\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \usepackage{braket} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPES 2018 }, pdftitle = {Épreuve 2 7 juillet 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Épreuve 2} \lfoot{\small{CAPES externe 7 juillet 2020}} \rfoot{\small{}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]session 7 juillet 2020 Épreuve 2}} \end{center} \vspace{0,5cm} Ce sujet est composé de deux problèmes indépendants. \begin{center} \textbf{\Large Problème \no 1} \end{center} Ce problème propose d'étudier différentes moyennes de nombres positifs. {\large \textbf{Notations.} \medskip $\R^{+*}$ désigne l'ensemble des nombres réels strictement positifs. \begin{center} \textbf{\Large Partie A : cas de deux nombres} \end{center} Dans cette partie, on donne les définitions de différentes moyennes de deux nombres positifs et on présente différentes situations internes ou externes aux mathématiques les faisant intervenir. \medskip \textbf{Définitions} \medskip Étant donnés deux nombres réels $a$ et $b$ positifs, on appelle : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item moyenne arithmétique de $a$ et $b$ le nombre $m$ défini par $m = \dfrac{a + b}{2}$. \item moyenne quadratique de $a$ et $b$ le nombre $q$ défini par $q = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$. \item moyenne géométrique de $a$ et $b$ le nombre $g$ défini par $g = \sqrt{ab}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Lorsque $a$ et $b$ sont strictement positifs, on appelle: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item moyenne harmonique de $a$ et $b$ le nombre $h$ défini par $\dfrac{1}{h}= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right)$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{I. Problème 1 : moyenne des notes} \medskip Lors d'un premier contrôle, un élève a obtenu la note de 9 sur 20. Un deuxième contrôle est prévu, avec le même coefficient que le premier. Quelle est la valeur maximale de la moyenne que cet élève peut obtenir sur ces deux notes ? \medskip \textbf{II. Problème 2 : évolutions en pourcentage} \medskip Entre octobre 2018 et novembre 2018, le prix baril de pétrole brut de la mer du Nord a connu une baisse de 19\,\%. Entre novembre 2018 et décembre 2018, il a connu une nouvelle baisse de 12\,\%. Entre décembre 2018 et janvier 2019, il a connu une hausse de 4\,\%. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution mensuel moyen entre octobre 2018 et décembre 2018, puis entre novembre 2018 et janvier 2019. \item Quel type de moyenne ce problème met-il en jeu ? \end{enumerate} \medskip \textbf{III. Problème 3 : fonte de deux plaques} \medskip On dispose de deux plaques métalliques de formes cylindriques, de même épaisseur $e = 20$~cm, mais de rayons différents $R_1 = 30$ cm et $R_2 = 50$ cm. On décide de fondre ces deux plaques pour en fabriquer deux autres, de même épaisseur e et de même rayon $R$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $R$. \item Quel type de moyenne ce problème met-il en jeu ? \end{enumerate} \medskip \textbf{IV. Problème 4 : vitesse moyenne} \medskip Un cycliste effectue la montée d'un col à la vitesse constante $v_1 = 20$~km/h. Une fois arrivé au col, il redescend par la même route à la vitesse constante $v_2 = 60$~km/h. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet. \item Quel type de moyenne ce problème met-il en jeu ? \end{enumerate} \medskip \textbf{V. Problème 5 : double pesée} \medskip Une loi physique, la loi d'Archimède, permet d'affirmer que la balance ci-dessous est en équilibre si $m \times l = m' \times l'$ où $m$ et $m'$ sont les masses posées sur chaque plateau et $l$ et $l'$ sont respectivement les longueurs OA et OB des deux fléaux de la balance. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,2.4) \def\masse{\pspolygon[linecolor=lightgray](0,0)(1,0)(0.8,0.6)(0.2,0.6)} \psline[linewidth=1.2pt](6,0) \pspolygon*(2.4,0)(3.2,0)(2.8,0.8) \psline(1,0.9)(1,0.4)(4.9,1.2)(4.9,1.7) \psline(0.5,0.9)(1.5,0.9)\psline(4.4,1.7)(5.4,1.7) \rput(0.4,0.95){\masse}\rput(4.4,1.75){\masse} \rput(0.9,1.2){$m$}\rput(4.9,2){$m'$} \rput(1,0.2){A}\rput(4.9,0.9){B}\rput(2.8,1){O} \end{pspicture} \end{center} On souhaite déterminer la masse $x$ d'un objet. On ne connaît pas les longueurs $l$ et $l'$ et on ne peut pas les mesurer. On dispose en revanche de diverses masses marquées. On réalise une première pesée, où l'équilibre est réalisé pour une masse $m$, conformément au schéma ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,2.4) \def\masse{\pspolygon[linecolor=lightgray](0,0)(1,0)(0.8,0.6)(0.2,0.6)} \psline[linewidth=1.2pt](6,0) \pspolygon*(2.4,0)(3.2,0)(2.8,0.8) \psline(1,1.3)(1,0.8)(4.9,0.8)(4.9,1.3) \psline(0.5,1.3)(1.5,1.3)\psline(4.4,1.3)(5.4,1.3) \rput(0.5,1.35){\masse}\rput(4.5,1.35){\masse} \rput(0.9,1.6){$m$}\rput(4.9,1.6){$x$} \rput(1,0.6){A}\rput(4.9,0.6){B}\rput(2.8,1){O} \end{pspicture} \end{center} On réalise une seconde pesée, où l'équilibre est réalisé pour une masse $m'$, conformément au schéma ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,2.4) \def\masse{\pspolygon[linecolor=lightgray](0,0)(1,0)(0.8,0.6)(0.2,0.6)} \psline[linewidth=1.2pt](6,0) \pspolygon*(2.4,0)(3.2,0)(2.8,0.8) \psline(1,1.3)(1,0.8)(4.9,0.8)(4.9,1.3) \psline(0.5,1.3)(1.5,1.3)\psline(4.4,1.3)(5.4,1.3) \rput(0.5,1.35){\masse}\rput(4.5,1.35){\masse} \rput(0.9,1.6){$x$}\rput(4.9,1.6){$m'$} \rput(1,0.6){A}\rput(4.9,0.6){B}\rput(2.8,1){O} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $x$ en fonction de $m$ et $m'$. \item Quel type de moyenne ce problème met-il en jeu ? \end{enumerate} \medskip \textbf{VI. Problème 6 : le problème du bricoleur} \medskip Un bricoleur désire faire des travaux dans une pièce schématisée ci-dessous (la figure n'est pas à l'échelle). \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.8,-0.9)(7.3,4.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.2,0)(0.2,2.85)(0,2.8) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.9,0)(6.1,0)(6.1,4.35)(5.9,4.3) \rput(6.7,2){mur}\rput(6.7,1.5){4,5 m} \rput(-0.5,2){mur}\rput(-0.5,1.5){3 m} \psline(0.2,0)(5.9,0)(0.2,2.85)(0.2,0)(5.9,4.3)(0.2,2.85)(5.9,0) \uput[d](0.2,0){$A$}\uput[u](0.2,2.85){$B$}\uput[d](5.9,0){$D$}\uput[u](5.9,4.3){$C$} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](2.45,0)(2.45,3.45)\uput[r](2.6,1.75){$M$} \uput[d](2.45,0){$K$}\uput[u](2.45,3.45){$L$}\rput(3.5,4.1){toit} \end{pspicture} \end{center} Les segments $[AC]$ et $[BD]$ représentent deux échelles posées l'une contre l'autre qui se croisent en $M$. On pose $a = AB = 3$~m et $b = CD = 4,5$~m.Le bricoleur mesure $1,75$~m et se pose plusieurs questions: \begin{itemize} \item Peut-il passer sous les échelles sans avoir à se baisser ? \item S'il monte s'installer en $M$, pourra-t-il rester debout sans atteindre le toit ou devra-t-il s'accroupir? Quelle serait la hauteur d'une cloison joignant les points $K$ et $L$? \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item En appliquant le théorème de Thalès à des configurations que l'on précisera, démontrer que : \renewcommand\arraystretch{1.9} \[\begin{array}{l c l} \dfrac{b}{KM}&=&1 + \dfrac{MC}{MA}\\ \dfrac{a}{ML}&=&1 + \dfrac{MA}{MC}\\ \dfrac{MB}{MD}&=&\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{a}{b}\\ \end{array}\] \renewcommand\arraystretch{1} \item Répondre à chacune des questions que se pose le bricoleur. \item Exprimer $KL$ sous la forme de l'une des moyennes de $a$ et $b$. \end{enumerate} \medskip \textbf{VII. Problème 7 : hauteur d'un triangle rectangle} \medskip Dans un triangle $AMB$ rectangle en $M$, on note $H$ le pied de la hauteur issue de $M$. On désigne par $a$ la longueur du segment $[HA]$ et $b$ celle du segment $[HB]$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que les triangles $AHM$ et $MHB$ sont semblables et en déduire la longueur $MH$ en fonction de $a$ et $b$. \item Quel type de moyenne ce problème met-il en jeu ? \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{\Large Partie B : toutes les moyennes sur une même figure} \end{center} \smallskip \textbf{VIII.} Construire une figure d'après la description suivante : soit $[AB]$ un segment de milieu $O$. Tracer $\Gamma$ un demi-cercle de diamètre $[AB]$. On considère un point $H$ du segment $[OA]$, distinct de $O$ et de $A$. La perpendiculaire en $H$ à la droite $(AB)$ coupe le demi-cercle $\Gamma$ en $M$. On pose $AH = a$ et $HB = b$. La figure sera complétée au fur et à mesure. \medskip \textbf{IX. Interprétation géométrique des différentes moyennes} \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $OM$ en fonction de $a$ et $b$. La longueur $OM$ représente une certaine moyenne des nombres $a$ et $b$. Préciser laquelle. \item Justifier que $MH^2 = ab$. La longueur $MH$ représente une certaine moyenne des nombres $a$ et $b$. Préciser laquelle. \item Soit $\Gamma'$ le demi-cercle de centre $O$ passant par $H$ qui coupe le segment $[OM]$. La perpendiculaire en $O$ à la droite $(OM)$ coupe $\Gamma'$ en $G$. Exprimer $OG$ en fonction de $a$ et $b$. \item En déduire une expression de $MG$ en fonction de $a$ et $b$. La longueur $MG$ représente une certaine moyenne des nombres $a$ et $b$. Préciser laquelle. \item On considère le point $N$ du segment $[OM]$ tel que $MN = MH$. La parallèle à la droite $(AB)$ passant par $N$ coupe le segment $[MH]$ en $K$. Exprimer $MK$ en fonction de $a$ et $b$. La longueur $MK$ représente une certaine moyenne des nombres $a$ et $b$. Préciser laquelle. \item Ordonner les quatre longueurs $MO$, $MH$, $MG$ et $MK$ en justifiant l'ordre. \end{enumerate} \smallskip \begin{center} \textbf{\Large Partie C : moyenne associée à une fonction} \end{center} \medskip \textbf{X.} Soit $F$ une fonction continue et strictement monotone sur $\R^{+*}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$,il existe un unique nombre strictement positif, noté $\alpha_F$ tel que \[F\left(\alpha_F\right) = \dfrac{F(a) + F(b)}{2}.\] Déterminer quatre fonctions $F_1$,\, $F_2$,\, $F_3$,\, $F_4$ continues et strictement monotones sur $\R^{+*}$ telles que, pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs, \[m = \alpha_{F_1}, \qquad q = \alpha_{F_2}, \qquad g = \alpha_{F_3},\qquad h = \alpha_{F_4}.\] \item Représenter graphiquement, sur quatre graphiques différents, les fonctions $F_1$,\, $F_2$,\, $F_3$,\, $F_4$. Pour chaque représentation graphique, indiquer, pour deux nombres strictement positifs $a$ et $b$ donnés, où se situe le point $\alpha_{F_i}$. \end{enumerate} \smallskip \begin{center} \textbf{\Large Partie D : moyennes de $n$ nombres positifs} \end{center} On généralise les définitions de la partie A au cas de $n$ nombres réels positifs et on se propose de comparer ces différentes moyennes. \textbf{Définitions} Étant donnés un entier naturel $n \geqslant 2$ et $n$ nombres réels $a_1,\; a_2,\,\ldots,\, a_n$ positifs, on appelle : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item moyenne arithmétique de $a_1,\, a_2,\,\ldots,\, a_n$ le nombre $m = \dfrac{a_1 + \ldots + a_n}{n}$, \item moyenne quadratique de $a_1,\; a_2,\,\ldots,\, a_n$ le nombre $q = \sqrt{\dfrac{a_1^2 + \ldots + a_n^2}{n}}$ , \item moyenne géométrique de $a_1,\; a_2,\,\ldots,\, a_n$ le nombre $g = \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times \ldots \times a_n}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip Lorsque $a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_n$ sont strictement positifs, on appelle : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item moyenne harmonique de $a_1,\; a_2,\,\ldots,\, a_n$ le nombre strictement positif $h$ tel que \[\dfrac{1}{h} = \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{a_1} + \ldots + \dfrac{1}{a_n}\right).\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \textbf{XI. Comparaison entre $m$ et $q$} Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2 et $a_1$,\: $a_2$, \ldots, $a_n$ des nombres réels positifs. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence sur $n$ que : \[n\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 = \left(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i \right)^2 + \displaystyle\sum_{1\leqslant i \leqslant j \leqslant n} \left(a_i - a_j \right)^2.