% !-*-coding:utf-8-*- \documentclass[10pt,french]{book} \usepackage{apmepOlym} % Package pour circuits électriques \usepackage{circuitikz} % Package pour géométrie plane \usepackage{tkz-euclide} \annee{2020} %Macro pour tracé des cercle de Ford \newcommand{\drawcircle}[2]{% \pgfmathparse{1/(2*#2*#2)} \let\tempradius\pgfmathresult \draw (#1/#2,\tempradius) circle (\tempradius); } \begin{document} \chapter{Asie - Pacifique - Nouvelle Calédonie - Polynésie Française} \label{chap:2020.APNP} \Opensolutionfile{Cor}[Corrige] L’épreuve se déroule en deux parties indépendantes de deux heures chacune. Les énoncés des deux parties sont donc séparés et distribués séparément à des moments différents. La première partie est constituée des exercices nationaux. À son issue, les copies sont ramassées et une pause de cinq à quinze minutes est prévue, avant la seconde partie, constituée des exercices académiques. Des consignes de confinement peuvent être données selon la zone géographique de passation de l’épreuve. Les calculatrices sont autorisées selon la réglementation en vigueur. Il est conseillé aux candidats qui ne pourraient formuler une réponse complète à une question d’exposer le bilan des initiatives qu’ils ont pu prendre. Les énoncés doivent être rendus au moment de quitter définitivement la salle de composition. La première partie de l’épreuve contient trois exercices. Les candidats de voie générale ayant suivi l’enseignement de spécialité de mathématiques doivent traiter les exercices nationaux \Ref{2020.APNP:exo1} et \Ref{2020.APNP:exo2}. Les autres candidats doivent traiter les exercices nationaux \Ref{2020.APNP:exo1} et \Ref{2020.APNP:exo3}. \newpage \begin{Enonce}[Addition du cancre, suites de Farey et cercles de Ford]{} \label{2020.APNP:exo1} %%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Corrige} \textbf{Partie A.} \begin{enumerate} \item $\frac{2}{3} \oplus \frac{4}{5} = \frac{2+4}{3+5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ \qquad $\frac{4}{6} \oplus \frac{4}{5} = \frac{4+4}{6+5} = \frac{8}{11}$\\ Si l'une des fractions n'est pas irréductible, alors le résultat du calcul sera différent du même calcul en remplaçant la fraction non irréductible par la fraction irréductible. \item $(1 \oplus 1) \oplus 2 = \left( \frac{1}{1} \oplus \frac{1}{1} \right) \oplus \frac{2}{1} = \frac{2}{2} \oplus \frac{2}{1} = \frac{1}{1} \oplus \frac{2}{1} = \frac{3}{2}$ \\ $1 \oplus (1 \oplus 2) = \frac{1}{1} \oplus\left( \frac{1}{1} \oplus \frac{2}{1} \right)= \frac{1}{1} \oplus \frac{3}{2} = \frac{4}{3}$ \\ On constate que les résultats sont différents. Les parenthèses sont obligatoires pour connaître l'opération à faire en priorité. \item $2 \times \left( \frac{1}{2} \oplus \frac{1}{3} \right) = 2\times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$ \qquad $\frac{2}{2} \oplus \frac{2}{3} = \frac{1}{1} \oplus \frac{2}{3} = \frac{3}{4}$\\ On constate que les résultats sont différents. Les parenthèses sont obligatoires pour connaître l'opération à faire en priorité. \item Les calculs suivants sont valables lorsque $a$ et $c$ sont non nuls.