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\chapter{Académie de Grenoble}

\begin{Enonce}[Dominos et polyminos]

  Un domino est un polygone formé de deux carrés de dimension $1$ par
  $1$. Un polymino est constitué de $n$ carrés de dimension $1$ par
  $1$ juxtaposés. Deux polyminos sont les mêmes 
  si l’on peut passer de l’un à l’autre par symétrie ou rotation comme
  dans l’exemple de la figure \ref{fig_Gre19_01a}.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
      \draw[lightgray] (0,0) grid (11,6) ;

      \begin{scope}[fill=colLogo,draw=black]
        \filldraw (1,3) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (2,3) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (3,3) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (3,2) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (3,1) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (2,4) rectangle ++(1,1) ;
      \end{scope}

      \begin{scope}[fill=colLogo,draw=black,yscale=-1,rotate=90,shift={(-6,-10)}]
        \filldraw (1,3) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (2,3) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (3,3) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (3,2) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (3,1) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (2,4) rectangle ++(1,1) ;
      \end{scope}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Deux polyminos identiques}
    \label{fig_Gre19_01a}
  \end{figure}
  
  Ainsi, il n’existe qu’un domino et deux triminos $n=3$

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5,fill=colLogo,draw=black]
      \draw[lightgray] (0,0) grid (11,4) ;

      \filldraw (1,2) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw (2,2) rectangle ++(1,1) ;

      \filldraw (4,2) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw (5,2) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw (6,2) rectangle ++(1,1) ;

      \filldraw (8,2) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw (9,2) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw (9,1) rectangle ++(1,1) ;
      
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \label{fig_Gre19_01b}
  \end{figure}


  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
      \item  Dessiner les cinq différentes tétraminos ($n = 4$).  
      \item Combien existe-t-il de pentaminos ($n = 5$) ?
    \end{enumerate}
    \item  On s'intéresse au pavage d’un rectangle de dimension $2$
      par  $i$, où $i$ est un entier naturel non nul et l’on
    notera $A_i$ le nombre de façons différentes de paver ce rectangle.
    \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5,fill=colLogo,draw=black]
      \draw[lightgray] (0,0) grid (7,4) ;

      \filldraw (1,1) rectangle ++(1,2) ;
      \filldraw (2,1) rectangle ++(2,1) ;
      \filldraw (2,2) rectangle ++(2,1) ;
      \filldraw (3,1) rectangle ++(1,2) ;
      \filldraw (4,1) rectangle ++(1,2) ;
      \filldraw (5,1) rectangle ++(1,2) ;
      
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_Gre19_01c}
  \end{figure}

    
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer $A_1$, $A_2$, $A_3$.
  \item Donner, en justifiant, une relation liant $A_{n+2}$, $A_{n+1}$
    et $A_n$.
  \item Déterminer le nombre de façons différentes de paver un
    rectangle de dimension $2$ par $8$.

    \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5,fill=colLogo!25,draw=black]
      \draw[lightgray] (0,0) grid (10,4) ;
      \foreach \x in {1,2,...,8}
      {
        \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1) ;
        \filldraw (\x,2) rectangle ++(1,1) ;
      }
      
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_Gre19_01d}
  \end{figure}
  
  \end{enumerate}
\item Prouver qu’il n’est pas possible
  de paver, avec des dominos, un échiquier auquel on a enlevé
  deux coins opposés. 

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5,draw=black]
      \draw[lightgray] (1,1) grid (11,11) ;
      \foreach \y in {1,2,...,4}
      {
        \foreach \x in {1,2,...,4}
        {
          \filldraw[fill=colLogo!25] (2*\x,2*\y) rectangle ++(1,1) ;
          \filldraw[fill=colLogo] (2*\x+1,2*\y) rectangle ++(1,1) ;
          \filldraw[fill=colLogo!25] (2*\x+1,2*\y+1) rectangle ++(1,1) ;
          \filldraw[fill=colLogo] (2*\x,2*\y+1) rectangle ++(1,1) ;
        }
      }
      \filldraw[fill=white,draw=lightgray] (2,9) rectangle ++(1,1) ;
      \draw[black] (2,9) --++(1,0) --++(0,1) ;
      \filldraw[fill=white,draw=lightgray] (9,2) rectangle ++(1,1) ;
      \draw[black] (9,2) --++(0,1) --++(1,0) ;
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_Gre19_01e}
  \end{figure}

  
\item Prouver qu’un échiquier ne peut pas être pavé avec $15$
  tétraminos en T et un tétramino carré.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5,draw=black]
      \draw[lightgray] (0,0) grid (9,4) ;
      \filldraw[fill=colLogo,draw=black] (1,2) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw[fill=colLogo,draw=black] (2,2) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw[fill=colLogo,draw=black] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw[fill=colLogo,draw=black] (2,1) rectangle ++(1,1) ;