\] \item En déduire l'inégalité $m \leqslant q$. \item Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $m = q$. \end{enumerate} \medskip \textbf{XII. Comparaison entre \boldmath $m$\unboldmath{} et \boldmath $g$\unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $\ln x \leqslant x - 1$. \item Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et $a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_n$ des nombres réels strictement positifs. \begin{enumerate} \item En appliquant successivement l'inégalité précédente aux nombres $\dfrac{a_i}{m}$, démon- trer que $g \leqslant m$. \item Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $g = m$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{XIII. Comparaison entre \boldmath $g$\unboldmath et \boldmath $h$\unboldmath} \medskip On se place dans les mêmes conditions qu'à la question \textbf{XII. 2.} \medskip \begin{enumerate} \item En appliquant l'inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique à des nombres bien choisis, comparer $g$ et $h$. \item Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $g = h$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Partie E : moyennes de variables aléatoires} \end{center} On rappelle qu'une variable aléatoire $X$ sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ fini suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ si elle prend comme valeurs $1$ et $0$ avec les probabilités $P(X = 1) = p$ et $P(X = 0)= 1 - p$. Dans toute cette section, $X_1,\, \, ... X_n$ désignent $n$ variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre $p$. \medskip \textbf{XIV.} \medskip Calculer l'espérance et la variance de $X_1$. \medskip \textbf{XV. Étude des variables aléatoires $S_n$ et $F_n$} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance et la variance de la variable $S_n$. \item Que représente la variable $S_n$ ? Rappeler sa loi de probabilité. \item Calculer l'espérance et la variance de la variable $F_n$. \item Que représente la variable $F_n$ ? Déterminer sa loi de probabilité. \end{enumerate} \textbf{XVI.} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Inégalité de Markov} Soit $Y$ une variable aléatoire positive définie sur $\Omega$. On note $E(Y)$ son espérance. En décomposant $Y(\Omega) = Y_1 \cup Y_2$, avec \[Y_1 = \{y \in Y(\Omega), y \geqslant a\},\qquad Y_2 = \{y \in Y( \Omega), y < a\},\] démontrer que, pour tout nombre réel $a$ strictement positif, \[P(|X - E(X)|) \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(Y)}{a}.\] \item \textbf{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev} Soit $X$ une variable aléatoire définie $\Omega$. On note $E(X)$ son espérance et $V(X)$ sa variance. Démontrer que, pour tout nombre réel $a$ strictement positif, \[P(|X - E(X)|) \geqslant a) \leqslant \dfrac{V(X)}{a^2}.\] \item On reprend les notations de l'introduction de la partie E. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $\epsilon$ strictement positif, \[P\left(\left|F_n - p\right| \geqslant \epsilon\right) \leqslant \dfrac{1}{4n\epsilon^2}.\] \item Expliquer comment, lorsque $p$ est inconnu, cette inégalité permet d'en fournir une estimation. Comment s'appelle le théorème sous-jacent ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{XVII. Application} \medskip Un problème historique dû au Chevalier de Méré est rapporté dans la correspondance entre Pascal et Fermat. Grand joueur, le chevalier de Méré s'intéressait aux jeux de hasard sur lesquels il misait de l'argent. À l'issue de nombreuses parties, il avait constaté avoir plus d'une chance sur deux d'obtenir au moins une fois un six en lançant quatre fois un dé à six faces et moins d'une chance sur deux d'obtenir au moins un double-six en lançant 24 fois deux dés. Ce résultat lui semblait en contradiction avec l'égalité des rapports $\dfrac{24}{36}$ et $\dfrac{4}{6}$ du nombre de lancers au nombre de faces. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'obtenir au moins un six à l'issue de 4 lancers d'un dé. \item Calculer la probabilité d'obtenir au moins un double-six à l'issue de 24 lancers de deux dés. \item A-t-on plus ou moins d'une chance sur deux d'obtenir au moins un six en lançant quatre fois un dé à six faces ? \item A-t-on plus ou moins d'une chance sur deux d'obtenir au moins un double-six en lançant vingt-quatre fois deux dés à six faces ? \item Le texte ci-dessous reproduit l'extrait d'une lettre adressée par Fermat à Pascal en 1654. \og Monsieur, Je n'ai pas eu le temps de vous envoyer la démonstration d'une difficulté qui étonnait fort M. de Méré. Il me disait donc qu'il avait trouvé fausseté dans les nombres par cette raison : si on entreprend de faire un six avec un dé, il y a avantage de l'entreprendre en 4, comme de $671$ à $625$. Si on entreprend de faire un double six avec deux dés, il y a désavantage de l'entreprendre en 24. Et néanmoins 24 est à 36 (qui est le nombre des faces de deux dés) comme 4 à 6 (qui est le nombre des faces d'un dé).Voilà quel était son grand scandale qui lui faisait dire hautement que les propositions n'étaient pas constantes et que l'arithmétique se démentait : mais vous en verrez bien aisément la raison par les principes où vous êtes. \fg Expliquer comment ce texte historique pourrait être utilisé en classe pour illustrer les réponses aux questions 3. et 4. Quelle est l'erreur de raisonnement commise par le Chevalier de Méré ? \item En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer au bout de combien de répétitions d'un lancer de quatre dés, la fréquence d'apparition d'au moins un six est supérieure ou égale à $\dfrac{1}{2}$ avec une probabilité supérieure ou égale à $0,95$. \item En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer au bout de com- bien de répétitions d'un lancer de vint-quatre dés, la fréquence d'apparition d'au moins un double-six est inférieure ou égale à $\dfrac{1}{2}$ avec une probabilité supérieure ou égale à $0,95$. \item Quels commentaires vous inspirent ces résultats ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Problème \no 2} \end{center} \textbf{Notations} $\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\R^{+*}$ désigne l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On se place dans un plan euclidien orienté d'origine O. Si $M_1$, $M_2$, $M_3$ sont trois points distincts du plan, on note $\widehat{M_1M_2M_3}$ l'angle orienté $\left(\vect{M_2M_1},\,\vect{M_2M_3}\right)$. Les mesures de tous les angles considérés sont exprimées en radian. On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{5}$. \begin{center} \textbf{\Large Partie A : pentagones réguliers} \end{center} \medskip Les sommets A, B, C, D, E d'un pentagone régulier convexe de centre O sont définis par $\text{A} \ne \text{O}$ ; $\text{B}= r(\text{A})$ ; $\text{C}= r(\text{B})$ ; $\text{D}= r(\text{C})$ ; $\text{E}= r(\text{D})$. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) \pspolygon(2.5;10)(2.5;82)(2.5;154)(2.5;226)(2.5;298)%ABCDE \uput[r](2.5;10){A} \uput[ur](2.5;82){B} \uput[ul](2.5;154){C} \uput[dl](2.5;226){D} \uput[dr](2.5;298){E} \uput[dl](0,0){O} \psarc{->}(0,0){0.5cm}{10}{82} \rput(0.8,0.8){$\dfrac{2\pi}{5}$} \psline(2.5;10)(0;10)(2.5;82) \end{pspicture} \end{center} \textbf{I. Côtés, angles et diagonales d'un pentagone régulier convexe} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $r$(E) = A. \item Justifier que les côtés du pentagone ABCDE sont tous de même longueur et que ses angles au sommet sont tous de même mesure. \item Démontrer que cette mesure est égale à $\dfrac{3\pi}{5}$. \emph{On pourra utiliser les angles du triangle} OAB. \emph{Toutes les justifications sont attendues.} Les segments [AC], [BD], [CE], [DA] et [EB] sont appelés \emph{diagonales} du pentagone ABCDE. Les points I, J, K, L, M sont définis conformément au schéma ci-dessous: \begin{center} \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) \psdots(0,0) \pspolygon(2.5;10)(2.5;82)(2.5;154)(2.5;226)(2.5;298)%ABCDE \pspolygon(2.5;10)(2.5;154)(2.5;298)(2.5;82)(2.5;226)%ACEBD \uput[r](2.5;10){A} \uput[ur](2.5;82){B} \uput[ul](2.5;154){C} \uput[dl](2.5;226){D} \uput[dr](2.5;298){E} \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](0.9;46){I}\uput[ul](0.9;118){J}\uput[l](0.9;190){K}\uput[d](0.9;262){L}\uput[dr](0.9;-21){M} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item Démontrer que les diagonales du pentagone ABCDE sont toutes de même longueur. \end{enumerate} \medskip \textbf{II. Un second pentagone régulier convexe} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que $r(\text{I}) = \text{J}$, puis que IJKLM est un pentagone convexe régulier de centre O. \item En déduire les mesures des angles $\widehat{\text{IJB}}$ et $\widehat{\text{BIJ}}$, puis celles de l'angle $\widehat{\text{JBI}}$. \item Déterminer la valeur de l'angle $\widehat{\text{IBA}}$ (le résultat obtenu sera démontré). \item Démontrer que le triangle ABJ est isocèle de sommet A. \item Écrire les trois cas d'égalité des triangles tels que vous les feriez figurer dans la trace écrite d'un élève du cycle 4. \item Démontrer que les triangles AIM, BJI, CKJ, DLK et EML sont égaux. \item Démontrer que les triangles ABC et BJC sont semblables. \end{enumerate} \medskip \textbf{III. Un rapport particulier} \medskip On note $\varphi$ le rapport $\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\varphi= 1 + \dfrac{1}{\varphi}$. \item Calculer la valeur de $\varphi$. \item Démontrer que $\varphi$ est un nombre irrationnel. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\Large Partie B : Fractions continues} \end{center} \medskip L'objectif de cette partie est de déterminer une suite de nombre rationnels qui converge vers $\varphi$ et d'en estimer la vitesse de convergence. \smallskip Si, dans l'égalité $\varphi = 1 + \dfrac{1}{\varphi}$, on substitue au $\varphi$ du second membre l'expression $1 + \dfrac{1}{\varphi}$, on obtient $\varphi = 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\varphi}}$. En remplaçant à nouveau le $\varphi$ du second membre par $1 + 1 + \dfrac{1}{\varphi}$, on obtient $\varphi = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\varphi}}}$. Ce procédé itératif suggère l'écriture de $\varphi$ sous la forme \[\varphi = 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\ldots}}}.\] On se propose de formaliser cette écriture à l'aide d'une suite convergeant vers $\varphi$. Pour cela, on note $f$ la fonction définie sur $\R^{+*}$ par $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x}$ et on définit la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ par : \[u_0 = 1 \: \text{ et } \: \forall n \in \N, \quad u_{n+1} = f\left(u_n \right).\] \medskip \textbf{IV. Définition et premières valeurs} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est bien défini et est strictement positif. \item Donner, sous forme de fractions, les valeurs de $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est un nombre rationnel. \item Représenter sur un même graphique la fonction $f$, le nombre $\varphi$ et les six premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{V. Convergence} \medskip \begin{enumerate} \item Si on suppose que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge, quelle est la valeur de sa limite ? \item Démontrer que la suite $\left(u_{2n}\right)_{n\in \N}$ est croissante et majorée par $\varphi$ et que la suite $\left(u_{2n+1}\right)_{n\in \N}$ est décroissante et minorée par $\varphi$. \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge et préciser sa limite. \end{enumerate} \medskip \textbf{VI. Deux suites d'entiers} \medskip On définit deux suites $\left(p_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(q_n\right)_{n\in \N}$ par $p_0 = q_0 = 1$ et, pour tout entier naturel~$n$,\, \[\left\{\begin{array}{l c l} p_{n+1}& =& p_n + q_n\\ q_{n+1}& =& p_n \end{array}\right.\] \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $p_n$ et $q_n$ sont des nombres entiers strictement positifs. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\, $p_{n+1}q_n - p_nq_{n+1} = (- 1)^n$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{p_n}{q_n}$ est la fraction irréductible égale à $u_n$. \item Démontrer que les deux suites $\left(p_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(q_n\right)_{n\in \N^*}$ sont strictement croissantes. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, \[q_{n+1} > 2q_{n-1}.\] \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left|u_n- \varphi\right| < \left|u_{n+1} - u_n\right| \leqslant 2^{-n}$. \item Écrire une fonction Python qui prend en argument un nombre $\epsilon$ strictement positif et qui renvoie deux listes finies d'entiers $\left[p_0,\,p_1,\,\ldots, p_{n_0}\right]$,\, $\left[q_0,\,q_1,\,\ldots, q_{n_0}\right]$ telles que $\dfrac{p_{n_0}}{q_{n_0}}$ soit une valeur approchée de $\varphi$ à $\epsilon$ près. \end{enumerate} \end{document}