\\ $\frac{1}{x} \oplus \frac{1}{y} = \frac{b}{a} \oplus \frac{d}{c} = \frac{b+d}{a+c}$ \qquad $\frac{1}{x \oplus y} = \frac{1}{\frac{a}{b} \oplus \frac{c}{d}} = \frac{1}{\frac{a+c}{b+d}} = \frac{b+d}{a+c}$\\ Ainsi : $\frac{1}{x} \oplus \frac{1}{y} = \frac{1}{x \oplus y}$ \end{enumerate} \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item \begin{center} \begin{tikzpicture} \tikzstyle{fraction}=[draw,rectangle,rounded corners=3pt] \node[draw,fraction] (P0) at (0,0) {$\frac{0}{1}$}; \node[draw,fraction] (P1) at (10,0) {$\frac{1}{1}$}; \node[draw,fraction] (P2) at (5,-1) {$\frac{1}{2}$}; \node[draw,fraction] (P3) at (3.33,-2) {$\frac{1}{3}$}; \node[draw,fraction] (P4) at (6.66,-2) {$\frac{2}{3}$}; \node[draw,fraction] (P5) at (2,-3) {$\frac{1}{4}$}; \node[draw,fraction] (P6) at (4.5,-3) {$\frac{2}{5}$}; \node[draw,fraction] (P7) at (5.5,-3) {$\frac{3}{5}$}; \node[draw,fraction] (P8) at (8,-3) {$\frac{3}{4}$}; \node[draw,fraction] (P9) at (1,-4.5) {$\frac{1}{5}$}; \node[draw,fraction] (P10) at (3,-4.5) {$\frac{2}{7}$}; \node[draw,fraction] (P11) at (4,-4.5) {$\frac{3}{8}$}; \node[draw,fraction] (P12) at (4.7,-4.5) {$\frac{3}{7}$}; \node[draw,fraction] (P13) at (5.3,-4.5) {$\frac{4}{7}$}; \node[draw,fraction] (P14) at (6,-4.5) {$\frac{5}{8}$}; \node[draw,fraction] (P15) at (7,-4.5) {$\frac{5}{7}$}; \node[draw,fraction] (P16) at (9,-4.5) {$\frac{4}{5}$}; \draw (P0) -- (P1) -- (P2) -- (P0); \draw (P0) -- (P3) -- (P2) -- (P4) -- (P1); \draw (P0) -- (P5) -- (P3) -- (P6) -- (P2) -- (P7) -- (P4) -- (P8) -- (P1); \draw (P0) -- (P9) -- (P5) -- (P10) -- (P3) -- (P11) -- (P6) -- (P12) -- (P2) -- (P13) -- (P7) -- (P14) -- (P4) -- (P15) -- (P8) -- (P16) -- (P1); \end{tikzpicture} \end{center} $ F_4 = \left(\frac 01,\, {\color{Green}\frac14},\, \frac13,\, \frac12,\, \frac23,\, {\color{Green}\frac34},\, \frac11 \right)$ \qquad $ F_5 = \left(\frac 01,\, {\color{Green}\frac15},\, \frac14,\, \frac13,\, {\color{Green}\frac25},\, \frac12,\, {\color{Green}\frac35},\, \frac23,\, \frac34,\, {\color{Green}\frac45},\, \frac11 \right)$ \\ $F_6 = \left(\frac 01,\, {\color{Green}\frac16},\, \frac15,\, \frac14,\, \frac13,\, \frac25,\, \frac12,\, \frac35,\, \frac23,\, \frac34,\, \frac45,\, {\color{Green}\frac56},\, \frac11 \right)$ \item Les termes de la suite $F_{n+1}$ sont des fractions irréductibles comprises entre 0 et 1 de dénominateur inférieur ou égal à $n+1$. Ainsi les fractions irréductibles de dénominateur inférieur à $n$ font partie de $F_{n+1}$. Donc les termes de la suite $F_n$ sont dans $F_{n+1}$. \item Soit $n > 0$. Considérons deux fractions consécutives de $F_{n+1}$ que l'on notera $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$. Supposons que ces deux fractions n'appartiennent pas $F_n$. Elles seront de la forme $\frac{a}{n+1}$ et $\frac{b}{n+1}$. Comme elles sont consécutives, on peut même considérer qu'elles sont de la forme $\frac{a}{n+1}$ et $\frac{a+1}{n+1}$. \\ Considérons la fraction $\frac{a}{n+1} + \frac{a}{n(n+1)}$. Cette fraction est bien entre $\frac{a}{n+1}$ et $\frac{a+1}{n+1}$ car $\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n+1}$.