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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{janvier 2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Métropole-La Réunion~e3c \no 741~\decofourright\\[5pt] janvier 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Séries technologiques}

\medskip

%Début 741

\textbf{PARTIE II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\smallskip

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = - 2x^2 + 6x + 8.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $f(x) = - 2(x + 1)(x - 4)$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
\item Faire un schéma à main levée de l'allure de la courbe représentative de $f$dans un repère orthonormé.
\item Expliquer pourquoi le maximum de la fonction $f$ est atteint pour $x = 1,5$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 1~;~4]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Un hôtel propose trois formules d'hébergement:


\smallskip
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item  nuit avec petit-déjeuner
\item  demi-pension
\item  pension complète
\end{itemize}

La directrice de l'hôtel s'intéresse aux durées des séjours de ses clients pendant l'année 2019 et les classe en deux catégories:

\smallskip
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item séjour d'une semaine ou moins
\item séjour de plus d'une semaine
\end{itemize}

Voici quelques-unes des informations dont elle dispose:

\smallskip
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item \np{5000} clients ont fréquenté l'hôtel en 2019.
\item 3100 clients ont séjourné une semaine ou moins.
\item 750 clients ont séjourné en pension complète.
\item \np{3500} clients ont choisi la demi-pension et, parmi ceux-ci, \np{1050} sont restés plus d'une semaine
\item 420 clients ont.séjourné en pension complète pendant plus d'une
semaine.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de clients ont séjourné plus d'une semaine à l'hôtel?
\item Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous.

On ne demande pas le détail des calculs.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Séjours&Nuit avec petit- déjeuner&Demi-pension&Pension  complète&Total\\ \hline
Une semaine ou moins&&&&\\ \hline
Plus d'une semaine&&&&\\ \hline 
Total&&&&\np{5000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quel pourcentage de clients a séjourné plus d'une semaine?
\item Parmi les clients qui ont séjourné une semaine ou moins, quelle est la proportion
de ceux qui ont choisi la demi-pension? Arrondir à l'unité de pourcentage.
\item On interroge au hasard un des clients de l'hôtel en 2019. . 

Quelle est la probabilité qu'il ait séjourné à l'hôtel en pension complète sachant qu'il est resté plus d'une semaine ? Arrondir au centième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} 

\medskip

Un apiculteur vend des cartons de pots de miel.

Le coût, en euro, de production de $n$ cartons, $n \leqslant 120$, est modélisé par le nombre $C(n)$, où $C$ est la fonction définie sur [0~;~120] par $C(x) = 0,25 x^ 2+ 500$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le coût de fabrication de $40$ cartons.
\item On considère le bénéfice, en euro, réalisé après la production et la vente de $n$ cartons. On admet qu'il est modélisé par le nombre $B(n)$, où $B$ est la fonction définie sur [0~;~120] par :

\[B(x) = - 0,25x^2 + 30x - 500.\]

Montrer que pour tout $x$ appartenant à [0~;~120], $B(x) = -0,25(x - 20)(x -100)$.
\item Déterminer le tableau de signes de B(x) sur [0 ;120].
\item Combien de cartons doit produire et vendre l'apiculteur pour réaliser un bénéfice ?
\item Déterminer le nombre de cartons à produire et à vendre pour que le bénéfice soit maximal.
\end{enumerate}

\end{document}