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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
%Merci à Brigitte Bourgoin pour le sujet 
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement E},
pdftitle = {septembre 2020 Concepteur en art et industrie céramique,Design de communication espace et volume, Design d'espace, Design de produits},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\footnotesize{Groupement E : Concepteur en art et industrie céramique,\\Design de communication espace et volume,\\ Design d'espace, design de produits}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur septembre 2020 Groupement E~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

Le sujet contient deux annexes à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\vspace{0,5cm}

Un menuisier souhaite réaliser des meubles à placer dans les combles d'une maison. Une représentation du meuble en perspective parallèle est fournie ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.8,5.5)
%\psgrid
\psline(0,0)(3.7,0)(5.4,1.1)(5.4,5.15)(3.7,4.1)(3.7,0)
\psline(5.4,5.15)(3.4,5.15)(1.7,4.1)(3.7,4.1)
\psline(3.4,5.15)(1.7,4.35)(0,3.3)(1.7,4.1)
\psline(0,3.3)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](1.7,4.35)(1.7,1.05)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](1.7,1.05)(5.4,1.1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Ce meuble est inscrit dans un parallélépipède rectangle ABCDEFGH dont les dimensions sont AB = 80cm, AD = 60 cm et AE = 90 cm.

On souhaite découper la partie supérieure du parallélépipède pour que le meuble puisse s'insérer dans la soupente de la chambre.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,6.1)
%\psgrid
\psframe(4.4,4.8)%BCGF
\psline(4.4,0)(6.3,1.2)(6.3,6)(4.4,4.8)%CDHG
\psline(6.3,6)(1.9,6)(0,4.8)%HEF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.9,1.2)(1.9,6)%%BAE
\psline[linestyle=dashed](1.9,1.2)(6.3,1.2)%AD
\psline(0,3.84)(2.2,4.8)(4.1,6)%MNP
\psline[linestyle=dashed](4.1,6)(1.9,4.8)(0,3.84)%PQM
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.2,4.8)(6.3,1.2)(0,3.84)(1.7,1.05)(2.1,1.2)(1.9,1.4)(1.9,1.2)(0,0)(4.4,0)(6.3,1.2)(1.9,6)(0,4.8)(4.4,4.8)(6.3,6)
\uput[ul](1.9,1.2){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4.4,0){C} \uput[r](6.3,1.2){D}
\uput[u](1.9,6){E} \uput[ul](0,4.8){F} \uput[r](4.4,4.8){G} \uput[ur](6.3,6){H} 
\uput[l](0,3.84){M} \uput[d](2.2,4.8){N} \uput[u](4.1,6){P} \uput[ur](1.9,4.8){Q}
\uput[dr](1.7,1.05){\small I}\uput[d](2.1,1.2){\small J}\uput[ur](1.9,1.4){\small K} 
\end{pspicture}

\medskip

\emph{La représentation ci-dessus n'est pas à l'échelle}
\end{center}

Le menuisier doit réaliser 4 meubles.

\emph{ Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\newpage

\textbf{Partie A: Une contrainte angulaire}

\medskip

Afin que le meuble s'insère dans la soupente de la chambre, la mesure de l'angle $\widehat{\text{FMN}}$ doit être au minimum de $55\degres$.

On considère les points I, J, et K, respectivement situés sur [AB], [AD] et [AE] tels que 

AI = AJ = AK $= 1~$cm.

On munit ainsi l'espace d'un repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AI}}~;~\vect{\text{AJ}}~;~\vect{\text{AK}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans ce repère, le point C a pour coordonnées C(80~;~60~;~0).
		
Par lecture graphique, donner les coordonnées des autres sommets du parallélépipède.
		\item Soit N le milieu du segment [FG]. Déterminer les coordonnées de N.
	\end{enumerate}
\item Le point M appartient au segment [BF], tel que $\vect{\text{BM}} = \dfrac{4}{5} \vect{\text{BF}}$. 