\\ Or $ \frac{a}{n+1} + \frac{a}{n(n+1)} = \frac{an}{n(n+1)} + \frac{a}{n(n+1)} = \frac{a(n+1)}{n(n+1)} = \frac{a}{n} $. \\ Ainsi la fraction précédente appartient à $F_n$. \item Voici une trace de l'algorithme lors de l'appel de \texttt{mystere(0.5)} : \begin{center} \begin{tabular}{*{6}{|c}|}\hline a&b&c&d&e&f \\\hline 0&1&1&1&& \\\hline &&&&1&2 \\\hline 0&1&1&2&& \\\hline &&&&1&3 \\\hline 1&3&1&2&&\\\hline &&&&2&5 \\\hline 2&5&1&2&&\\\hline \end{tabular} \end{center} Le retour de \texttt{mystere(0.5)} est \texttt{(2,5,1,2)}. Cet algorithme retourne \texttt{a,b,c,d} tels que $\frac{a}{b} < x \leq \frac{c}{d} $ avec $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ des fractions de $F_5$. \end{enumerate} \textbf{Partie C} \begin{enumerate} \item $A \coord(\frac{a}{b};\frac{1}{2b^2})$ et $B \coord(\frac{c}{d} ; \frac{1}{2d^2})$ \item \begin{align*} AB^2 & = (x_B-x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 \\ & = \left( \frac{c}{d} - \frac{a}{b} \right)^2 + \left( \frac{1}{2b^2} - \frac{1}{2d^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{\mathbf{1}}{bd} \right)^2 + \left( \frac{d^2-b^2}{2b^2d^2} \right)^2 & \text{car } bc-ad = \mathbf{1} \text{d'après la question \textbf{B.4.}} \\ & = \frac{4b^2d^2 + d^4 - 2b^2d^2 + b^4 }{4b^4d^4} \\ & = \frac{\left(b^2+d^2\right)^2}{4b^4d^4} \end{align*} Ainsi $AB = \frac{b^2+d^2}{2b^2d^2} $. Or $\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2d^2} = \frac{d^2+b^2}{2b^2d^2}$. \item Si on note $r_1$ et $r_2$, les rayons des cercles de Ford. On a $r_1 = \frac{1}{2b^2}$ et $r_2=\frac{1}{2d^2}$. \\ On constate, d'après la question précédente, que $AB = r_1 + r_2 $, ainsi les deux cercles sont tangents. \end{enumerate} \end{Corrige} %%%%%%%%%%%%%%%%% Dans tout l'énoncé $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des entiers naturels, avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$. \section{Partie A : L'addition du cancre} \label{sec:APNP:exo1:partieA} Le bon élève sait que, pour additionner deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ , il faut d’abord réduire ces fractions au même dénominateur. Toutefois, pour $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ deux fractions irréductibles, on définit « l’addition du cancre », notée $\oplus$ par : $\frac{a}{b} \oplus \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$. Ainsi, si avec l'addition standard, $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$, on aura avec « l’addition du cancre » $\frac{1}{2} \oplus \frac{1}{3} = \frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5}$. \begin{enumerate} \item Calculer $\frac{2}{3} \oplus \frac{4}{5}$ puis $\frac{4}{6} \oplus \frac{4}{5}$.\\ Pourquoi est-il important de supposer $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ irréductibles ? \item Justifier que $\left(1 \oplus 1 \right) \oplus 2 = \frac{3}{2}$ et que $1 \oplus \left(1 \oplus 2 \right) = \frac{4}{3}$. \\ Que dire de la nécessité des parenthèses? \textit{On dit que l'addition des cancres n'est pas associative}. \item Justifier que $2\times \left( \frac{1}{2} \oplus \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{5}$ et calculer $\frac{2}{2} \oplus \frac{2}{3}$.