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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small 06296}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 9 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE 1- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\emph{Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. Aucune justification n'est demandée}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8.5cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &
Un particulier dépose 350~\euro{} sur un livret d'épargne rémunéré à 2\,\% d'intérêts annuels simples.

Quel sera le montant, exprimé en euro, des intérêts générés par ce dépôt au bout d'un an ?&\\ \hline
\textbf{2.} &Un jour donné, le cours d'une action cotée en bourse a augmenté de 25\,\% ; le lendemain, le cours de cette action a diminué de 20\,\%.

Quelle est l'évolution globale, sur ces deux jours, du cours de cette action ?&\\ \hline
\textbf{3.} &$V_D$ et $V_A$ désignent des nombres strictement positifs.

Si $t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}$, exprimer $V_D$ en fonction de $V_A$ et $t$.&\\ \hline
\textbf{4.} &Le chiffre d’affaires d’une entreprise augmente de 10\,\% par an depuis 2010. On modélise le chiffre d’affaires par une suite $\left(C_n\right)$.

Cette suite est-elle arithmétique, géométrique ou ni arithmétique, ni géométrique ?&\\ \hline
\textbf{5.} &Donner l’expression développée et réduite de : \vspace{-0.3cm}
\begin{center}$(2x - 3)^2 - (x - 2).$\end{center}&\\ \hline
\textbf{6.} &Que vaut le résultat de $\dfrac{1,23 \times \np{4567}}{\np{1230} \times 4,567}$ ?&\\ \hline
\textbf{7.} &Résoudre, dans $\R$, l'équation suivante :\vspace{-0.3cm}
\begin{center}$x^2 = 10$.\end{center}&\\ \hline
\textbf{8.} & Résoudre, dans $\R$, l'inéquation suivante : \vspace{-0.3cm}
\begin{center}$(5 - x)(x + 8) > 0$.\end{center}&\\ \hline
\textbf{9.} &On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par $f(x) = x^3 - 5x^2 +7x - 11$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Exprimer, pour tout réel $x,\:f'(x)$ en fonction de $x$.&\\ \hline
\textbf{10.} &10. On considère la fonction $h$ définie, pour tout réel$x$ par $h(x) x^2 - 7x  + 9$.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à sa courbe représentative au point d'abscisse $5$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Lors de son embauche dans une société pour un contrat à durée déterminée d'un an, Harry
se voit proposer un salaire mensuel net de \np{1590}~\euro{}  le premier mois puis, à compter du
deuxième mois, une augmentation chaque mois de $15$~\euro{}  par rapport au salaire mensuel net
précédent.

Sur l'année, Harry percevra douze salaires mensuels nets, ce qui constituera son salaire annuel
net.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le salaire mensuel net d'Harry le deuxième mois de son contrat ainsi que celui le
troisième mois de son contrat.
\item  On note $u_n$ le montant, exprimé en euros, du salaire mensuel net d'Harry le $n$-ième mois
de son contrat où $n$ est un entier naturel non nul. Ainsi, on a $u_1 =\np{1590}$.
	\begin{enumerate}
	\item Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Le salaire annuel net d’Harry dépassera-t-il les \np{20000}~\euro\  le temps de son contrat d’un an ?

On justifiera la réponse.
\item Les charges salariales représentent 23\,\% du salaire annuel brut d'Harry. Ces charges
viennent se déduire du salaire annuel brut afin de donner le salaire annuel net.

{\bf Recopier} et compléter la {\bf ligne 2} de l'algorithme suivant en langage Python, afin qu'il
retourne le salaire brut lorsque l'on entre le salaire net.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
1 &def net\_ vers\_ brut (salaire\_ net) :\\
2&\hspace{5mm} salaire\_ brut = $\cdots\cdots$\\
3&\hspace{5mm} return(salaire\_ brut)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Des bactéries, champignons et levures sont présents dans tous les produits pétroliers.
Dans les régions chaudes telles que les Antilles, la prolifération des bactéries dans le gazole
est courante. Ces micro-organismes se développent dans l’eau produite dans les réservoirs
essentiellement par la condensation.

On considère un échantillon de gazole comprenant initialement $200$~bactéries par
millilitres (mL). Des études expérimentales montrent que le nombre de bactéries par mL
augmente régulièrement de 15 \% par heure.
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de bactéries par mL contenues dans l’échantillon au bout d’une heure.

\medskip

On s’intéresse à cette évolution sur les $10$~premières heures et on note $f$ la fonction qui
modélise le nombre de bactéries par mL en fonction du temps $t$ (en heures) mesuré à partir
de l’instant initial. Ainsi $f(0) = 200$.

On admet que, pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0~;~10]$, on a :

\[f(t)= 200 \times 1,15^t.\]

\item  Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~10]$. Justifier la réponse.
\item Calculer le nombre de bactéries par mL au bout de 6~h~30~min. On arrondira le résultat à
l’unité.
\item Sur l’{\bf annexe 1 à rendre avec la copie}, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[7~;~10]$.

Compléter la partie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l’intervalle $[0~;~7]$.

\medskip

On admet qu’il n’y a aucun risque d’utilisation de ce gazole tant que le nombre de bactéries
par mL reste limité à moins de $500$~unités par mL.
\item Déterminer graphiquement au bout de combien de temps il sera risqué d’utiliser ce gazole.

On arrondira le résultat à la demi-heure la plus proche.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Un parc zoologique propose une formule \og visite des coulisses \fg{} payante. 

Le gérant, cherchant à estimer l’effet du prix de cette formule sur le nombre de clients, a régulièrement changé son prix. Il a collecté les données dans le tableau suivant.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.8cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix de la formule en euro $x_i$&7	&9	&11&13&15\\ \hline
Nombre de clients $y_i$			&82	&78	&65&41&20\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter dans le repère donné en {\bf annexe 2 à rendre avec la copie}, le nuage de points
de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$.
\item Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de $y$
en fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
\end{enumerate}

\medskip

Dans toute la suite du problème, on prendra comme ajustement affine la droite $d$ d’équation \hskip3mm  $y = -8x+146$

\begin{enumerate}[resume]
\item Construire la droite $d$ dans le repère donné en {\bf annexe 2}.
\item  On suppose que le nombre de clients évolue en suivant cet ajustement.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer une estimation du nombre de clients si le gérant fixe le prix de la formule à $12$~\euro.
	\item Déterminer par un calcul une estimation du prix maximal de la formule que doit fixer le gérant pour espérer attirer au moins $100$~clients.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\Large Annexe 1 à rendre avec la copie}

{\large Exercice 3}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1mm,algebraic=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-5.5)(12,900)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,xunit=1,yunit=100](0,0)(-0.5,-0.5)(10.4,9)
\multido{\n=0.0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-0.5)(\n,900)}
\multido{\n=0+100}{10}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(10.4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(10.5,900)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7}{10}{200*1.15^x}
\uput[d](8,600){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[u](9,10){Temps en heures}
\uput[r](0,875){Nombre de bactéries par mL}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage 

\begin{center}
{\Large Annexe 2 à rendre avec la copie}

{\large Exercice 4}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(19,90)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,subgriddiv=0](0,0)(0,0)(18,80)
\psaxes[linewidth=1.25pt,xunit=1,yunit=0.5,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(18,160)
\uput[u](16,-0.1){Prix en euros}
\uput[r](0,79){Nombre de clients}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}