      \filldraw[fill=colLogo,draw=black] (6,2) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw[fill=colLogo,draw=black] (7,2) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw[fill=colLogo,draw=black] (6,1) rectangle ++(1,1) ;
      \filldraw[fill=colLogo,draw=black] (7,1) rectangle ++(1,1) ;
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_Gre19_01f}
  \end{figure}
\end{enumerate}
\begin{Corrige}
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item On obtient la figure \ref{fig_Gre19_01aC}
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[fill=colLogo,draw=black,scale=0.5]
          \draw[lightgray] (0,0)  grid (17,4) ;
          % la barre
          \foreach \x in {1,2,...,4}
          {
            \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1) ;
          }
          \begin{scope}[shift={(5,0)}]
            % % le L
            \foreach \x in {1,2,3}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(9,0)}]
            % le t
            \foreach \x in {1,2,3}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(2,2) rectangle ++(1,1) ;
        \end{scope}
        \begin{scope}[shift={(13,0)}]
            % le carré
            \foreach \x in {1,2}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
              \filldraw (\x,2) rectangle ++(1,1)  ;
            }
        \end{scope}
        \end{tikzpicture}
        \caption{Les cinq tétranimos}
        \label{fig_Gre19_01aC}
      \end{figure}
    \item Il existe $12$ pentaminos, voir la figure \ref{fig_Gre19_01bC}.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[fill=colLogo,draw=black,scale=0.5]
          \draw[lightgray] (0,0)  grid (21,11) ;
          % la barre
          \foreach \x in {1,2,...,5}
          {
            \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1) ;
          }
          \begin{scope}[shift={(6,0)}]
            % % le 1
            \foreach \x in {1,2,3,4}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(4,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(11,0)}]
            % % le t
            \foreach \x in {1,2,3,4}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(1,2)}]
            % % le 6
            \foreach \x in {1,2}
            {
              \filldraw (0,\x) rectangle ++(1,1)  ;
              \filldraw (1,\x) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(0,3) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(3,2)}]
            % % le C
            \foreach \x in {1,2,3}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(1,2) rectangle ++(1,1) ;
            \filldraw(3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(7,3)}]
            % % le 2
            \foreach \x in {1,2,3}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(1,0) rectangle ++(1,1) ;
            \filldraw(3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(11,4)}]
            % % le T
            \foreach \x in {1,2,3}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(3,0) rectangle ++(1,1) ;
            \filldraw(3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(15,4)}]
            % % le L
            \foreach \x in {1,2,3}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(2,0) rectangle ++(1,1) ;
            \filldraw(3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(16,0)}]
            % % le L
            \foreach \x in {1,2,3}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(3,3) rectangle ++(1,1) ;
            \filldraw(3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(0,7)}]
            % % le s
            \foreach \x in {1,2,3}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(4,2) rectangle ++(1,1) ;
            \filldraw(3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(6,7)}]
            % % le W
            \foreach \x in {0,1}
            {
              \filldraw (\x,0) rectangle ++(1,1)  ;
              \filldraw (\x+1,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(1,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[shift={(10,7)}]
            % % le +
            \foreach \x in {0,1,2}
            {
              \filldraw (\x,1) rectangle ++(1,1)  ;
            }
            \filldraw(1,0) rectangle ++(1,1) ;
            \filldraw(1,2) rectangle ++(1,1) ;
          \end{scope}

        \end{tikzpicture}
        \caption{Les douze pentanimos}
        \label{fig_Gre19_01bC}
      \end{figure}

    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $A_1 = 1$, $A_2 = 2$ et $A_3 = 2+1 = 3$.
    \item On a $A_{n+2} = A_{n+1}+ A_n$. Soit un pavage de $n+2$
      domino. Le premier domino est soit vertical et il reste un
      pavage de $n+1$ dominos, soit il y a deux dominos horizontaux, et
      alors il reste un pavage de $n$ dominos. 
    \item $A_3 = 3$, $A_4 = 3+2 = 5$, $A_5 = 8$, $A_6 = 13$, $A_7 =
      21$ et $A_8 = 34$.
    \end{enumerate}
  \item Un domino couvre une case claire et une case foncée. Or les
    deux cases enlevées sont des cases foncées. On ne peut donc pas
    couvrir un tel échiquier.
  \item Un tétranimo en T couvre 3 cases d'une couleur et 1 case de
    l'autre couleur. Alors qu'un carré couvre 2 cases d'une couleur et
    2 de l'autre. Or il y a 32 cases claires et 32 foncées. Donc, les
    quinze tétraminos en T ne pourront couvrir l'échiquier.
  \end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}

\begin{Enonce}[Nombres d’Eisenstein]{} 
Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs, on note $q\coord(a,b)$
le nombre $a^2 + ab + b^2$. On dit qu'un nombre entier $n$
est un nombre d'Eisenstein s'il existe des entiers relatifs $a$ et $b$
tels que $n = q\coord(a,b)$.

Les nombres d'Eisenstein ont été étudiés par le mathématicien allemand Gotthold Eisenstein (1823
-1852).

Le but de l'exercice est de déterminer certaines propriétés remarquables de ces nombres. 


\begin{enumerate}
\item Calculer $q\coord(0,0)$ ; $q\coord(0,1)$ ; $q\coord(0,2)$ ;
  $q\coord(1,1)$ ; $q\coord(1,2)$ ; $q\coord(-1,1)$ et $q\coord(-1,2)$.

\item Montrer que $49$ et $91$ sont des nombres d'Eisenstein.

\item  Montrer que si $m$ est un entier, alors $m^2$ et $3m^2$ sont des nombres
    d'Eisenstein.

  \item Montrer que si $n$ est un nombre d'Eisenstein,
    alors $4n$ est aussi un nombre d'Eisenstein.

  \item Vérifier l'égalité $a^2 + ab + b^2 = \frac{(2a+b)^2+3b^2}{4}$.
    En déduire que tous les nombres d'Eisenstein
    sont positifs.