\\ Que dire de la nécessité des parenthèses? \textit{On dit que l'addition des cancres n'est pas distributive}. \item Justifier que si $x=\frac{a}{b}$ et $y = \frac{c}{d}$ sont des fractions irréductibles,\\ alors $\frac{1}{x} \oplus \frac{1}{y} = \frac{1}{x \oplus y}$. \end{enumerate} \newpage \section{Partie B : Suites de Farey} \label{sec:APNP:exo1:partieB} Pour tout entier $n>1$, on appelle \textbf{suite de Farey} d’ordre $n$, notée $F_n$, la liste, rangée dans l’ordre croissant, des fractions irréductibles comprises entre 0 et 1, dont le dénominateur ne dépasse pas $n$. Par exemple, en remarquant que $0=\frac{0}{1}$ et $1=\frac{1}{1}$ on a : \[ F_1 = \left( \frac{0}{1} , \frac{1}{1} \right) \quad F_2 = \left( \frac{0}{1}, \frac{1}{2} , \frac{1}{1} \right) \quad F_3 = \left( \frac{0}{1} , \frac{1}{3} , \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{1}{1} \right) \quad \ldots \] Le diagramme \Ref{fig:2020.APNP.Farey1} ci-dessous permet alors de représenter les différents termes des suites de Farey. \begin{figure}[!h] \centering \begin{tikzpicture} \tikzstyle{fraction}=[draw,rectangle,rounded corners=3pt] \node[draw,fraction] (P0) at (0,0) {$\frac{0}{1}$}; \node[draw,fraction] (P1) at (10,0) {$\frac{1}{1}$}; \node[draw,fraction] (P2) at (5,-1) {$\frac{1}{2}$}; \node[draw,fraction] (P3) at (3.33,-2) {$\frac{1}{3}$}; \node[draw,fraction] (P4) at (6.66,-2) {$\frac{2}{3}$}; \node[draw,fraction] (P5) at (2,-3) {$\frac{1}{4}$}; \node[draw,fraction] (P6) at (4.5,-3) {$\frac{2}{5}$}; \node[draw,fraction] (P7) at (5.5,-3) {$\frac{3}{5}$}; \node[draw,fraction] (P8) at (8,-3) {$\frac{3}{4}$}; \draw (P0) -- (P1) -- (P2) -- (P0); \draw (P0) -- (P3) -- (P2) -- (P4) -- (P1); \draw (P0) -- (P5) -- (P3) -- (P6) -- (P2) -- (P7) -- (P4) -- (P8) -- (P1); \end{tikzpicture} \caption{Diagramme des suites de Farey} \label{fig:2020.APNP.Farey1} \end{figure} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le diagramme précédent, et déterminer $F_4$, $F_5$ et $F_6$. \item Justifier que pour tout $n \geq 1$, les termes d'une suite $F_n$ sont aussi des termes de $F_{n+1}$. \item Montrer que pour tout $n \geq 1$, si $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ sont deux fractions consécutives de $F_{n+1}$, avec $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$, alors l'une au moins de ces deux fractions appartient à $F_n$. \item \begin{olympAlert}{} Soient $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ deux fractions consécutives dans cet ordre d'une suite de Farey. \\ On admet pour toute la suite de l'énoncé que dans ce cas, on a $bc-ad=1$ \end{olympAlert} Montrer qu'alors $ \frac{a}{b} < \frac{a}{b} \oplus \frac{c}{d} < \frac{c}{d}$ \medskip Un candidat attentif remarquera que, plus précisément,$\frac{a+c}{b+d}$ est la première fraction qui apparaît entre $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ dans la suite de Farey d’ordre supérieur. Ce résultat ne sera pas démontré ici. \item Voici un algorithme écrit dans le langage \texttt{python}. Si \texttt{x} est un réel entre 0 et 1, que représentent les valeurs \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{c} et \texttt{d} renvoyées ? \begin{center} \captionsetup{type=figure} \begin{tcblisting}{top=0mm,bottom=0mm,left=0mm,right=0mm,colframe=colLogoFort,listing only, title=Algorithme