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%aTpuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{janvier 2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Métropole-La Réunion~e3c \no 726~\decofourright\\[5pt] janvier 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Séries technologiques}

\medskip

%Début 726

\textbf{PARTIE II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\smallskip

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{Exercice 2\hfill  5 points}

\medskip

Un responsable commercial du service de Vélos à Assistance électrique (VAE) dans une entreprise de fabrication de deux roues, doit proposer une estimation du nombre de vélos à produire pour les années à venir. En 2018 l'entreprise a réalisé \np{4500}~ventes de VAE. Le marché étant porteur et dynamique, ce responsable estime que le nombre de ventes progressera 
chaque année de $22\,\%$.

\smallskip

On note $v_n$ le nombre de VAE vendus par l'entreprise en  $2018 + n$.  On .a donc $v_0 = 500$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau ci-dessous \textbf{sur votre copie} en complétant les valeur manquantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A						&B	&C	&D	&E\\ \hline
1	&Rang de l'année $n$	&0	&1	&2	&3\\ \hline
2	&Nombre de ventes $v_n$	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\item Exprimer $v_{n+1}$ en  fonction de $v_n$ pour tout entier naturel $n$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ? Préciser sa raison.
\item Le responsable souhaite connaître le nombre d'années nécessaire pour que les ventes de VAE dépassent \np{20000}~unités. 

Pour cela il a préparé un script, en langage Python. Recopier sur votre copie et compléter ce script afin qu'il permette d'obtenir la réponse au problème.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def temps\_attente()\\
$v=\np{4500}$\\
$n=0$\\
while \ldots\ldots\\
\hspace{0.8cm}$v = v*1,22$\\
\hspace{0.8cm}return \ldots\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item  Déterminer la valeur renvoyée par ce programme par la méthode de votre choix.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3\hfill  5 points}

\medskip

Une entreprise commercialise des chocolats. La production hebdomadaire maximale est de \np{30000} chocolats. On suppose que la totalité de la production hebdomadaire est vendue chaque semaine. 

Les charges de production, en euro, pour $x$ milliers de chocolats vendus
sont modélisées par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par 

\[C ex) = 4x^2 + 4x + 520.\]

L'entreprise fixe le prix de vente d'un chocolat à $0,128$ euros. 

Pour la vente de $x$ milliers de chocolats le chiffre d'affaires, en euro, est donné par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par $R(x) = 128x$.

$\mathcal{C}_R$ et $\mathcal{C}_C$ d"signent les courbes représentatives de $R$ et $C$ dansle repère ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.001cm}
\begin{pspicture}(-3,-100)(46,4400)
\multido{\n=0+1}{47}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,4400)}
\multido{\n=0+100}{45}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(46,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(46,4400)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{30}{x dup mul 4 mul 4 x mul add 520 add}
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(30,3840)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Le résultat réalisé pour $x$ milliers de chocolats vendus est donné par la fonction $B$, définie pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~30] par  : $B(x) = R(x) - CCx)$.
la réponse au problème.

%T1CMATH00726

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $B(x) = -4x^2 +124x - 520$.
\item Montrer que $B(x) = -4(x - 5)(x - 26)$.
\item En déduire le tableau de signesde $B(x)$ sur [0~;~30].
\item À l'aide des questions précédentes déterminer les quantités de chocolats à produire permettant d'obtenir un résultat positif.
\item Quelle est la quantité de chocolats à produire pour maximiser le résultat hebdomadaire ? 

On précisera la valeur de ce résultat maximal en euro.
\end{enumerate}
%T1CMA TH00726

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Un sac contient trois boules rouges et deux boules jaunes. 

Une partie consiste à prélever deux boules successivement en replaçant la première boule tirée dans l'urne avant le deuxième tirage.

On définit les évènements suivants:

\medskip

\begin{description}
\item[ ] $R$ : \og la boule tirée est rouge \fg ;
\item[ ] $J$ : \og la boule tirée est jaune \fg.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier sur votre copie et compléter l'arbre des probabilités suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$R$~~}\taput{0,6}}
	{
	\TR{$R$}
	\TR{$J$}
	}
\pstree{\TR{$J$~~}}
	{\TR{$R$}
	\TR{$J$}
	}
}
\end{center}

Chaque boule rouge tirée rapporte 2 \euro. Chaque boule jaune fait perdre 1 \euro.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue d'une partie.
\item Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$			&$- 2$	&1		&\ldots\\ \hline
$P(X = k)$	&0,16	&\ldots	&0,36\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Déterminer $P(X > 0)$. Interpréter le résultat précédent. 
\item Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}
%T1CMATH00726
\end{document}