    Montrer que $2$ n'est pas un nombre d'Eisenstein. 
    
  \item  Écrire et justifier un algorithme qui
    détermine tous les nombres d'Eisenstein entre $0$ et $n$. Appliquer
    cet algorithme pour obtenir la liste des nombres d'Eisenstein
    entre $0$ et $25$. 

\item Montrer que si n est un entier alors $3n- 1$
    n'est pas un nombre d'Eisenstein.

\item Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres entiers. En considérant
  $\coord(ac+bc+bd,ad-bc)$, montrer que le produit de deux nombres
    d'Eisenstein est un nombre d'Eisenstein.
  \item Montrer que si $n$ est un multiple de $9$, alors
    $n$ est un nombre d’Eisenstein si et seulement si 
    $\frac{n}{3}$ l'est.
  \end{enumerate}
  \begin{Corrige}
    \begin{enumerate}
    \item $q\coord(0,0) = 0$ ; $q\coord(0,1) = 1$ ; $q\coord(0,2) = 4$  ;
      $q\coord(1,1) =  3$ ; $q\coord(1,2) = 7$ ;  $\coord(-1,1) = 1$ ;
      $\coord(-1,2) = 3$. 
    \item $49 = q\coord(7,0) = q\coord(5,3) = q\coord(8,-5) =
      q\coord(3,-8) = q\coord(7,-7)$. $18$ possibilités.

      $91 = q\coord(1, -10) = q\coord(1, 9) = q\coord(5, 6) =
      q\coord(9, -10)$. $12$ possibilités.
    \item Soit $m$ un entier, alors $m^2 = q\coord(m,0)$ et $3m^2 =
      q\coord(m,m)$.
    \item Soit $m$ un nombre d'Eisenstein, c'est-à-dire que qu'il
      existe $a$ et $b$ tels que $ m = a^2+ab+b^2$. Alors $4m =  4a^2
      + 4ab + 4b^2 = \left(2a\right)^2 + (2a)(2b) + (2b)^2 =
      q\coord(2a,2b)$.
    \item $ \frac{(2a+b)^2+3b^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + b^2 +
        3b^2}{4} = a^2 + ab + b^2$.

      Comme l'expression $\frac{(2a+b)^2+3b^2}{4}$ est une somme de
      carré, $a^2 + ab + b^2 \geq 0$ et donc les nombres d'Eisenstein
      sont toujours positifs.

      Supposons que $2$ soit un nombre d'Eisenstein. Il existe alors
      $a$ et $b$ entiers tels que $\frac{(2a+b)^2+3b^2}{4} = 2$. On en
      déduit que $ (2a+b)^2+ 3b^2  = 8$, soit $(2a+b)^2 = 8 -
      3b^2$. On en déduit que $8-3b^2 \geq 0$, donc $8 \geq 3b^2$,
      donc que $b$ vaut $-1$, $0$ ou $1$.
      \begin{itemize}
      \item $b = 0$, entraîne que $4a^2 = 8$, donc $a^2 = 2$, c'est
        impossible, la racine de deux n'est pas un entier.
      \item $b = -1$, entraîne $(2a-1)^2 = 5$. Or la racine de $5$
        n'est pas un entier, donc le cas est impossible.
      \item $b = 1$, de la même manière, ce cas n'est pas possible. 
      \end{itemize}

      On en déduit que $2$ n'est pas un nombre d'Eisenstein.
    \item On a, si $n$ est un nombre d'Eisentein, alors :
      \[
        \frac{(2a+b)^2+3b^2}{4} = n
      \]

      On en déduit, alors, $\frac{3n^2}{4} \leq n$, soit $ 0 \leq b
      \leq \sqrt{\frac{4n}{3}}$.

      Puis, $(2a+b)^2 \leq 4n$, soit $ -2 \sqrt{n} \leq 2a+b \leq
      2\sqrt{n}$. On en déduit que $-\frac{b}{2} - \sqrt{n} \leq a
      \leq -\frac{b}{2} + \sqrt{n} $.

      Ces deux inégalités vont permettre de donner un algorithme qui
      permettra de donner les nombres d'Eisentein inférieur à une
      valeur donnée. Il en trouve d'autre mais on ne retiendra que
      celle entre $0$ et $n$.

      On a donc l'algorithme suivant :
      \begin{algorithm}[!h]
        \For{$b$ allant de $0$ à $\sqrt{\frac{4n}{3}}$}
        {
          \For{$a$ allant de $-\frac{b}{2} - \sqrt{n}$ à
            $\leq -\frac{b}{2} + \sqrt{n} $}
          {
            \If{$q\coord(a,b)$ n'est pas dans la liste et $q(a,b) \leq
              n$}
            {
              ajouter $\coord(a,b)$ à la liste
            }
          }
        }
      \end{algorithm}

      
      Un programme python qui trouve tous les nombres
      d'Eisenstein, ainsi que les différentes méthodes pour atteindre
      ce nombre.  Il ne s'agit de ne trouver que les nombres
      atteints, on peut donc faire beaucoup plus simple.

      \begin{tcblisting}{listing only,listing options={language=python,style=afdmpython}}
from math import *

def Eisentein(n):
    """
    Détermine tous les entiers d'Eisentein entre 0 et n
    n est entier d'Eisentein si n = a^2 + ab + b^2
    =  ((2a+b)^2+3b^2)/4
    renvoie un dictionnaire dont la clé est n, et les valeurs sont
    stockées dans une liste de tuple.
    """
    resultat = {}
    maxb = int(sqrt(4*n/3))
    for b in range(0,maxb):
        for a in range(int(-b/2-sqrt(n)),int(-b/2+2*sqrt(n))+1):
            m = a*a +a*b + b*b
            if m in resultat :
                liste = resultat[m]
                liste.append((a,b))
                resultat[m]=liste
            elif m not in resultat and m<= n :
                resultat[m] = [(a,b)]

    resultatTrie = {}
    for i in range(n) :
        if i in resultat :
            resultatTrie[i] = resultat[i].copy()
    return resultatTrie

print(Eisentein(25))


\end{tcblisting}

On obtient :
{\ttfamily
{0: [(0, 0)], 1: [(-1, 0), (1, 0), (-1, 1), (0, 1)], 3: [(-2, 1), (1, 1), (-1, 2)], 4: [(-2, 0), (2, 0), (-2, 2), (0, 2)], 7: [(-3, 1), (2, 1), (-3, 2), (1, 2), (-2, 3), (-1, 3)], 9: [(-3, 0), (3, 0), (-3, 3), (0, 3)], 12: [(-4, 2), (2, 2), (-2, 4)], 13: [(-4, 1), (3, 1), (-4, 3), (1, 3), (-3, 4), (-1, 4)], 16: [(-4, 0), (4, 0), (-4, 4), (0, 4)], 19: [(-5, 2), (3, 2), (-5, 3), (2, 3)], 21: [(-5, 1), (4, 1), (-5, 4), (1, 4)]}
}

Les nombres d'Eisentein sont donc $0$, $1$, $3$, $4$, $7$, $9$, $12$,
$16$ et $19$.
\item Posons $a = 3p+r$ et $b = 3q+s$ avec $r$ et $s$ des entiers
  compris entre $0$ et $2$. Considérons :
  \begin{align*}
    a^2+ab +b^2 & = (3p+r)^2 +(3p+r)(3q+s) + (3q+s)^2 \\
    & = 3N + r^2 + rs + s^2
  \end{align*}

  Il nous faut regarder les valeurs de $r^2+rs+s^2$. On obtient le
  tableau \ref{tab_Gre19_03aC}, on ne regarde que le reste de la
  division par $3$. On constate que l'on ne peut avoir de nombre de la
  forme $3n-1$ ou ce qui revient au mmême, de nombre de la forme $3n+2$.
  \begin{table}[!h]
    \centering
    \begin{tabular}{|l|*{3}{>{$}c<{$}|}}
      \hline
      & 0 & 1 & 2 \\
      \hline
      0 & 0 & 1 & 1 \\
      \hline
      1& 1 & 0 & 1 \\
      \hline
      2& 1& 1 & 0 \\
      \hline
    \end{tabular}
    \caption{ }
    \label{tab_Gre19_03aC}
  \end{table}
  
\item Développons les deux expressions.

  \begin{align*}
    (a^2+ab +b^2)(c^2 + cd + d^2)  = & a^2c^2 + a^2cd + a^2d^2 \\
                                     & + abc^2+  abcd + abd^2 \\
                                     & + b^2c^2 + b^2cd + b^2d^ 2
  \end{align*}

  \begin{align*}
    (ac+bc+bd)^2 &+ (ac+bc+bd)(ad-bc) + (ad-bc)^2  \\
                 & = a^2c^2 + abc^2 + abcd + abc^2 + b^2c^2 + b^2cd + abcd \\
                 & +b^2cd + b^2d^2 + a^2cd + abcd + abd^2 - abc^2\\
                 &  -b^2c^2- b^2cd + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2\\
                 & = a^2c^2 + a^2cd + a^2d^2 \\
                 & + abc^2+  abcd + abd^2 \\
                 & + b^2c^2 + b^2cd + b^2d^ 2
  \end{align*}
  On en déduit que le produit de deux nombres d'Eisentein
  $q\coord(a,b)$ et $q\coord(c,d)$ est le nombre d'Eisentein
  $q\coord(ac+bc+bd,ac-bc)$.
\item Soit $n$ un multiple de $9$.

  $n$ est un nombre d'Eisentein si et seulement si $\frac{n}{3}$ est
  un nombre d'Eisentein.

  Commençons par démontrer que si $\frac{n}{3}$ est un nombre
  d'Eisentein alors $n$ l'est aussi.

  On peut écrire $n = 3 \times \frac{n}{3}$, or le produit de deux
  nombres d'Eisentein est un nombre d'Eisentein.

  Réciproquement, si $n$ est un nombre d'Eisentein, alors
  $\frac{n}{3}$ est aussi un nombre d'Eisentein.

  $n = a^2 + ab + b^2$, avec $a = 3p+r$ et $b=3q+s $.

  Alors
  \begin{align*}
    a^2 + ab + b^2 & = 9(p^2 + pq + q^2) + 3(2pr+ps+qr+2qs) + r^2 + rs
                     +q^2 \\
  \end{align*}

  En étudiant cette expression, nous devons déjà avoir $r^2 + rs +q^2$
  multiple de $9$. Or, l'observation du tableau de la question amène à
  dire que $r = s$.
  
  \begin{itemize}
  \item $r = s = 0$, soit $a$ et $b$ sont tous les deux
    divisibles par $3$, alors $\frac{n}{9} =
    q\coord(\frac{a}{3},\frac{n}{3})$. 

    Alors, on a $\frac{n}{3} = 3 \times \frac{n}{9}$, et on en déduit
    que $\frac{n}{3}$ est un nombre d'Eisentein.
  \item $r=s=1$, on a alors 
    \begin{align*}
    a^2 + ab + b^2 & = 9(p^2 + pq + q^2) + 3(2p+p+q+2q) + 3 \\
  \end{align*}
  qui n'est pas multiple de $9$.
\item $r=s=2$
  \begin{align*}
    a^2 + ab + b^2 & = 9(p^2 + pq + q^2) + 3(4p+2p+2q+4q) + 12 \\
  \end{align*}
  qui n'est pas multiple de $9$.
  \end{itemize}

\end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}


\begin{Enonce}[Les clôtures]{}

  \Partie{Partie A}

  L’enclos d’Eléonore est composé d’un triangle équilatéral $ABC$
  inscrit dans un cercle de rayon $10$ mètres. Mathias se trouve à
  l’intérieur du disque (voir la figure \ref{fig_Gre19_03b}). 

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.25,thick]
      \draw[colLogo] (0,0) circle(10) ;
      \filldraw [fill=colLogo!33,draw=colLogo]
      (0:10) --++(150:17.32) --++(-90:17.32) --cycle ;
      \fill[colLogo] (0,0) circle(5pt) ;
      \node[below] at (0,0) {$O$} ;
      \fill[colLogo] (0:10) circle(5pt) ;
      \node[right] at (0:10) {$A$} ;
      \fill[colLogo] (120:10) circle(5pt) ;
      \node[above] at (120:10) {$B$} ;
      \fill[colLogo] (-120:10) circle(5pt) ;
      \node[below] at (-120:10) {$C$} ;
      \draw[colLogo] (0,0) to node[below]  {$\SI{10}{\centi\m}$} (10,0) ;
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_Gre19_03a}
  \end{figure}
  
  On admet que la probabilité que Mathias se trouve dans une partie du
  disque est égale à l’aire de cette partie divisée par l’aire du
  disque.

  
  \begin{enumerate}
  \item Calculer la longueur des hauteurs du triangle ABC.

  \item Quelle est la probabilité que Mathias
    puisse voir les trois clôtures de l’enclos ? (une clôture
    empêche de voir de l’autre côté) 

  \item Quelle est la probabilité que Mathias ne
    puisse voir qu’une seule des trois clôtures de l’enclos ? 
  \end{enumerate}



  \Partie{Partie B }

  L’enclos de Fanny est composé d’un triangle équilatéral $ABC$ de
  côté $10 \sqrt{3}$ mètres dont le centre de gravité est situé au
  centre d’un cercle de rayon beaucoup plus grand.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.05,thick,every node/.style={node font=\tiny}]
      \draw[colLogo] (0,0) circle(40) ;
      \filldraw [fill=colLogo!33,draw=colLogo]
      (0:10) --++(150:17.32) --++(-90:17.32) --cycle ;
      \fill[colLogo] (0,0) circle(20pt) ;
      \node[below] at (0,0) {$O$} ;
      \fill[colLogo] (0:10) circle(20pt) ;
      \node[right] at (0:10) {$A$} ;
      \fill[colLogo] (120:10) circle(20pt) ;
      \node[above right] at (120:10) {$B$} ;
      \fill[colLogo] (-120:10) circle(20pt) ;
      \node[below right] at (-120:10) {$C$} ;
      \path[name path=AB,shift={(2.5,4.33)}] (-30:50) --(150:50) ;
      \path[name path=AC,shift={(2.5,-4.33)}] (30:50) --(-150:50) ;
      \path[name path=BC,shift={(20,0)}] (-120:50) --(120:50) ;
      \path[name path=cercle] (0,0) circle(40) ;
      \draw [name intersections={of=cercle and AB}] (intersection-1)
      -- (intersection-2) ;
      \node[below right] at (intersection-2) {$D$} ;
      \node[above left] at (intersection-1) {$E$} ;
      \draw [name intersections={of=cercle and AC}] (intersection-1)
      -- (intersection-2) ;
      \node[above right] at (intersection-1) {$I$} ;
      \node[below left] at (intersection-2) {$H$} ;
      \draw [name intersections={of=cercle and BC}] (intersection-1)
      -- (intersection-2) ;
      \node[above] at (intersection-1) {$F$} ;
      \node[below] at (intersection-2) {$G$} ;

    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_Gre19_03b}
  \end{figure}



  
  \begin{enumerate}
  \item Lorsque le rayon devient très grand, que peut-on dire de la
    probabilité pour Mathias de voir trois clôtures ?
    
  \item Lorsque le rayon devient très grand, que peut-on dire de la
    probabilité pour Mathias de voir deux clôtures ?

  \item Lorsque le rayon devient très
    grand, que peut-on dire de la probabilité pour Mathias de voir
    une seule clôture ?
  \end{enumerate}

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      [scale=0.1,thick,every node/.style={node font=\small},
      draw=colLogo,fill=colLogo]
      \filldraw [fill=colLogo!33]
      (0:10) --++(150:17.32) --++(-90:17.32) --cycle ;
      \fill (0,0) circle(5pt) ;
      \coordinate[label=below:$O$] (O) at (0,0) ;
      \coordinate[label=right:$A$] (A) at (0:10) ;
      \fill (A) circle(5pt) ;
      \coordinate[label=above right:$B$] (B) at (120:10) ;
      \fill (B) circle(5pt) ;
      \coordinate[label=below right:$C$] (C) at (-120:10) ;
      \fill (C) circle(5pt) ;
      \node at (15:20) {} ;
      \path[name path=OI] (0,0) -- (15:20) ;
      \path[name path=CA] (-120:10) -- ++(30:40) ;
      \path [name intersections={of=OI and CA,by={[label=above right:$I$]I}}] ;
      \draw (I) -- (0:10) ;
      \node [name path=cercle,draw,circle through=(I)] at (O) {} ;
      \path[name path=AC] (A) -- ++(210:40) ;
      \path [name intersections={of=AC and  cercle,by={[label=below left:$H$]H}}] ;
      \draw (C) -- (H) ;
      \path[name path=BC] (B) -- ++(-90:40) ;
      \path [name intersections={of=BC and  cercle,by={[label=below:$F$]F}}] ;
      \draw (C) -- (F) ;
      \path[name path=CB] (B) -- ++(90:20) ;
      \path [name intersections={of=CB and  cercle,by={[label=above:$G$]G}}] ;
      \draw (B) -- (G) ;
      \path[name path=AB] (B) -- ++(150:20) ;
      \path [name intersections={of=AB and  cercle,by={[label=above left:$E$]E}}] ;
      \draw (B) -- (E) ;
      \path[name path=BA] (A) -- ++(-30:20) ;
      \path [name intersections={of=BA and  cercle,by={[label=below right:$D$]D}}] ;
      \draw (A) -- (D) ;
      \draw[line join=bevel] (I) -- (O) -- (A) ;
      \filldraw[fill=colLogoFort] (O) +(0:2.5cm) arc [start
      angle=0, end angle=15,radius=2.5cm] -- (O) --cycle ; 
      \node[right] at (10:2.5cm) {$\alpha$} ;
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_Gre19_03c}
  \end{figure}

\Partie{Partie C}



L’enclos de Gertrude est composé d’un triangle équilatéral $ABC$ de côté
$10\sqrt{3}$ mètres et dont le centre de gravité est situé au centre
d’un cercle tel que l’angle $\alpha$ mesure $\ang{15}$, voir la figure
\ref{fig_Gre19_03c}.

Dans toute la suite, on pourra utiliser les résultats suivants :
$\cos(\ang{15})=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$,
$\sin(\ang{15})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ et $\tan(\ang{15})=2-\sqrt{3}$

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité que Mathias voit $3$ clôtures.

\item  Déterminer la probabilité que Mathias voit $2$ clôtures.

\item Déterminer la probabilité que Mathias voie une seule clôture.
\end{enumerate}
\begin{Corrige}
  \Partie{Partie A}
  \begin{enumerate}
  \item Le côté vertical coupe le rayon en son milieu, donc la
    hauteur est $\SI{15}{ \m}$. On en déduit que le côté du triangle
    est : $ 10 \sqrt{3}$
  \item Matthias voit les $3$ clôtures si il se situe dans le
    triangle. Donc, la probabilité est donc :
    \[
      \frac{\dfrac{15 \times 10 \sqrt{3}}{2}}{100\pi} = \frac{75
        \sqrt{3}}{100 \pi} = \frac{3 \sqrt{3}}{4\pi}.
    \]
  \item Matthias ne voit qu'une clôture si il est à l'extérieur du
    triangle, donc la probabilité est $ 1 - \frac{3 \sqrt{3}}{4\pi}$.
  \end{enumerate}
  \Partie{Partie B}
  \begin{enumerate}
  \item Quand le rayon devient grand, la probabilité de voir les $3$
    clôtures se rapproche de $0$.
  \item Lorsque le rayon du cercle devient très grand, la probabilité
    de voir $2$ clôtures, se rapproche de $\frac{1}{2}$. En effet,
    Matthias est dans une des parties $ADI$, $BEF$ ou $ CHG$. Le
    triangle $ABC$ est petit devant les $6$ autres parties, qui sont
    donc à peu près de la même aire.
  \item Pour ne voir qu'une seule clôture, il faut être dans le
    complémentaire des questions précédentes. Donc, la encore, quand
    le rayon est grand, la probabilité de voir une seule clôture est
    $\frac{1}{2}$. 
  \end{enumerate}

  \Partie{Partie C}
  \begin{enumerate}
  \item Dans le triangle $IAO$ est isocèle en $A$. L'angle
    $\widehat{IAB}$ mesure $\ang{120}$. L'angle $\widehat{BAO}$ mesure
    $\ang{30}$. Donc, $120 + 30 + 15 + x  = 180$, donc $x = 15$.

    On en déduit que : $\cos(15) = \frac{\frac{R}{2}}{10} =
    \frac{R}{20}$.

    Donc, $R = 20 \cos(15) = 5 \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$.

    L'aire du disque est donc :
    \[
      25\pi \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2 = 25\pi
      \left(8+4\sqrt{3}\right) = 100\pi \left(2+\sqrt{3}\right). 
    \]
    On en déduit que la probabilité cherchée est :
    \begin{align*}
      \frac{75 \sqrt{3}}{100\pi\left(2+\sqrt{3}\right)}
      &= \frac{3\sqrt{3}}{4\pi \left(2+\sqrt{3}\right)} \\
      &= \frac{3\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{4\pi
        \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)} \\
      & = \frac{3\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{4\pi}
    \end{align*}
  \item Matthias se situe dans les secteurs $ADI$, $BEG$ ou $CFH$.