Montrer que les coordonnées de M sont (80~;~0~;~72).
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{MF}}$.
		\item Montrer que $\vect{\text{MN}} \cdot \vect{\text{MF}}= 324$.
		\item Calculer les valeurs exactes des distances MN et MF.
		\item En déduire une valeur approchée, arrondie au degré près, de la mesure de l'angle $\widehat{\text{FMN}}$ . La contrainte angulaire est-elle respectée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calculs d'aire et de volume}

\medskip

On considère le point P milieu du segment [EH] et Q le point du segment [AE] tel que $\vect{\text{AQ}} = \dfrac{4}{5} \vect{\text{AE}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le menuisier doit peindre les surfaces extérieures visibles: il s'agit des faces MNGCB, NPHG, PHDAQ et GHDC.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'aire de chacune de ses faces. Vérifier que l'aire totale de la surface à
peindre est de $2$ m$^2$ environ.

On donnera le résultat arrondi au m$^2$. On utilisera ce résultat pour la question suivante.
		\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse qui vous parait exacte. On en demande aucune justification. La réponse juste apporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.}
		
$0,5$~L de peinture peut recouvrir environ $\pm 5$~m$^2$. Pour une bonne tenue de la peinture, il est nécessaire d'appliquer trois couches (avec un temps d'attente entre chaque couche). On rappelle que le menuisier réalise 4 meubles.

Quelle sera la quantité de peinture nécessaire pour peindre les meubles ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
6~L& 1,6~L& 24~L& 2,4~L\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item La peinture peut être vendue en pot de différentes contenances. Le rendement de peinture est le même.
		
Un pot de $1$~L coûte 9,90~\euro{} et un pot de $3$~L coûte 31,90~\euro.

Que doit choisir le menuisier pour dépenser le moins ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Ces meubles sont destinés à faire du rangement. Déterminer le volume d'un meuble.

\emph{On rappelle que le volume d'un prisme droit est donné par $B \times h$, où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Représentation en perspective}

\medskip

L'objectif de cette partie est de représenter ce meuble en perspective centrale.

La représentation est commencée en \textbf{Annexe 1}. Trois arêtes y sont représentées, ainsi que la ligne d'horizon avec comme plan frontal le plan (BCF).

On note $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$, $m$, $n$, $p$, $q$ les images respectives des points A, B, C, D, E, F{}, G, H, M, N, P{}, Q dans cette représentation.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter soigneusement la représentation en perspective centrale de l'\textbf{Annexe 1}.

On laissera apparaître les traits de construction et on repassera en couleur les arêtes
du meuble.
\item Comment s'appelle le point d'intersection de la droite $(cd)$ et de la ligne d'horizon ?
(On va le nommer $w$). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Pour la semaine de l'amitié, un jeune designer décide de modéliser un logo en forme de cœur à l'aide de deux courbes de Bézier.

Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. Une représentation de ce plan est fournie en \textbf{Annexe 2}.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude et tracé de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}_1$\unboldmath

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_1$ est la courbe de Bézier définie par les trois points de contrôle P$_2(5~;~ 8)$, P$_1(6~;~4)$ et O(0~;~0). C'est l'ensemble des points M$_1(t)$ du plan tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1], les coordonnées $x_1$ et $y_1$ de M$_1(t)$ sont données par:

\[x_1 = f_1(t) \quad \text{et}\quad y_1 = g_1(t)\]

où $f_1$ et $g_1$ sont deux fonctions dont les variations conjointes sont données dans le
tableau suivant.

Il est inutile de déterminer les expressions de $f_1(t)$ et $g_1(t)$.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
\psset{radius=0pt,arrowscale=1.5,nodesep=5pt}
$\begin{array}{|c | l *{3}{c} r |} 
\hline
t  & 0 & \esp & \frac{1}{7} & \esp  & 1 \\
\hline
\text{Signe de }f_1'(t) & 2  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & -12\\
\hline
%%%
 &  &  & \Rnode{B}{\frac{36}{7}}  &  & \\
\text{Variations de }f_1 &  & &  & &\\
 & \Rnode{A}{5} &   &  &  &\Rnode{C}{0}
 \ncline{->}{A}{B} \ncline{->}{B}{C}\\
\hline
\text{Signe de }g_1'(t) & -8 & \pmb{-} & -8 & \pmb{-} & -8\\
\hline
 &    \Rnode{D}{8}&   & &  &\\
\text{Variations de }g_1 &  & & \Rnode{E}{\frac{48}{7}}   &  & \\
  &  & &  &   &\Rnode{F}{0}
 \ncline{->}{D}{E} \ncline{->}{E}{F}\\
  \hline
\end{array}$
\end{center}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Par simple lecture du tableau ci-dessus, recopier sur la copie et compléter les phrases suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item \og La tangente à la courbe $\mathcal{C}_1$ au point de coordonnées (\ldots~;~\ldots)  a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées \ldots\ldots\fg.
		\item \og La tangente à la courbe $\mathcal{C}_1$ au point de coordonnées (\ldots~;~\ldots) a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{v}$ de coordonnées \ldots\ldots\fg.
		\item \og Le point A, obtenu pour $t = \frac{1}{7}$, a pour coordonnées (\ldots~;~\ldots)\fg.	
 	\end{enumerate}
 	
