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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 71}
\lfoot{\small 06358}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 71 Terminale technologique \decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\hline
	&\textbf{Énoncé} &\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.}	&Calculer 25\,\% de $280$.&\\ \hline
\textbf{2.}	&À quelle fraction irréductible correspond le quart de deux cinquièmes ?&\\ \hline
\textbf{3.}	&Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : 
\begin{center}$- \dfrac23 + \dfrac56 \times \dfrac{3}{10}$\end{center}&\\ \hline
\textbf{4.}	&Écrire sous la forme d'une seule puissance : 
\begin{center}$\dfrac{5^3 \times 5^{-12}}{ 5^{12}}$\end{center}&\\ \hline
\textbf{5.}	&Donner l'écriture décimale du nombre suivant: 
\begin{center}$- 0,03 \times 10^{-3}$\end{center}&\\ \hline
\textbf{6.}	&Développer: $(2x + 3)(2x - 3) - (x - 1)^2$&\\ \hline
\textbf{7.}	&Factoriser: $(7x - 3)^2 + (7x - 3)(x + 2)$&\\ \hline
\textbf{8.}	&Calculer la dérivée de la fonction $g$ définie sur $\R$ par:
\begin{center}$g(x) = 2x^3 - 6x^2+x\sqrt 3 + 1$\end{center}&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Voici un histogramme de distribution des vitesses des vents en un lieu donné.

Répondre aux questions par lecture graphique.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.1,-5)(10,60)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(10,60)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](1,50)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](1,0)(2,26.25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](2,0)(3,12.5)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](3,0)(4,10)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](4,0)(5,3.75)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5,0)(8,1)
\uput[u](9,0){Vitesse (en m/s)}
\rput(6,40){\psframe(1,10) }\rput(6.5,45){$10\,\%$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\hline
	&\textbf{Énoncé} &\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{9.}	&Avec la précision permise par le graphique, quel est le pourcentage de vitesse des vents comprise entre 1 et 2 m/s?&\\ \hline
\textbf{10.}&VRAI ou FAUX :

\og La vitesse médiane des vents est inférieure à 2~m/s\fg&\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{center}\textbf{PARTIE II\\[7pt]
Calculatrice autorisée}\end{center}

\medskip

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un fabricant de trottinettes électriques souhaite arrêter la production d'un modèle. 

Chaque mois, \np{1750} trottinettes de ce modèle sont produites. 

L'entreprise décide de diminuer la production de $165$ unités par mois.

On souhaite modéliser la situation à l'aide d'une suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ de sorte que, tant que $t_n \geqslant 0,\:t_n$ est égal au nombre de trottinettes fabriquées le $n$-ième mois après le début du plan de réduction. On a $t_0 = \np{1750}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $t_1$ et $t_2$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(t_n\right)$ ? Justifier.
\item Exprimer $t_n$ en fonction de $n$.
\item L'entreprise cessera la production lorsque le nombre de trottinettes électriques fabriquées sera inférieur à $100$.
	\begin{enumerate}
		\item Quand ce seuil sera-t-il atteint ?
		\item Combien de trottinettes au total auront-elles été produites entre le mois où la
décision de réduction de production a été prise et l'arrêt de la production?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne le chiffre d'affaires d'une entreprise entre 2014 et 2020 en millions d'euros.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2014 	&2015 	&2016 	&2017 	&2018 	&2019 	&2020\\ \hline
Rang de l'année:
$x_i$						&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
Chiffre d'affaires :
 $y_i$ (en millions d'euros)&18,3 	&20,1 	&23,3	&25,3 	&27,8 	&30,6 	&32,4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère avec pour unités : 1 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour 5 en ordonnée.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Arrondir les coefficients au centième.
\item Dans cette question, on prend la droite $d$ d'équation $y= 2,4x + 18,1$ comme droite d'ajustement du nuage de points.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $d$ dans le repère de la figure de la question 1.
		\item En utilisant cet ajustement, estimer le chiffre d'affaires de cette entreprise en 2021. Arrondir au million près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Pour permettre aux clients d'essayer certains produits, le gérant d'un magasin de sport souhaite faire aménager un espace de test sur le parking de son magasin. Il veut que cet
espace soit rectangulaire, accolé au magasin et qu'il occupe $200$~m$^2$.

\bigskip

\begin{minipage}{0.52\linewidth}
De plus, il souhaite que cet espace soit clos et que le mur mitoyen
entre cet espace et le magasin soit protégé.

L'entreprise à laquelle il a confié la conception de cet espace lui facture la clôture au prix de $120$~\euro{} le mètre et la protection du mur au prix de $150$~\euro{} le mètre.

On note, en mètre, $x$ la longueur de mur à protéger et $y$ l'autre dimension de l'espace de test. Pour des raisons techniques, on admet que $x$ est compris entre 10 et $40$~m.

Le gérant cherche les dimensions, $x$ et $y$, de l'espace qui minimisent le prix de la réalisation de cet espace.

\medskip

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.44\linewidth}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,8.4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.7,3.5)\rput(3.35,1.75){Magasin}
\psframe[fillstyle=vlines](0,3.5)(7,8.4)\rput(3.5,6.45){PARKING}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,3.5)(4.9,5.5)\rput(3.45,4.5){Espace de test}
\psline[linewidth=3pt](2,3.5)(4.9,3.5)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(2,3.3)(4.9,3.3)\uput[d](3.45,3.3){$x$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5.1,3.5)(5.1,5.5)\uput[r](5.1,4.5){$y$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $y = \dfrac{200}{x}$.
\item Montrer que le prix en euro de la réalisation de cet espace en fonction de $x$ est donné par la fonction $p$ définie sur [10~;~40] par 
\begin{center}$p(x) = 270x + \dfrac{\np{48000}}{x}$.\end{center}

\item Montrer que la dérivée de la fonction $p$ définie sur [10~;~40] peut s'écrire:
\begin{center}$p'(x) = \dfrac{30(3x - 40)(3x + 40)}{x^2}.$\end{center}
\item Étudier les variations de la fonction $p$ sur l'intervalle [10~;~40].
\item Déterminer les dimensions de la zone pour que le prix de la réalisation de l'espace de test soit minimal.

Combien le gérant devra-t-il alors payer pour la réalisation de cet espace?

\end{enumerate}


\end{document}