mystere, fonttitle=\bfseries\small,colbacktitle=colLogoFort,listing options={language=python,style=afdmpython}} def mystere(x): a=0 b=1 c=1 d=1 while b+d <= 6: e = a+c f = b+d if (e/f) < x: a = e b = f else: c = e d = f return (a, b, c, d) \end{tcblisting} \end{center} \end{enumerate} \section{Partie C : Cercles de Ford} \label{sec:APNP:exo1:PartieC} On appelle \textbf{cercle de Ford} associé à une fraction irréductible $\frac{p}{q}$ le cercle de coordonnées $\coord(\frac{p}{q} , \frac{1}{2q^2})$ et de rayon $\frac{1}{2q^2}$. On peut alors représenter les différentes suites de Farey avec des cercles de Ford. Par exemple, la suite $F_3$ se représente par les différents cercles de la figure \Ref{fig:2020.APNP.Ford1} \begin{figure}[!h] \centering \def\fordN{3} \def\fordA{0} \def\fordB{1} \def\fordC{1} \let\fordD\fordN \begin{tikzpicture}[scale=2.5] \drawcircle{\fordA}{\fordB} \foreach \i in {0,...,3}{% \pgfmathparse{\fordN+\fordB}\global\let\fordK\pgfmathresult \pgfmathparse{floor(\fordK/\fordD)}\global\let\fordK\pgfmathresult \pgfmathparse{\fordK*\fordC}\global\let\fordE\pgfmathresult \pgfmathparse{\fordE-\fordA}\global\let\fordE\pgfmathresult \pgfmathparse{\fordK*\fordD}\global\let\fordF\pgfmathresult \pgfmathparse{\fordF-\fordB}\global\let\fordF\pgfmathresult \global\let\fordA\fordC \global\let\fordB\fordD \global\let\fordC\fordE \global\let\fordD\fordF \drawcircle{\fordA}{\fordB} } \draw[->] (-1,0) -- (2,0); \draw (0,0) node[] {$\bullet$} node[below] {$\frac{0}{1}$}; \draw (1,0) node[] {$\bullet$} node[below] {$\frac{1}{1}$}; \draw (0.5,0) node[] {$\bullet$} node[below] {$\frac{1}{2}$}; \draw (0.33,0) node[] {$\bullet$} node[below] {$\frac{1}{3}$}; \draw (0.66,0) node[] {$\bullet$} node[below] {$\frac{2}{3}$}; \end{tikzpicture} \caption{Cercles de Ford de la suite $F_3$} \label{fig:2020.APNP.Ford1} \end{figure} L'objectif de cette partie est de démontrer la propriété suivante : \begin{olympAlert}{} Les cercles de Ford associés à deux termes consécutifs d'une même suite de Farey sont tangents entre eux. \end{olympAlert} \begin{enumerate} \item Préciser les coordonnées de $A$ et $B$, centres des cercles de Ford associés à $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$, où $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ sont deux fractions consécutives d'une même suite de Farey. \item Montrer alors que $AB = \frac{1}{2b^2} + \frac{1}{2d^2}$. \item Conclure \end{enumerate} \end{Enonce} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Enonce}[Les mathématiques Wasan ]{} \label{2020.APNP:exo2} \begin{Corrige} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La médiane issue d'un sommet dans un triangle équilatéral est aussi la médiatrice issue de ce sommet. Ainsi le triangle $AHB$ ci contre est rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore :\\ \begin{minipage}{0.70\linewidth} \begin{align*} BC^2 &= CH^2 + HB^2 \\ a^2 &= \left( \frac{a}{2} \right)^2 + CH^2 \\ CH^2 &= \frac{3}{4}a^2 \end{align*} Ainsi, $CH = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.