fil conducteur à l'instant $t$, exprimé en seconde, avec $t$ variant dans l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

Dans cet exercice, on se propose d'étudier l'évolution de la température du fil conducteur en fonction du temps. 

On admet que la fonction modélisant la température du conducteur par rapport au temps est la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par: 
\[f(t) = - 22 \times 0,95^t + 40.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la température du conducteur, exprimée en degré Celsius, lors de la mise sous tension.
\item Déterminer la température du conducteur au bout d'une minute. On arrondira le résultat au degré Celsius près.
\end{enumerate}
\end{document}