\item Sur la figure donnée en \textbf{Annexe 2}.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points P$_1$, P$_2$ et le point A de $\mathcal{C}_1$ obtenu pour $t = \frac{1}{7}$.
		\item Tracer les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_1$ aux points obtenus pour $t = 0$, $t =\frac{1}{7}$ et $t =1$ ; puis tracer la courbe $\mathcal{C}_1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude et tracé de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}_2$\unboldmath

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_2$ est la courbe de Bézier définie par les trois points de contrôle P$_3(0~;~ 7)$, P$_4(3~;~12)$ et P$_2(5~;~8)$.

On admet que cette courbe est l'ensemble des points M$_2(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] :

\[\vect{\text{OM}_2(t)} = (1- t)^2\vect{\text{OP}_2(t)} + t^2\vect{\text{OP}_3(t)} + 2t(1 - t)\vect{\text{OP}_4(t)}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item En quels points de la courbe peut-on connaître sans calcul la (les) tangente(s) ?

Tracer ces tangentes sur la figure en \textbf{Annexe 2}.
\item Démontrer que les coordonnées $x_2$ et $y_2$ des points M$_2(t)$ de la courbe $\mathcal{C}_2$ ont pour expression : 

\[x_2 = -t^2 -4t + 5\quad \text{et}\quad  y_2 = -9t^2 + 8t + 8.\]

\item On considère les fonctions $f_2$ et $g_2$ définies pour $t$ dans l'intervalle [0~;~1] par: 

\[f_2(t) = -t^2 - 4t + 5\quad \text{et}\quad g_2(t) = - 9t^2 + 8t + 8.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner une expression des fonctions dérivées $f'_2$ et $g'_2$.
		\item Étudier les variations des fonctions $f_2$ et $g_2$.
		
Rassembler les résultats dans un tableau unique.
	\end{enumerate}
\item Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ ont-elles la même tangente au point P$_2$ ? 

Justifier.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la figure donnée en \textbf{Annexe 2}, placer le point B de $\mathcal{C}_2$ obtenu pour $t= \dfrac{4}{9}$.
		\item Tracer les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_2$ aux points obtenus pour $t = 0$,\: $t = \dfrac{4}{9}$ et $t = 1$.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Finalisation du logo en forme de cœur}

\medskip

Sur l'\textbf{Annexe 2} appliquer aux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour compléter le tracé du logo.

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large Annexe 1 - Exercice 1. C}

\medskip

(À rendre obligatoirement avec la copie)
\vspace{2cm}

%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(12,12)
%\uput[u](1.5,11.5){ligne d'horizon}
%\psline(0,11.5)(12,11.5)
%\psline(2,3.7)(2,0)(4.8,0)(6.8,1.5)%fbcd
%\uput[l](2,3.7){$f$}\uput[l](2,0){$b$}\uput[dr](4.8,0){$c$}\uput[r](6.8,1.5){$d$}
%\end{pspicture}

\psset{unit=0.8cm,radius=1pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(16,10)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=gray]
\uput[u](1.5,9.1){ligne d'horizon}
\psline(-1,9)(16,9)
\Cnode*(0,4.5){f} \uput[l](f){$f$}
\Cnode*(0,0){b} \uput[dl](b){$b$}
\Cnode*(3,0){c} \uput[dr](c){$c$}
\Cnode*(5,1.5){d} \uput[r](d){$d$}
\psline(f)(b)(c)(d)
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2 - Exercice 2}

\medskip

(À rendre obligatoirement avec la copie)

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(7,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray](-7,-1)(7,13)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-1)(7,13)
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}