\\ Or, d'après l'énoncé $CO = \frac{2}{3}CH = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$ \end{minipage} \begin{minipage}{0.30\linewidth} \begin{tikzpicture}[scale=0.6] % fixed points \tkzDefPoint(0,0){A} \tkzDefPoint(4,-1){B} \tkzDefTriangle[equilateral](A,B) \tkzGetPoint{C} % calculus \tkzDefTriangleCenter[centroid](A,B,C) \tkzGetPoint{O} \tkzDefCircle[through](O,A) % drawings \tkzDrawPolygon(B,A,C) \tkzDrawPoints(O) \tkzDrawCircle(O,A) \tkzInterLL(A,B)(C,O) \tkzGetPoint{H} % marking % labelling \tkzLabelSegment[below](H,B){\scriptsize $\frac{a}{2}$} \tkzLabelSegment[right](B,C){\scriptsize $a$} \tkzAutoLabelPoints[center=O](A,B,C,H) \tkzMarkRightAngle[fill=red!20](C,H,A) \tkzDrawSegment(H,C)\tkzLabelPoints(O) \tkzMarkSegment[color=gray,mark=s||](H,B)\tkzMarkSegment[color=gray,mark=s||](A,H) \end{tikzpicture} \end{minipage} \item \ \\ \begin{minipage}{0.70\linewidth} $TO = TA + AO = r + \frac{\sqrt{3}}{3} \times 2r = r \left( 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$ \end{minipage} \begin{minipage}{0.30\linewidth} \begin{tikzpicture}[scale=0.3] % fixed points \tkzDefPoint(0,0){A} \tkzDefPoint(4,1){B} \tkzDefTriangle[equilateral](A,B) \tkzGetPoint{C} % calculus \tkzDefTriangleCenter[centroid](A,B,C) \tkzGetPoint{O} \tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{I} \tkzDefMidPoint(C,B) \tkzGetPoint{J} \tkzInterLC(A,O)(A,I) \tkzGetPoints{M1}{M2} % drawings \tkzDrawPolygon[dashed](B,A,C) \tkzDrawPoints(A,B,C,O,M1) \tkzDrawCircle(A,I) \tkzDrawCircle(B,I) \tkzDrawCircle(C,J) \tkzDrawCircle[very thick](O,M1) % labelling \tkzLabelPoints[font=\scriptsize](O,A) \tkzLabelPoint[font=\scriptsize,left](M1){T} \draw (O) -- (M1); \end{tikzpicture} \end{minipage} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On suppose que $r_1 > r_2$. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $EO_1O_2$ \begin{align*} {EO_2}^2 + {EO_1}^2 &= {O_1O_2}^2 \\ \left( r_1 - r_2 \right)^2 + AB^2 &= \left( r_1 + r_2 \right)^2 \\ AB^2 &= (r_1+r_2)^2 - (r_1-r_2)^2 \\ AB^2 &= (r_1+r_2+r_1-r_2)(r_1+r_2-(r_1-r_2)) \\ AB^2 &= 2r_1\times 2r_2 \\ AB^2 &= 4r_1r_2 \end{align*} \item \begin{enumerate} \item \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzDefPoints{0/0/A,sqrt(24)/0/B,0/3/O1,sqrt(24)/2/O2} % Tracé \tkzDrawLine[add = 0.5 and 0.5](A,B) \tkzDrawPoints(A,B,O1,O2) \tkzDrawCircle(O1,A)\tkzDrawCircle(O2,B) % Caculs \tkzInterCC[R](O1,3.606 cm)(O2,2.606 cm)\tkzGetPoints{O4}{O} \tkzDrawCircle[R](O,0.606 cm) \tkzDefLine[orthogonal=through O](A,B) \tkzGetPoint{c} \tkzInterLL(A,B)(c,O)\tkzGetPoint{C} % Marquage \tkzDrawPoints(O,C) \tkzLabelPoints[below](A,B,C) \tkzLabelPoint[left](O1){$O_1$} \tkzLabelPoint[right](O2){$O_2$}\tkzLabelPoint[above](O){\tiny $O_3$} \tkzDrawSegments[](O1,O2 O1,O O,O2) \tkzDrawSegments[style=dashed](O1,A O2,B) \tkzDefPointBy[projection = onto O1--A](O) \tkzGetPoint{E1}\tkzLabelPoint[left](E1){$E_1$} \tkzDefPointBy[projection = onto O2--B](O) \tkzGetPoint{E2}\tkzLabelPoint[right](E2){$E_2$} \tkzDrawSegments[style=dashed](O,E1) \tkzDrawSegments[style=dashed](O,E2) \tkzMarkRightAngle[fill=red!20](O,E1,O1) \tkzMarkRightAngle[fill=red!20](O,E2,O2) \tkzDrawPoints(E1,E2) \end{tikzpicture} \end{center} En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $O_3O_2E_2$, on obtient : \begin{align*} {O_3O_2}^2 &= {O_3E_2}^2 + {E_2O_2}^2 \\ {O_3O_2}^2 &= CB^2 + (r_2 - r)^2 \\ CB^2 &= (r+r_2)^2 - (r_2-r)^2 \\ CB^2 &= \left( r + r_2 + r_2 - r \right)\left( r + r_2 - r_2 + r \right) \\ CB^2 &= 4r_2r \\ CB &= 2\sqrt{rr_2} \end{align*} De même, en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $E_1O_1O_3$ on obtient $AC = 2 \sqrt{rr_1}$. \\ Ainsi \begin{equation} AB = AC + CB = 2\sqrt{rr_1} + 2\sqrt{rr_2} = 2\sqrt{r} \left( \sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} \right)\label{eq:eq1} \end{equation} De plus, d'après la question précédente, \begin{equation} \label{eq:eq2} AB = \sqrt{4r_1r_2} \end{equation} En combinant les équations \Ref{eq:eq1} et \Ref{eq:eq2}, on obtient : \begin{align*} 2\sqrt{r} \left( \sqrt{r_1} + \sqrt{r_2} \right) &= \sqrt{4r_1r_2} \\ \sqrt{r} &= \frac{\sqrt{r_1r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}} \\ r &= \frac{r_1r_2}{r_1 + 2\sqrt{r_1r_2} + r_2} \end{align*} \item Voici des rayons qui conviennent : \begin{tabular}{ccc} \\ $r_1=4$& $r_2=4$& $r=1$\\ $r_1=8$& $r_2=8$& $r=2$\\ $r_1=12$& $r_2=12$& $r=3$\\ \end{tabular} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans la figure ci-dessous, le triangle $O_1CL$ est rectangle en $C$, on peut appliquer le théorème de Pythagore. \begin{align*} O_1L^2 &= CL^2 + O_1C^2\\ R^2 &= (R-a)^2 + \left( R - \frac{a}{2} \right)^2 \\ R^2 &= R^2 -2Ra + a^2 + R^2 - Ra + \frac{a^2}{4} \\ R^2 &= 2R^2 - 3Ra + \frac{3}{4}a^2 \\ 0 &= R^2 - 3Ra + \frac{3}{4}a^2 \end{align*} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] % Définitions % R = 3 , a=1.2 \tkzDefPoints{0/0/A,6/0/B,0/3/O1,6/3/O2} % Calculs % % Tracé \tkzDrawLine(A,B) \draw [dashed] (O1) -- (O2); \tkzDrawCircle(O1,A) \tkzDrawCircle(O2,B) % Marquage \tkzDrawPoints(A,B,O1,O2) \tkzLabelPoints[below](A,B) \tkzLabelPoint[left](O1){$O_1$} \tkzLabelPoint[right](O2){$O_2$} % Tracé du carré : abscisse = milieu de [AB] - a/2 \draw[thick,fill = gray!30] (2.4,0) rectangle (3.6,1.2); \draw (2.4,0.6) node[left]{$a$} ; \draw (2.4,1.2) node[left]{$L$} node{$\bullet$}; \draw (2.4,3) node[above]{$C$} node{$\bullet$}; \draw [dashed] (2.4,1.2) -- (O1) -- (2.4,3) -- cycle; % Marquage \tkzDefPoints{2.4/1.2/L,2.4/3/C} \tkzMarkRightAngle[fill=red!20,opacity=0.5](O1,C,L) \tkzDrawSegment(O1,A) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$} \tkzDrawSegment[dim={$R$,-2pt,transform shape}](O1,A) \tkzDrawSegment(O2,B) %\tkzLabelSegment[left](O1,A){$r_1$} \tkzDrawSegment[dim={$R$,-3pt,transform shape}](O2,B) \end{tikzpicture} \end{center} \item En considérant cette équation comme une équation du second degré d'inconnue $a$. \\ On calcule le discriminant : $\Delta = (3R)^2 - 4\times \frac{5}{4}\times R^2 = 4R^2 > 0$. Il y a donc deux solutions réelles : $a_1=\frac{3R-2R}{2\times\frac{5}{4}} = \frac{4R}{10}$ et $a_2=\frac{3R+2R}{2\times\frac{5}{4}} = 2R$. \\ Comme la solution géométrique nécessite que $a 0.1:\\ \hspace*{1cm}t $\leftarrow$ t+1\\ \hspace*{1cm}F $\leftarrow$ F $\times$ 0.9\\ Fin Tant que\\ \end{tcblisting} \end{center} \end{enumerate} \pagebreak[4] \textbf{Dans les questions suivantes, on se place à un instant $t$ fixe} \item Si plusieurs systèmes sont montés en série, la fiabilité du montage est égale au produit des fiabilités des systèmes qui le composent. Dans le montage