    L'aire de ces partie est l'aire d'un secteur angulaire de rayon
    $R$, moins le double de l'aire du triangle $AIO$.

    La hauteur du triangle $AIO$ est $10\sin(15)$, la base vaut $R =
    20\cos(15)$.

    On en déduit que l'aire du triangle $AIO$ est : $ 100 \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cdot
    \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{100}{4^2} (6-2) = 25$.

    L'aire de l'arc $\widearc{IOD}$ a pour aire :
    \begin{align*}
      A_{IOD} &=  \left(20\cos(15)\right)^2 \times \pi \times \frac{30}{360} \\
        & =\frac{25\pi}{12} \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2 \\
        & =\frac{25\pi}{12} (6 + 2 \times 2 \sqrt{3}+2) \\
        & = \frac{25\pi}{3} (2 + \sqrt{3})
    \end{align*}

    On en déduit que l'aire de $ADI$ est :
    \begin{align*}
      A_{ADI} & = \frac{25\pi}{3} (2 + \sqrt{3}) - 50 \\
              & = \frac{25\pi(2+\sqrt{3}) - 150}{3}
    \end{align*}

    On en déduit que la probabilité est :
    \begin{align*}
      p &= 3 \frac{\frac{25\pi(2+\sqrt{3}) -
          150}{3}}{100\pi(2+\sqrt{3})} \\
        & = \frac{1}{4} - \frac{150}{100\pi(2+\sqrt{3})}\\
        & = \frac{1}{4} - \frac{3}{2\pi(2+\sqrt{3})} \\
        & = \frac{1}{4} - \frac{3(2-\sqrt{3})}{2\pi}
    \end{align*}
  \item La probabilité de ne voir qu'une seule clôture est obtenue par
    différences :
    \begin{align*}
      p & = 1 - \frac{3\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4\pi} - \frac{1}{4} +
          \frac{3(2-\sqrt{3})}{2\pi} \\
        & = \frac{3}{4} + \frac{ 12 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 9}{4\pi} \\
        & = \frac{3}{4} - \frac{21-12 \sqrt{3}}{4\pi}.
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}
\begin{Enonce}[Il faut passer les premiers !]{}

  Pour faire une réussite, on dispose d’un jeton, d’un dé équilibré à
  six faces et de la grille de la figure \ref{fig_Gre19_04a}. Le
  joueur commence la réussite en posant le jeton sur la case $0$, puis
  il effectue une série de lancers du dé, dans les conditions
  suivantes : lorsque le dé affiche « $k$ », le joueur avance son pion
  de $k$ cases et :

  \begin{itemize}
  \item s’il atteint ou dépasse la case numéro $24$, il a gagné.
  \item s’il arrive sur une case dont le numéro est un nombre premier
    inférieur à $24$ (cases grisées), il a perdu.
  \item  dans les autres cas, il relance le dé et continue la réussite.
  \end{itemize}
  On s’intéresse dans cet exercice à la probabilité pour un joueur de gagner à cette réussite.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \fill[colLogo!50] (3,0) rectangle ++(1,1) ;
      \fill[colLogo!50] (0,1) rectangle ++(1,1) ;
      \fill[colLogo!50] (2,1) rectangle ++(1,1) ;
      \fill[colLogo!50] (1,2) rectangle ++(1,1) ;
      \fill[colLogo!50] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
      \fill[colLogo!50] (2,3) rectangle ++(1,1) ;
      \fill[colLogo!50] (4,3) rectangle ++(1,1) ;
      \fill[colLogo!50] (2,4) rectangle ++(1,1) ;
      \fill[colLogo!50] (3,4) rectangle ++(1,1) ;
      \draw (0,0) grid (5,5) ;
      \foreach \x in {0,1,...,4}
      {
        \node at (\x+0.5,5-0.5) {\fpeval{\x}} ;
        \node at (5-\x-0.5,4-0.5) {\fpeval{5+\x}} ;
        \node at (\x+0.5,3-0.5) {\fpeval{\x+10}} ;
        \node at (5-\x-0.5,2-0.5) {\fpeval{15+\x}} ;
        \node at (\x+0.5,1-0.5) {\fpeval{\x+20}} ;
      }
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }\label{fig_Gre19_04a}
  \end{figure}
  

  \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Quelle est la probabilité de perdre dès le premier lancer
        ?
      \item Quelle est la probabilité de perdre au deuxième lancer ?
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Quelle est la probabilité que la réussite s’achève sur la
        case 2 ?
      \item Quelle est la probabilité que la réussite s’achève sur la
        première ligne de la grille ?
      \end{enumerate}
    \item Un joueur a écrit l’algorithme ci-dessous.
      \begin{algorithm}[!h]
        LPremier = [2,3,5,7,11,13,17,19,23]
        
        $S \leftarrow 0$
        
        \For{k de 1 à N}
        {
          Pion $\leftarrow$ 0

          Perdu $\leftarrow$ 0

          \While{Pion < 24 et Perdu = 0}
          {
            Pion $\leftarrow$ Pion + ENT(6*ALEA()+1)

            \If{Pion est dans LPremier}
            {Perdu $\leftarrow$ 1}
          }
          \If{Perdu = 0}
          {$S \leftarrow S+1$}
        }
        Afficher(S/N)
      \end{algorithm}
      \begin{enumerate}
      \item  Quel est le rôle de la boucle « tant que » ?

      \item Quel est le rôle de l’instruction : Pion $\leftarrow$ Pion
        + ENT(6*ALEA()+1) ?\footnote{ALEA() est une fonction qui
          renvoie un nombre aléatoire de l’intervalle $\interval[open
          right]{0}{1}$, ENT est la fonction qui a un nombre réel $x$ associe le
          plus grand entier inférieur ou égal à $x$.}
      \item Quel est le rôle de la variable $S$ ?
      \item Quelle est l’utilité de cet algorithme pour le joueur ?
    \end{enumerate}
  \item Déterminer la valeur exacte ou, à défaut, une estimation aussi
    précise que possible de la probabilité de gagner à cette réussite.

  \end{enumerate}
  \begin{Corrige}
    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Il y a $3$ nombres premiers entre $1$ et $6$, donc la
        probabilité de perdre au premier lancer est $\frac{1}{2}$.
      \item Au premier lancer, il faut arriver sur les cases $1$, $4$
        et $6$. On regarde les lancers perdants à partir de ces cases.
        Couples de lancers perdants : $\coord(1,1)$, $\coord(1,2)$,
        $\coord(1,6)$, $\coord(4,1)$, $\coord(4,3)$, $\coord(6,1)$ et
        $\coord(6,5)$. Donc $\frac{7}{36}$. 
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item La partie se termine sur le $2$ soit si on tire le $2$ au
        premier lancer, soit si on a $\coord(1,1)$. La probabilité est
        donc de $\frac{1}{6} + \frac{1}{36} = \frac{7}{36}$. 
      \item Soit on tire $2$ et $3$ au premier lancer, donc
        $\frac{2}{6}$, soit on a eu $\coord(1,1)$ et $\coord(1,2)$,
        soit $\frac{2}{36}$, au final la probabilité est de $\frac{14}{36}$.
      \end{enumerate}

    \item
      \begin{enumerate}
      \item La boucle tant que permet de jouer un nouveau tour et
        et de mettre à jour le compteur Perdu et le compteur $S$.
      \item $ENT(6*ALEA()+1)$ permet de simuler un lancer de dé
        équilibré à $6$ faces.
      \item L'algorithme simule $N$ parties, $S$ compte le nombre de
        parties gagnées.
      \item L'algorithme donne donc la fréquence de gain pour ce jeu.
      \end{enumerate}
    \item Le calcul exact semble difficile. On peut simuler ce travail
      avec le programme python.
      \begin{tcblisting}{listing only,listing options={language=python,style=afdmpython}}
from random import *
N = 100000

def de6():

    d = int(6*random()+1)
    return d


LPremier=[2,3,5,7,11,13,17,19,23]
S = 0

for i in range(N):
    Pion = 0
    P = 0
    while Pion < 24 and P == 0:
        Pion = Pion + int(6*random()+1)
        if Pion in LPremier :
            P = 1
    if P == 0:
        S = S +1
print(S/N)
\end{tcblisting}
Différents essai avec le script précédant donne une probabilité de
gain de l'ordre $\SI{6}{ \percent}$.
\end{enumerate}
      Les  réponses aux questions 1b, 2a, 2b sont aussi testées avec des
      simulations numériques, avec le programme python suivant.

      Le programme confirme les probabilités calculées.
      \newpage
      \begin{tcblisting}{listing only,listing options={language=python,style=afdmpython}}
from random import *
def de6():
    d = int(6*random()+1)
    return d

def perteLigne1(N=1000) :
    S = 0
    for i in range(N):
        lancerA =  de6()
        if lancerA == 1 :
            lancerB = de6()
            if lancerB == 1 :
                S = S + 1
            if lancerB == 2 :
                S = S + 1
        if lancerA == 2 : 
            S = S+1
        if lancerA == 3 :
            S = S+1
    return S/N
def perteLance2(N=1000):
    S = 0
    for i in range(N):
        lancerA = de6()
        if lancerA ==1:
            lancerB = de6()
            if lancerB == 1:
                S = S+1
            if lancerB == 2:
                S = S+1
        if lancerA ==4:
            lancerB = de6()
            if lancerB == 1:
                S = S+1
            if lancerB == 3:
                S = S+1
        if lancerA ==6:
            lancerB = de6()
            if lancerB == 1:
                S = S+1
            if lancerB == 5:
                S = S+1
    return S/N
def perteAvec2(N=1000):
    S = 0
    for i in range(N):
        lancer = de6()
        if lancer == 2:
            S = S + 1
        if lancer == 1 :
            lancer = de6()
            if lancer == 1 :
                S = S+1
    return S/N
print("Simulation de la perte sur le nombre 2") 
print("######################################")
print(perteAvec2(N=int(1e6)),7/36)
print("Simulation de la perte à la 1ere ligne") 
print("######################################")
print(perteLigne1(N=int(1e6)),14/36)
print("Simulation de la perte au 2e lancer   ") 
print("######################################")
print(perteLancer2(N=int(1e6)),7/36)
\end{tcblisting}

  \end{Corrige}
\end{Enonce}

%%% Local Variables:
%%% TeX-master: "olympiades"
%%% End:
