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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
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%\rhead{\small Exercices pour le baccalauréat S }
%\lfoot{\small{2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}  \Large{ \textbf{Exercices pour le bac S}}

\vspace{0,5cm}

Dernière révision juin 2018

\end{center}
 
\medskip

\textbf{ Exercice \no 1}


Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.
\begin{enumerate}
\parbox[c]{0.5\textwidth}{


 \item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction exponentielle $x \mapsto \text{e}^x$. \\ Pour tout point $M$ d'abscisse $t$  appartenant à $\mathcal{C}$, on considère le point $P$ de coordonnées $(t,~ 0)$ et le point $N$, point d'intersection de la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

 Montrer que la distance $PN$ est constante.} \hfill
\parbox[c]{0.4\textwidth}{\psset{xunit=4cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(1.5,4.5)
\psline(0.2,0)(1.5,0)
\psplot{0.2}{1.5}{2.71828 x exp}
\psline(1.2,0)(1.2,3.32)
\psline(0.2,0)(1.5,4.316)
\uput[dr](0.2,0){$N$}
\uput[dr](1.2,3.32){$M$}
\uput[dr](1.2,0){$P$}
\end{pspicture}}

\medskip

\item	Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, strictement positive, dérivable et dont la
 dérivée est strictement positive. Pour tout point $M$ d'abscisse 
 $t$ appartenant à la courbe
 représentative de $f$, on considère le point $P$ de coordonnées $(t,~ 0)$ et le point $N$,
 point d'intersection de la tangente en $M$ à la courbe représentative de 
 $f$ avec l'axe des abscisses.

\begin{enumerate} \item Calculer la distance $PN$ en fonction de $f(t)$ et de $f'(t)$.

\item Déterminer les fonctions $f$ pour lesquelles la distance $PN$ est constante.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{ Exercice \no  2}

%\emph{À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affectés. Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n'en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0$.$}
 
Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte.

\begin{enumerate}
 \item Soit $z \in \C$ vérifiant $\overline{z}+ |z| = 6 + 
2$i. Écrire $z$ sous forme algébrique.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
${\huge \Box}~~\dfrac{8}{3} - 2\text{i}$&${\huge \Box}~~\dfrac{8}{3} - 2\text{i}$&
${\huge \Box}~~\dfrac{8}{3} + 2\text{i}$&${\huge \Box}~~- \dfrac{8}{3} + 
2\text{i}$ 
\end{tabularx}

\item	Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ d'affixe 
$z = x + \text{i}y$ vérifiant
 $|z - 1| = |z + \text{i}|$ est la droite d'équation :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
${\huge \Box}~~ y =x-1$&${\huge \Box}~~y= - x$&${\huge \Box}~~y = -x + 
1$&${\huge \Box}~~y = x$
\end{tabularx}

\item $\left(2 + 2\text{i}\sqrt{3}\right)^n \in \R$ si et seulement 
si $n$ s'écrit sous la forme (où $k \in \N$) :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
${\huge \Box}~~ 3k+1$&${\huge \Box}~~ 3k+2$&${\huge \Box}~~ 
3k$&${\huge\Box}~~ 6k$
\end{tabularx}

\item Soit l'équation (E) : $z = \dfrac{6 - z}{3 - z}~  (z \in \C)$. Une solution de
(E) est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
${\huge\Box}~~- 2 - \text{i}\sqrt{2}\text{i}$&${\huge\Box}~~2 + 
\text{i}\sqrt{2}$&${\huge\Box}~~1 - \text{i}$&${\huge\Box}~~- 
1 - \text{i}$
\end{tabularx}

\item Soit deux points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 
\text{i}$ et $z_{\text{B}} = \sqrt{3}$ dans un repère
 orthonormal  \Oij. L' 
 affixe $z_{\text{C}}$ du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral
 avec  $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = 
 \dfrac{\pi}{3}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
${\huge\Box}~~ -\text{i}$&${\huge\Box}~~2\text{i}$&${\huge\Box}~~\sqrt{3} + 
\text{i}$&${\huge\Box}~~\sqrt{3} + 2\text{i}$
\end{tabularx}

\item Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ 
d'affixe $z = x + \text{i}y$ vérifiant
 arg $\left(\dfrac{z + 2}{z - 2\text{i}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ est
inclus dans :

${\huge\Box}$ La droite d'équation $y = -x$

${\huge\Box}$ Le cercle de centre I$(1 + \text{i})$ et de rayon R = 
$\sqrt{2}$

${\huge\Box}$ La droite d'équation $y = x$

${\huge\Box}$ Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d'affixes respectives 

$z_{\text{A}} = - 2$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$.

\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Exercice \no  3}

\parbox[c]{0.55\textwidth}{Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~ 1] par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 1$. Cette fonction est dérivable sur [0~;~1] et sa dérivée $f'$ vérifie $f'(1) = 0$. La courbe représentative
 $\Gamma$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal est donnée ci-contre.
 
\textbf{1. a.}  Montrer que le point $M$ de coordonnées $(x,~y)$ appartient à $\Gamma$ si et seulement si 

$x \geqslant 0,~ y \geqslant 0$ et $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$.

\textbf{b.} Montrer que $\Gamma$ est symétrique par rapport à la 
droite d'équation $y = x$.} \hfill
\parbox[c]{0.42\textwidth}{\psset{unit=4cm}\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(1.25,1.25)
\psline{->}(-0.25,0)(1.25,0)
\psline{->}(0,-0.25)(0,1.25)
\psplot{0}{1}{ x 2 x 1 2 div exp mul sub 1 add}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\psline(1,0)(1,0.05)
\psline(0,1)(0.05,1)
\end{pspicture}}

\textbf{2.} \textbf{a.}  Si $\Gamma$ était un arc de cercle, quel serait son centre ? Quel serait son rayon ?

\textbf{b.}  La courbe $\Gamma$ est-elle un arc de cercle ?

\bigskip
\bigskip


\textbf{ Exercice \no  4}
		
\parbox[c]{0.46\textwidth}{Le plan est rapporté à un repère orthonormal 
\Oij. \\
On note $\Phi$  et $\Gamma$ les courbes représentatives respectives des
fonctions exponentielle et logarithme népérien.

Soit A le point de $\Phi$ d'abscisse $0$ et B le point de $\Gamma$ d'abscisse 1.

\textbf{1. a.} Écrire les équations de la tangente D à la
courbe $\Phi$ au point A et de la tangente $\Delta$ à la courbe $\Gamma$ au point B.

\textbf{b.} Montrer que les droites $\Delta$ et $\Gamma$ sont parallèles.

Quelle est leur distance ?} \hfill
 \parbox[c]{0.52\textwidth}{\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2.5,2.5)
\psline{->}(-2,0)(2.5,0) \psline{->}(0,-2)(0,2.5)
\uput[dr](0,1){A} \uput[ul](1,0){B}
\psplot{-2}{0.91}{2.71828 x exp} \psplot{0.15}{2.5}{x ln}
\end{pspicture}}

%\vspace{0.4cm}

\textbf{2. a.}  Démontrer que la courbe $\Phi$ est située entièrement \og au-dessus \fg{} de D.
	
\textbf{b.} Démontrer que la courbe $\Gamma$ est située entièrement \og au-dessous \fg{} de A.
	
\textbf{c.} On désigne par $M$ un point quelconque de $\Phi$ et par $N$ un point quelconque de $\Gamma$. Expliquer pourquoi $MN \geqslant \sqrt{2}$.
\medskip
\newpage

 \textbf{ Exercice \no  5}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 2,1\text{e}^{x} + 1,1x + 1,6\]

\begin{enumerate} 
\item Faites apparaître sur l'écran de votre calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre $- 5 \leqslant x \leqslant  4,~ -4 \leqslant y \leqslant 4$.
 
Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur votre copie.

\item D'après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :

	\begin{enumerate} 
		\item Sur les variations de la fonction $f$ ?

		\item Sur le nombre de solutions de l'équation $f (x) = 0$ ?

	\end{enumerate}

\item On se propose maintenant d'étudier la fonction $f$.

	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $\text{e}^{2x}- 
2,1\text{e}^{x} + 1,1 \geqslant 0$ (on pourra poser $X = \text{e}^{x}$).

		\item Étudier les variations de la fonction $f$.

		\item Déduire de cette étude le nombre de  solutions de 
l'équation $f(x) = 0$.

	\end{enumerate}
\item On veut représenter, sur l'écran d'une calculatrice, la courbe
représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0,05~;~ 0,15]$, de façon à visualiser les résultats de la question \textbf{3.}

Quelles valeurs extrêmes de l'ordonnée $y$ peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ?
\end{enumerate} 
 
\medskip
\\

 \textbf{ Exercice \no  6}

N. B. : Les quatre propositions peuvent être examinées indépendamment les unes des autres.

On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ positive et la suite 
$\left(v_{n}\right)$ définie par

\[v_{n} = \dfrac{u_{n}}{1 + u_{n}}.\]

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 

Justifier dans chaque cas.

\begin{enumerate} 
\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est bornée par 0 et 1.

\item Si la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.

\item Si la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante, alors la suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante.

\item Si la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente, alors la suite
$\left(u_{n}\right)$ est convergente.

\end{enumerate} 


\newpage

\textbf{ Exercice \no  7}

\emph{Dans cet exercice, les questions sont indépendantes.}

%\emph{Pour chaque question, une seule des trois propositions a), b) ou c) est exacte. On demande d'indiquer laquelle sans justification.}


%\emph{À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse  exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la  moitié du nombre de points affectés.}

%\emph{Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n'en enlèvent aucun.}
 
%\emph{Si le total est négatif, la note est ramenée à} 0.

 L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

\begin{enumerate} 
\item	L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\| 
\vect{M\text{A}}\| = \|\vect{M\text{B}}\|$ est :

\textbf{a)}~~ l'ensemble vide~~~~~	\textbf{b)}~~ un plan~~~~~ 	\textbf{c)}~~ une sphère


\item La droite $d$ a pour représentation paramétrique $x=2-t~;~y 
=3t~;~z = -3,~ t \in \R$.

 On considère les points A(2 ; 3; $-3$), B(2; 0 ; $-3$) et 
C(0 ; 6; 0). On a :

\textbf{a)}~~ $d$ = (AB)~~~~~\textbf{b)}~~$d$ = 
(BC)~~~~~\textbf{c)}~~ $d \neq$ (AB) et $d \neq $ (BC) et $d \neq $ (CA)
	
\item Les droites de représentations paramétriques respectives :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2+t\\
y& =& 1-t\\
z&=&1 +t, t \in R,\end{array}\right.
	~~~~~\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -t'\\
y& =& 2-1,5t'\\
z& =& 3+t',~ t' \in R\end{array}\right.$
	admettent comme point commun :
	
\textbf{a)}~~I(3 ; 0 ; 2)~~~~~\textbf{b)}~~ J(2 ; 1 ; 1)~~~~~ 
\textbf{c)}~~K(0 ; 2 ; $-3$)
	
\item Les droites de représentations paramétriques respectives :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1\\
y &=& 1+2t\\
z &=& 1+t,,\end{array}\right.~ t \in R \quad
\left\{\begin{array}{l c l}
x &= &3-2t'\\
y &=& 7-4t'\\
z &=& 2-t',~ \end{array}\right. t' \in R$

 sont :
	
\textbf{a)}~~ parallèles~~~~~ \textbf{b)}~~ sécantes~~~~~  \textbf{c)}~~ non coplanaires

\item	La droite de représentation paramétrique $x = -4t~ ;~ y =  
1 + 3t~ ;~ z  = 2 + 2t,~ t \in \R$ et le plan d'équation $x - 2y + 5z - 
1 = 0$ sont :

\textbf{a)}~~ orthogonaux~~~~~\textbf{b)}~~ parallèles~~~~~ \textbf{c)}~~ ni orthogonaux ni
parallèles

\item	L'ensemble des points tels que $x - y + 2z - 1 = 
0$ et $-2x + 4y - 4z + 1 = 0$ est :

\textbf{a)}~~ l'ensemble vide~~~~~\textbf{b)}~~ une droite~~~~~\textbf{c)}~~ un plan

\end{enumerate}

\newpage
\textbf{ Exercice \no  8}

\begin{enumerate} 
\item	Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ 
par $f(x) =  \cos x + x$.

En déduire que l'équation $\cos x + x =  0$ a une unique solution. En donner une valeur approchée à à $10^{-3}$ près.

\item On considère l'équation (E) $\sin x -  \dfrac{x}{2} = 0,~x \in \R$.

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que toutes les solutions de cette équation appartiennent à l'intervalle
$[-2~;~2]$.

		\item Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l'équation (E).

		\item Donner une valeur approchée, à $10^{-3}$ près par défaut, de la plus grande solution.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{ Exercice \no  9}

L' espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une équation du plan $P$ passant par le point 
A( 1 ; 0 ; 1) et de vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix} 1 
\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$.

\item Soit $P'$ le plan d'équation $x + 2y - z + 1 = 0$ et M le point de coordonnées (0~;~1~;~1).

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que les plans $P$ et $P'$ sont perpendiculaires.

		\item Calculer les distances $d$ et $d'$ du point M aux plans 
$P$ et $P'$ respectivement.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite D intersection des plans $P$ et $P'$.

		\item Déterminer les coordonnées du point $H$ de D tel que la droite (M$H$) soit perpendiculaire à la droite D.

		\item Vérifier que M$H^2 =  d^2 + d'^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\textbf{ Exercice \no  10}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

On note I le point de coordonnées $(1~;~0)$.

Soient $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~1]$  
par $f'x) = \text{e}^{x - 1}$ et  $\mathcal{C}$ sa courbe  représentative 
dans le repère \Oij.

On note  $\Delta$ la portion de plan comprise entre
la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites
 d'équations $x =  0$ et $x = 1$.
 
Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique réel
 $\alpha$ appartenant à [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de 
 $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$,
 le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux régions de même aire.
 
  Pour tout $x$ appartenant à [0~;~1] on note $M_{x}$ le point de 
coordonnées $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine délimité par la
 droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $\mathcal{C}$.
 
On désigne  par $g(x)$ l'aire de $T_{x}$.

\parbox[c]{0.5\textwidth}{\begin{enumerate} 
\item Pour $x$ appartenant à l'intervalle [0, 1], 
calculer $g(x)$ en fonction de $x$.

\item Étudier les variations de la fonction $g$ : $x 
\mapsto g(x)$ sur [0 ; 1].

\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ de [0 ; 1] tel que 
$g(\alpha)$ soit égal à la moitié  de l'aire de $\Delta$.

\item Trouver une valeur approchée de $\alpha $ à $10^{-3}$ près par défaut.

\end{enumerate}} \hfill
\parbox[c]{0.4\textwidth}{
\psset{unit=4cm}\begin{pspicture}(1.25,1.25)
\psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
\psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
\psline(1,0)(0.4,0.548811)
\psline(1,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0.67){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
\pscustom{
\psline(0,0)(0,0.308)
\psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}
\psline(0.4,0.548811)(1.0)
\gsave
\psline(0,0)(1,0)
\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightblue]
\grestore
\psline(0.4,0)(0,0)
}
\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811)     
\uput[d](0.75,0.35){$\Delta$}
\uput[d](0.4,0){$x$}
\end{pspicture}}

\newpage
\textbf{ Exercice \no  11}
	
Soit I l'intervalle [0 ; 1]. On considère la fonction $f$ définie sur I 
par $f(x) = \dfrac{3x +2}{x+4}$.
	
\begin{enumerate} 
\item	Étudier les variations de $f$ et en déduire que, pour tout $x$
élément de I, $f(x)$ appartient à I.

\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par

\[u_{0} = 0\quad  \text{et} \quad u_{n +1} = \dfrac{3u_{n}+2}{u_{n} + 
4}.\]

Montrer que, pour tout $n,~ u_{n}$ appartient à I.

On se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par deux méthodes différentes.

\vspace{0,8cm}

\textbf{Première méthode :}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter graphiquement $f$ dans un repère orthonormal
d'unité graphique 10 cm.

		\item En utilisant le graphique précédent, placer les points 
A$_{0}$,~ A$_{1}$,~ A$_{2}$ et A$_{3}$ d'ordonnée
nulle et d'abscisses respectives $u_{0},~ u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$.

Que suggère le graphique concernant le sens de variation de $\left(u_{n}\right)$ et sa convergence ?

		\item Établir la relation $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{\left(1 - 
u_{n}\right)\left(u_{n}+2\right)}{u_{n }+ 4}$ et en déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.

		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.

		\item Prouver que la limite $l$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ 
vérifie $l = f(l)$ et calculer $l$.

	\end{enumerate}

\vspace{0,8cm}

\textbf{Deuxième méthode :}

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par $v_{n} = 
\dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 2}$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Prouver que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique
de raison $\dfrac{2}{5}$.

		\item Calculer $v_{0}$ et exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.

		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $v_{n}$, puis en fonction de $n$.

		\item En déduire la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ et sa limite.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{ Exercice \no  12}

On sait tous qu'il y a des années à coccinelles et d'autres sans !

On se propose d'étudier l'évolution d'une population de coccinelles à à l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique $f$ définie par $f(x) = kx(1 - x),~ k$ étant un paramètre qui dépend de l'environnement $(k \in \R)$.

 Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à
un million. L'effectif des coccinelles, exprimé en millions d'individus, est approché pour l'année $n$ par un nombre réel $u_{n}$, avec $u_{n}$ compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l'année zéro il y a \nombre{300000}~coccinelles, on prendra $u_{0} = 0,3$.

 On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la 
relation $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right),~ f$ étant la fonction définie ci-dessus.

 Le but de l'exercice est d'étudier le comportement de la 
suite $\left(u_{n}\right)$ pour différentes valeurs de la population initiale $u_{0}$
et du paramètre $k$.

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que si la suite $\left(u_{n}\right)$ converge, alors sa
limite $l$ vérifie la relation $f(l) = l$.

\item Supposons $u_{0} = 0,4$ et $k = 1$.

	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.

		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n,~ 0 
\leqslant u_{n} \leqslant 1$.

		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Si oui, 
quelle est sa limite ?

		\item Que peut-on dire de l'évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?
	\end{enumerate}

\item Supposons maintenant $u_{0} = 0,3$ et $k = 1,8$.

	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~ 1]$ et montrer que 
		
		$f\left(\dfrac{1}{2}\right) \in  \left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$.

		\item En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence,

- montrer que, pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} 
\leqslant  \dfrac{1}{2}$

- établir que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} \geqslant  u_{n}$.

\item	La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

\item	Que peut-on dire de l'évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?

\end{enumerate}

\newpage

\item On a représenté ci-dessous la fonction $f$ dans les
deux cas étudiés ci-dessus ainsi que la droite d'équation $y = x$. Le troisième graphique correspond au cas où\`u $u_{0} = 0,8$ et $k = 3,2$.

 Illustrer sur les deux premiers graphiques les résultats trouvés 
en \textbf{1.} et \textbf{2.} en laissant les traits de construction et en faisant apparaître en abscisse les valeurs successives 
$u_{0},~u_{1},~u_{2},~\ldots$

 En utilisant la même méthode, formuler une conjecture sur l'évolution de la population dans le troisième cas.

\end{enumerate}

%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{center}
%\textbf{ Feuille annexe}
%\end{center}

\boldmath $1^{\text{er}}$ \unboldmath \textbf{cas :} $u_{0} = 
0,4$ et $k = 1$.

\begin{center}
\psset{unit=4cm}\begin{pspicture}(1.1,1.1)
\psline{->}(0,0)(1.1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1.1)
\psline(0,0)(1.1,1.1)
\psplot{0}{1}{1 x sub x mul}
\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.24)
\uput[d](0.4,0){$u_{0}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
 \boldmath $2^{\text{e}}$ \unboldmath \textbf{cas :} $u_{0} = 
0,3$ et $k = 1,8$.

\begin{center}
\psset{unit=4cm}\begin{pspicture}(1.1,1.1)
\psline{->}(0,0)(1.1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1.1)
\psline(0,0)(1.1,1.1)
\psplot{0}{1}{1 x sub x mul 1.8 mul}
\psline[linestyle=dotted](0.3,0)(0.3,0.378)
\uput[d](0.3,0){$u_{0}$}
\end{pspicture}
\end{center}


 \boldmath $3^{\text{e}}$ \unboldmath \textbf{cas :} $u_{0} = 
0,8$ et $k = 3,2$.

\begin{center}
\psset{unit=4cm}\begin{pspicture}(1.1,1.1)
\psline{->}(0,0)(1.1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1.1)
\psline(0,0)(1.1,1.1)
\psplot{0}{1}{1 x sub x mul 3.2 mul}
\psline[linestyle=dotted](0.8,0)(0.8,0.512)
\uput[d](0.8,0){$u_{0}$}
\end{pspicture}   
\end{center}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    
\textbf{ Exercice \no  13}

\parbox[l]{0.65\textwidth}{Soit ABCDEFGH un cube de côté 1.
On choisit le repère orthonormal 
$\left(\text{A}~;~\vect{\imath}~;~\vect{\jmath}~;
~\vect{k}\right)$ avec $\vect{\imath} = 
\vect{\text{AB}},~\vect{\jmath} = \vect{\text{AD}}$
et $\vect{k} =  \vect{\text{AE}}$.

On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments
[BC], [CD], [DH], [HE], [EF] et [FB].}\hfill
 \parbox[c]{0.30\textwidth}{\begin{pspicture}(3,3)
\psframe(0,0)(2.2,2.2)
\psline(0,2.2)(0.6,3)(2.8,3)(2.8,1)(2.2,0)
\psline(2.2,2.2)(2.8,3)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0.6,1)(2.8,1)
\psline[linestyle=dotted](0.6,3)(0.6,1)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2.2,0){B} \uput[r](2.8,1){C} \uput[l](0.6,1){D} 
\uput[l](0,2.2){E} \uput[r](2.2,2.2){F} \uput[r](2.8,3){G} \uput[l](0.6,3){H} 
\end{pspicture}}


\begin{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées des points I, K, M.

\item Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires,
dans un plan que l'on notera $\mathcal{P}$ (on donnera une équation du plan $\mathcal{P}$ dans le repère choisi).

\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

\item Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N
sur la droite (AG) sont confondus en un même point. On appellera T ce point.

 Déterminer la position du point T sur le segment [AG].

\item Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont
on précisera le centre et le rayon, et que tous ses côtés ont même longueur.

\item On considère la pyramide ayant pour base cet hexagone et pour sommet le point G.

 Quelle fraction du volume du cube représente le volume de cette 
pyramide ?

\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \textbf{ Exercice \no  14}

Les questions sont indépendantes. II est demandé de justifier toutes les réponses fournies.

\begin{enumerate} 
\item Dans chacun des cas suivants, proposer une 
fonction $f$ qui vérifie les propriétés données.

 On donnera l'expression de $f(x)$.

	\begin{enumerate} 
		\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = a\text{e}^{2x} + 
b\text{e}^{x} + c$, la limite de $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$ et 
l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions, $0$ et $\ln 2$.

		\item $f$ est définie sur $]0~;~ + \infty[,~ f(2) = 4$ et, pour tout $x$ et tout $y$
réels strictement positifs, $f(xy) = f(x) + f(y)$.

		\item $f$ est une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à 2 et la valeur
moyenne de $f$ sur $[-2~;~2]$ est 0.

	\end{enumerate}

\item Soit $g$ une fonction définie et dérivable, de dérivée $g'$ continue sur $[-1~;~ 1]$. \\ La courbe représentative de $g$ est donnée ci-contre. \\Les affirmations suivantes sont-elles cohérentes avec le graphique :
\end{enumerate}

\parbox[c]{0.6\textwidth}{

\setlength{\parindent}{1.5cm}\textbf{a.} $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x= 0$~ ?

\textbf{b.} $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x \geqslant - 
\dfrac{1}{2}$~ ?}\hfill
\parbox[c]{0.35\textwidth}{\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,2) 
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(1,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-1}{1}{x 1 sub x mul}
\end{pspicture}}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{ Exercice \no  15}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Les quatre questions posées sont indépendantes.

Pour chaque question il y a deux conclusions correctes.
%Le candidat doit cocher \textbf{au plus deux cases} (celles qu'il juge correctes).
 
%Aucune justification n'est demandée.

%À chaque question est affecté  un certain nombre de points. Chaque réponse exacte rapporte la moitié des  points affectés ; chaque réponse fausse enlève le quart des points affectés. Cocher trois cases ou plus à d'une question, ou n'en cocher aucune, rapporte zéro point à cette question.

% Si, par application de ce barème, le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à zéro.


On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~
\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ qui vérifient la propriété 
suivante :

\begin{center} \og Pour tout entier naturel~ $n$~ strictement positif :~ 
$\left(u_{n}\right) \leqslant \left(v_{n}\right) \leqslant	
\left(w_{n}\right)$~\fg. \end{center}

\begin{enumerate}
 \item Si la suite $\left(v_{n}\right)$ tend vers $- \infty$, alors :
	
$\Box$ La suite $\left(w_{n}\right)$ tend vers $- \infty$

$\Box$ la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée 

$\Box$ la suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers $- \infty$

$\Box$ la suite $\left(w_{n}\right)$ n'a pas de limite.

\item Si $\left(u_{n}\right) \geqslant 1,~\left(w_{n}\right) =
2\left(u_{n}\right)$ et $\lim \left(u_{n}\right) = l$, alors

$\Box$ $\lim  \left(v_{n}\right) = l$

$\Box$ La suite $\left(w_{n}\right)$ tend vers $+ \infty$

$\Box$ $\lim (w_{n} - u_{n})= l$ 

$\Box$ On ne sait pas dire si la suite $\left(v_{n}\right)$ a une limite ou non.

\item Si $lim \left(u_{n}\right) = - 2$ et $\lim 
\left(w_{n}\right) = 2$, alors :

$\Box$ La suite $\left(v_{n}\right)$ est majorée

$\Box$ $\lim \left(v_{n}\right) = 0$

$\Box$ la suite $\left(v_{n}\right)$ n'a pas de limite

$\Box$ On ne sait pas dire si la suite $\left(v_{n}\right)$ a une limite ou non.

\item Si $u_{n} =	\dfrac{2n^2-1}{n^2}$ et  $w_{n} = 
\dfrac{2n^2+3}{n^2}$	alors :

$\Box~ \lim \left(w_{n}\right) = 0$

$\Box~ \lim \left(v_{n}\right) = 2$ 

$\Box~  \lim \left(u_{n}\right) = 2$ 

$\Box$ la suite $\left(v_{n}\right)$ n'a pas de limite.

\end{enumerate}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{ Exercice \no  16}

\textbf{ Partie A}

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \sqrt{x} \text{e}^{1 - x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la  courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on pourra pour cela justifier et exploiter l'écriture pour  tout $x$ réel strictement positif : $\left.~ f(x) = \dfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} \times
\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. Interpréter graphiquement le résultat.

\item Démontrer que $f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ puis calculer $f'(x)$.

\item Déduire des questions précédentes le tableau de variations 
de $f$.

\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ (unité graphique : 2 cm). On admettra que
$\mathcal{C}$est tangente en O à l'axe des ordonnées.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie B}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier 
naturel $n$ non nul par : 
\[u_{n} =\int_{n}^{n+1}\: f(t)\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate} 
\item Interpréter géométriquement $u_{n}$.

\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non 
nul : $f(n +1) \leqslant  u_{n} \leqslant f(n)$.


\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

\item Prouver la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ et déterminer sa limite.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	

 \textbf{Exercice \no  17}

On considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur $a$ ($a$ réel strictement positif).

Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).

\vspace{0,8cm}

\parbox[c]{0.30\textwidth}{\begin{pspicture}(4,4)
\psframe(0,0)(3,3)
\psline[linestyle=dotted](3.7,1.3)(0.7,1.3)(0.7,4.3)(0,0)(0.7,1.3)
\psline(0,3)(0.7,4.3)(3,3)(3.7,4.3)(0.7,4.3)
\psline(3,0)(3.7,1.3)(3.7,4.3)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[r](3.7,1.3){C} \uput[ul](0.7,1.3){D} 
\uput[ul](0,3){E} \uput[r](3,3){F} \uput[r](3.7,4.3){G} \uput[ul](0.7,4.3){H} 
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox[c]{0.65\textwidth}{ \textbf{1.} Calculer, en fonction de $a$, les produits scalaires
suivants :\\
$\vect{\text{EA}} \cdot 
\vect{\text{AF}},~\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AF}},~
\vect{\text{BC}} \cdot \vect{\text{AF}}$\\
\textbf{2.} En déduire que les vecteurs EC et AF sont orthogonaux.\\
On admettra de même que les vecteurs EC et AH son\\
 \textbf{3.} En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur 
le plan (AFH).}

\vspace{0,5cm}

\textbf{4. a.} Justifier les résultats suivants: les droites (AF) et (EH) sont
orthogonales, ainsi que les droites (AF) et (EI).

\textbf{b.} En déduire que la droite (AF) est orthogonale à la droite (HI).

\textbf{c.} Établir de même que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI).

 \textbf{5.} Que représente le point I pour le triangle AFH ?

\vspace{1cm}

\textbf{ Exercice \no  18}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

On considère les points A, B, C et S de coordonnées 
respectives :

\[\text{A}(- 1~;~ 0~;~ 1) \quad  \text{B}(1~;~ 4~;~ -1) \quad  
\text{C}(3~;~-4~;~-3) \quad  \text{S}(4~;~0~;~4)\]

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en A.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le vecteur 
$\vect{\text{SO}}$ est orthogonal aux vecteurs 
$\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

	\end{enumerate}


\item Calculer le volume V du tétraèdre SABC.

\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{Exercice \no  19}

On se propose d'étudier les fonctions $f$ dérivables sur $[0~;~ + \infty[$ vérifiant la condition

\[(1) \quad\left\{\begin{array}{l}
\text{pour tout} \quad  x \in [0~;~ + \infty[,~ f(x)f'(x) = 1\\
f(0) = 1\\
\end{array}\right.\]

\textbf{ Partie A}

On suppose qu'il existe une fonction $f$ qui vérifie (1).

 La méthode d'\textsc{euler} permet de construire une suite de points 
$\left(M_{n}\right)$ proches de la courbe représentative de la fonction $f$.

On choisit le pas $h = 0,1$.

On admet que les coordonnées $\left(x_{n},~ y_{n}\right)$ des 
points $M_{n}$ obtenus en appliquant cette méthode avec ce pas 
vérifient :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x_{0} & = & 0\\
y_{0} & = & 1\\
\end{array}\right. \qquad 
\left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1} & = & x_{n} + 0,1\\
y_{n+1} & = & y_{n} + \dfrac{0,1}{y_{n}}\\
\end{array} \right. \quad \text{pour tout entier naturel}~ n.\]

 Calculer les coordonnées des points M$_{1}$,~ M$_{2}$,~ 
M$_{3}$,~ M$_{4}$,~ M$_{5}$ (on arrondira au millième les valeurs trouvées).

\textbf{ Partie B}

On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement 
positive sur $[0~;~ + \infty[$.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que si la fonction $f$ vérifie (1) 
alors $f$ ne s'annule pas sur $[0~;~ + \infty[$.

\item On suppose que la fonction $f$ vérifie la condition (1) et qu'il
existe un réel a strictement positif tel que $f(a) < 0$.

 En déduire que l'équation $f (x) = 0$ admet au 
moins une solution dans l'intervalle $[0~;~ a]$.

\item Conclure.

\end{enumerate}

\textbf{ Partie C}

\textbf{Existence et unicité de la fonction} \boldmath $f$ 
\unboldmath.

\begin{enumerate} 
\item Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer
une primitive de la fonction $uu'$ sur cet intervalle.

\item En déduire que si $f$ est telle que,

$\text{pour tout} \quad x \in [0~;~+ \infty[,~ f(x)f'(x) = 1,$

 alors il existe une constante $C$ telle que :

$\text{pour tout} \quad x \in [0~;~+ \infty[, \left[f(x)\right]^2 = 2x + 
C.$

\item On rappelle que $f(0) = 1$. Déterminer l'expression 
de $f(x)$ pour $x$ réel positif.

\item  En déduire les valeurs arrondies au millième de 
$f(0,1),~ f(0,2),~ f(0,3),~ f(0,4),~f(0,5)$, puis les comparer avec les valeurs obtenues par la méthode d'\textsc{euler}.

\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \textbf{ Exercice \no  20}

Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes : $20\:\%$ au premier fournisseur, $50\:\%$ au deuxième fournisseur et $30\:\%$ au troisième fournisseur.

 Le premier fournisseur fabrique $97\:\%$ d'ampoules sans défaut, le 
deuxième fournisseur fabrique $98\:\%$ d'ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique $95\:\%$ d'ampoules sans défaut.

\begin{enumerate} 
\item On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note D 
l'évènement \og l'ampoule est défectueuse \fg, F$_{1}$ l'évènement \og l'ampoule provient du premier fournisseur \fg, F$_{2}$ l'évènement \og l'ampoule provient du deuxième fournisseur \fg{}
et F$_{3}$ l'évènement \og l'ampoule provient du troisième fournisseur \fg.

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement D, notée $P$(D).

		\item Sachant que l'ampoule choisie est défectueuse, quelle est la 
probabilité $P_{\text{D}}\left(\text{F}_{1}\right)$  qu'elle provienne du premier fournisseur ?

Donner la valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de 
$P_{\text{D}}\left(\text{F}_{1}\right)$.

	\end{enumerate}

\item On suppose que la probabilité qu'une ampoule soit sans défaut est
de 0,969.

On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité $R$ qu'une ampoule au
plus soit défectueuse.

On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $R$.

\item La durée de vie en heures d'une ampoule, notée $T$, suit une loi
de durée de vie sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètre 
$\lambda = \dfrac{1}{ 50\:000}	=  2.10^{-5}$.

 Selon cette loi, pour tout $x$ de $[0,~ + \infty[,~ P(T 
\leqslant  x) = \displaystyle\int_{0^x } \lambda \text{e}^{-\lambda 
t}\:\text{d}t$.

	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité $P_{1}$ qu'une ampoule dure plus 
de \nombre{25000}~heures ?

Donner la valeur exacte de $P_{1}$.

		\item Quelle est la probabilité $P_{2}$ qu'une ampoule dure plus de \nombre{50000}~heures ?

Donner la valeur exacte de $P_{2}$.

		\item Quelle est la probabilité $P_{3}$ qu'une ampoule dure plus de \nombre{50000}~heures,
sachant qu'elle a déjà duré \nombre{25000}~heures ? Donner la valeur exacte de $P_{3}$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \textbf{ Exercice \no  21}

\vspace{0,8cm}

\textbf{ PREMIÈRE PARTIE}

On note j le nombre complexe $\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$.

\begin{enumerate} 
\item Montrer les propriétés suivantes de j :

	\begin{enumerate} 
		\item j $=- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

		\item j$^3 = 1$. 

		\item $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. 

		\item $- \text{j}^2 =  \text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{3}}$.

	\end{enumerate}

\item Dans un repère orthonormal direct du plan, on considère les
points $M,~N,~P$ d'affixes respectives $m,~ n,~ p$.

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, si le triangle $MNP$ est équilatéral
direct, alors $m - n = - \text{j}^2 (p - n)$. 

		\item Établir la propriété suivante :

Le triangle $MNP$ est équilatéral direct si, et seulement si, $m + n\text{j} + p\text{j}^2 = 0$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,8cm}

\textbf{ DEUXIÈME PARTIE}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{On considère un cercle du plan de
centre O et des points A, B, C, D,E, F de ce cercle tels que les angles 
$\left(\vect{\text{OA}} ,~\vect{\text{OB}}\right),~\left(\vect{\text{OC}} 
,~\vect{\text{OD}}\right),~\left(\vect{\text{OE}},~\vect{\text{OF}}\right)$ aient la même mesure $\dfrac{\pi}{3}$. Soit M, N, P 
 les milieux respectifs des cordes [BC], [DE], [FA].
 
Montrer que le triangle MNP est équilatéral direct.} \hfill
 \parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\pscircle(0,0){3.5}
\uput[dr](2.1,-2.8){A} \uput[r](3.45,0.3){B} \uput[ur](1.2,1.8){M} 
\uput[u](-1,3.3){C} \uput[ul](-3.4,0.8){D} 
\uput[l](-3.3,0){N} \uput[l](-3.3,-0.8){E} \uput[dl](-0.95,-3.3){F} 
\uput[ur](0.525,-3.05){P} \uput[ur](0,0){O} 
\psline(3.45,0.3)(0,0)(-1,3.3)(-3.4,0.8)(0,0)(-3.3,-0.8)(-0.95,-3.3)(0,0)(2.1,-2.8)(3.45,0.3)
\psline(1.2,1.8)(-3.3,0)(0.525,-3.05)(1.2,1.8)
\psline[linestyle=dotted](3.45,0.3)(-1,3.3)
\psline[linestyle=dotted](-3.4,0.8)(-3.3,-0.8)
\psline[linestyle=dotted](2.1,-2.8)(-0.95,-3.3)
\end{pspicture}}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{ Exercice \no  22}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal  \Oijk. On étudie le 
tétraèdre OABC, o\`u les points A, B et C sont définis par leurs coordonnées : 
A(0~;~ 0~;~2), B($\sqrt{3}$~;~ 1~;~0) et C($\sqrt{3}~;~ -1~;~0$).

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie A. Géométrie analytique dans un tétraèdre}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Faire une figure représentant le repère et le tétraèdre.

		\item Déterminer la nature géométrique et calculer les dimensions de chacune des faces du tétraèdre.

	\end{enumerate}

 \item On considère le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées
$\left(2~;~ 0~;~n  \sqrt{3}\right)$.

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que le vecteur $\vect{u}$ est normal au plan (ABC).

		\item En déduire une équation du plan (ABC).

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie B. Étude d'une section plane}

Soit J le milieu de l'arête [BC]. Le point $N$ est un point mobile du segment [OJ].
On appelle (P) le plan passant par le point $N$ et orthogonal à la droite (OJ).

\begin{enumerate} 
\item On pose $t$ = O$N$. Vérifier que $t$ appartient à l'intervalle
$\left[0~;~ \sqrt{3}\right]$.

\item On se propose de déterminer la nature de la section plane du
tétraèdre OABC par le plan (P). Le plan (P) coupe :

- l'arête [OC] au point $R$ ;

- l'arête [AC] au point $S$ ;

- l'arête [AB] au point $T$ ;

- l'arête [OBI au point $U$.

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que les droites ($ST$), (BC) et ($RU$) sont parallèles. Démontrer que les droites ($RS$), (OA) et ($TU$) sont parallèles.

		\item Démontrer que le quadrilatère $RSTU$ est un rectangle.

		\item Déterminer avec soin les dimensions du rectangle $RSTU$ en fonction du nombre réel $t$ (on précisera en particulier les différents triangles dans lesquels sont menés les calculs).

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $S(t)$ l'aire de la section plane définie 
à la question \textbf{B. 2.}

Démontrer que $S(t) = \dfrac{4}{3}\left(\sqrt{3} - t\right)$.

		\item Étudier les variations de la fonction $S$, définie sur l'intervalle
$\left[0~;~, \sqrt{3}\right]$ par $S(t)$.

		\item	Pour quelle valeur du nombre réel $t$ l'aire 
$S(t)$ est-elle maximale ?

Quelle est alors la nature géométrique particulière de la section plane
étudiée ?

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On rappelle que le volume V du tétraèdre OABC est égal à
l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}} S(t)\: \text{d}t$.

 Calculer V par cette méthode.

		\item Calculer V en utilisant l'aire d'une face et la hauteur
correspondante du tétraèdre.

		\item Vérifier la cohérence des deux résultats.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}