de la figure \Ref{fig:2020.APNP.serie} , en notant $F_1$ la fiabilité du système $S_1$ et $F_2$ la fiabilité du système $S_2$, la fiabilité $F$ du système complet vaut $F = F_1 \times F_2$. \begin{figure}[h] \centering \begin{circuitikz}[european] \draw (0,0) to[R = $S_1$] (2,0) to[R = $S_1$] (4,0); \end{circuitikz} \caption{Montage en série} \label{fig:2020.APNP.serie} \end{figure} Si plusieurs systèmes sont montés en parallèle, la défaillance du montage est égale au produit des défaillances des systèmes qui le composent. Dans le montage de la figure \Ref{fig:2020.APNP.parallele} , en notant $D_1$ la défaillance du système $S_1$ et $D_2$ la défaillance du système $S_2$, la défaillance $D$ du système vaut $D= D_1 \times D_2$. \begin{figure}[!h] \centering \begin{circuitikz}[european] \draw (0,0) to[short] (1,0) to[short] (1,0.6) to[R = $S_1$] (3,0.6) to[short] (3,-0.6) to[R = $S_1$] (1,-0.6) to[short] (1,0.6) ; \draw (3,0) -- (4,0); \end{circuitikz} \caption{Montage en parallèle} \label{fig:2020.APNP.parallele} \end{figure} \begin{enumerate} \item Calculer la fiabilité d’un système avec deux composants électroniques en série de fiabilités respectives $0,8$ et $0,7$. \item Calculer la fiabilité d’un système avec deux composants électroniques en parallèle de fiabilité respective $0,8$ et $0,7$. \item Quel est le pourcentage d’augmentation de fiabilité d’un système avec deux composants identiques de fiabilité $0,9$ montés en parallèle par rapport à un seul composant de fiabilité $0,9$ ? \end{enumerate} \item \textit{Étude d'un montage}\\ Le montage de la figure \Ref{fig:2020.APNP.montage} ci-dessous est constitué de deux composants de type $C_1$ en parallèle montés en série avec deux composants de type $C_2$ montés également en parallèle. \begin{figure}[!h] \centering \begin{circuitikz}[european,scale=0.8] \draw (0,0) to[short] (1,0) to[short] (1,0.6) to[R = $C_1$] (3,0.6) to[short] (3,-0.6) to[R = $C_1$] (1,-0.6) to[short] (1,0.6) ; \draw (3,0) to[short] (4,0) to[short] (4,0.6) to[R = $C_2$] (6,0.6) to[short] (6,-0.6) to[R = $C_2$] (4,-0.6) to[short] (4,0) ; \draw (6,0) -- (7,0); \end{circuitikz} \caption{Montage à étudier} \label{fig:2020.APNP.montage} \end{figure} On admet que la fiabilité des composants de type $C_1$ à la $n$-ième centaine d'heure après la mise en route est $F_1=0,9^n$ et que la fiabilité des composants de type $C_2$ à la n-ième centaine d’heures après la mise en route est $F_2=0,8^n$. \begin{enumerate} \item Exprimer les défaillances en fonction de $n$ de chacun des systèmes en parallèle. \item Soit $F$ la fiabilité du montage. Déterminer $F$ en fonction de $n$. \item Au bout de combien d’heures, la fiabilité devient-elle inférieure à $0,5$ ? \item Afin d'augmenter la fiabilité du montage à long terme, on décide de remplacer les composants $C_2$ du montage par deux autres de même fiabilité $p$\\ Quelle valeur minimale à deux décimales doit avoir $p$ pour que la fiabilité du montage dépasse 0,5 pendant au moins mille heures de fonctionnement ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{Enonce} \Closesolutionfile{Cor} \clearpage \input{Corrige} \end{document} %%% Local Variables: %%% TeX-master: t %%% End: