\documentclass[11pt]{article}
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%Tapuscrit : Denis Vergès Denis.Verges@wanadoo.fr
%Correction: Paul Duprat  mathparadise@free.fr
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

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\begin{document}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique, comptabilité et finance d'entreprises, gestion des systèmes d'information}%tapez un titre
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{15 avril 2008}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Correction Baccalauréat STG Mercatique  Pondichéry \decofourright\\ 15 avril 2008}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} }\\

\noindent \textbf{I.}  On complète  l'arbre de probabilité :

\begin{center}\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{A}\taput{$0,15$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{E}\taput{$\red 0,7$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{E}}$}\tbput{$0,3$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{\text{A}}$}\tbput{$\red 0,85$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{E}\taput{$0,25$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{E}}$}\tbput{$\red 0,75$}
 		}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  $P(\text{A}\cap\text{E})=P(\text{A})\times P_{\text{A}}(\text{E})=0,15\times 0,7=0,105$\hfill
La réponse est \textbf{b.}
\item On a :
\vspace{-5mm}\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	P(\text{E})&=&P(\text{A}\cap\text{E})+P(\overline{\text{A}}\cap\text{E})\\
	P(\text{E})&=&P(\text{A})\times P_{\text{A}}(\text{E})+P(\overline{\text{A}})\times P_{\overline{\text{A}}}(\text{E})\\
	P(\text{E})&=&0,15\times 0,7+0,85\times 0,25\\
	P(\text{E})&=&0,317\:5
\end{array}$
\end{center}
\hfill La réponse est \textbf{c.}
\end{enumerate}
	
\noindent \textbf{II.} 
 
\begin{enumerate}
\item  Il faut bloquer l'adresse du taux, il faut donc entrer $=	C2*(1+\$B\$2/100)$\hfill La réponse est \textbf{a.}
\item Le capital, au bout de 7 année s'élève à 394,78 \euro. Les intér\^ets sont donc de 94,78 \euro

\hfill La réponse est \textbf{a.}
\end{enumerate}
\noindent \textbf{II.} On a:
\vspace{-5mm}\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
\text{e}^{x -3}& \leqslant &4\\
x -3& \leqslant &\ln(4)\\
x & \leqslant &3+\ln(4)
\end{array}$
\end{center}
\vspace{-6mm}\hfill La réponse est \textbf{c.}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} }
\begin{enumerate}
\item \emph{Voir graphique en fin d'exercice}


\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On a :
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
\overline{x}& = &\displaystyle \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^8x_k\\
            & = &\cdots\\
            & = &4,5
\end{array}$
\hspace{4cm}
$
\begin{array}{rcl}
\overline{y}& = &\displaystyle \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^8y_k\\
            & = &\cdots\\
            & = &\nombre{1806,25}
\end{array}$
\end{center}
Le point moyen a donc pour coordonnées G($~4,5~;~\nombre{1806,25}~$).

		\item  D'après la calculatrice, une équation de la droite ($\Delta$) est $y=44x+1608$
		\item  \emph{Voir graphique}.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item  D'après le graphique, le salaire moyen mensuel d'Hélène en 2010 sera d'environ \nombre{2090}~\euro. 
	
	\item  Son salaire en 2015 sera donné par $44\times 16 + \nombre{1608} = \nombre{2312}$, il n'atteindra pas \nombre{2400}~\euro.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(12,11.3)
%\psaxes{->}(0,0)(2.5,5.2)
\psgrid[gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray,subgriddiv=5,gridlabels=0](0,0)(0,0)(12,11) %papier millimétré
%\psaxes[Dy=100,dy=2,Dx=1,dx=1,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9,10)			%dessin des axes
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(12,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,11.3)
\multido{\i=0+2, \n=1600+100}{6}{%
   \uput[l](0,\i){\n}}
\multido{\i=1+1, \n=2000+1}{11}{%
   \uput[d](\i,0){\n}}  
\psdots[dotstyle=+](1,1)(2,2.5)(3,2.8)(4,3)(5,4.5)(6,5)(7,7)(8,7.2)

\psplot[plotstyle=curve,linecolor=blue]{0}{12}{0.8809 x mul 0.1607 add}

\psdots[dotstyle=*,linecolor=red,dotsize=4pt](4.5,4.125)
\uput[d](4.5,4.125){G}

\uput[d](11.5,10.3){($\Delta$)}

\psline[linecolor=white](0,9.85)(11,9.85)(11,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red]{<-}(0,9.85)(11,9.85)(11,0)
%\uput[l](0,1){\footnotesize $1000$} \uput[l](0,-1){\footnotesize$-1000$} 
%\uput[l](0,5){\footnotesize $5000$} 
%\uput[dl](7,-1){$\mathcal{E}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}\\

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}\\

\begin{center}
\psset{unit=0.5}\begin{pspicture*}(-3,-2)(21,15)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-2)(29,19)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=8](0,0)(-5,-2)(29,19)
\psline[linewidth=1.5pt](4,-2)(4,19)
\psline[linewidth=1.5pt](-5,5)(29,5)
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{29}{250 21 div 3 x mul 7 div sub}
%\psline[linewidth=1.5pt](-5,9.5714)(29,-0.5238)
\psline[linewidth=1.5pt](-2,19)(19,-2)
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=vlines, hatchcolor=blue, hatchangle=45 ]{%
\psline(4,-2)(4,19)
\psline(-5,19)(-5,-2)}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=hlines, hatchcolor=blue, hatchangle=30 ]{%
\psline(-5,5)(29,5)(29,-2)(-5,-2)}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=hlines, hatchcolor=red, hatchangle=60 ]{%
\psline(-2,19)(19,-2)(29,-2)(29,19)}
\pscustom[linestyle=none,fillstyle=hlines, hatchcolor=red, hatchangle=20 ]{%
\psline(-5,14.05)(29,-0.52)(29,19)(-5,19)}
\uput[d](-3,5){$d_{1}$} \uput[d](-3,13){$d_{2}$} \uput[d](-3,20){$d_{3}$} \uput[r](4,18){$d_{4}$} 
\uput[dl](0,0){O}
\psdot(6,10)\uput[ul](6,10){A} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\noindent \textbf{Partie B}\\
\begin{enumerate}
\item  
	Ils doivent avoir au moins 4 planches pour débutants donc
\begin{center}
    $x  \geqslant	4$
\end{center}
	Ils doivent avoir au moins 5 planches pour utilisateurs confirmés donc
\begin{center}
 $y  \geqslant	5$
\end{center}
	ils ne peuvent acheter au maximum que 17 planches donc
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	x+y&\leqslant&17\\y&\leqslant&-x+17
\end{array}$
\end{center}
Le budget maximum est de 25\:000~\euro donc
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	900x+2\:100y&\leqslant&25\:000\\
	2\:100y&\leqslant&-900x+25\:000\\
	y&\leqslant&\dfrac{-900}{2\:100}x+\dfrac{25\:000}{2\:100}\\[3mm]
	y&\leqslant&\dfrac{-3x}{7} + \dfrac{250}{21}
\end{array}$ 
\end{center}

\item  On peut remarquer que le point A de coordonnées $(6~;~10)$ ne se trouve pas dans le domaine non hachuré. En effet $900\times 6 + \nombre{2100} \times 10= \nombre{26400}$ ;  or le budget maximum est de \nombre{25000}~\euro. 

Le magasin ne peut donc pas  acheter 6 planches pour débutants et 10 planches pour utilisateurs confirmés.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le chiffre d'affaire horaire $R$ vaut 
\begin{center}
$R = 15x + 20y$
\end{center}
		\item Lorsque l'on recopie la formule vers la droite, il ne faut pas que la colonne  A contenant la valeur de $x$ soit modifiée. Il faut donc mettre un \$ devant le A mais il ne faut pas mettre de  \$ devant le B pour pouvoir changer de $y$. Lorsque l'on recopie la formule vers le bas, il ne faut pas que la ligne  1 contenant la valeur de $y$ soit modifiée. Il faut donc mettre un \$ devant le 1 mais il ne faut pas mettre de  \$ devant le 2 pour pouvoir changer de $x$. Il faut donc écrire la formule 3 : 15*\$A2+20*B\$1.
		
		\item On commence par éliminer les couples qui sont en dehors du domaine, puis on remarque que le chiffre d'affaire le plus grand correspond au couple $(9~;~8)$. Le chiffre d'affaire le plus grand sera obtenu avec 10 planches pour débutants et 6 planches pour utilisateurs confirmés et il sera de 295 \euro.
		
		\medskip
\begin{center}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
1&\backslashbox{$x$}{$y$}&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline
2&4&	160&  180&  200& 	220&	240&	260&	280\makebox[0cm][r]{\red -----}\\ \hline
3&5&  175&	195&	215&	235&	255&	275\makebox[0cm][r]{\red -----}&	295\makebox[0cm][r]{\red -----}\\ \hline
4&6&	190&	210&	230&	250&	270&	290\makebox[0cm][r]{\red -----}&	310\makebox[0cm][r]{\red -----}\\ \hline
5&7&	205&	225&	245&	265&	285\makebox[0cm][r]{\red -----}&	305\makebox[0cm][r]{\red -----}&	325\makebox[0cm][r]{\red -----}\\ \hline
6&8&	220&	240& 	260& 	280& 	300\makebox[0cm][r]{\red -----}&	 320&	340\makebox[0cm][r]{\red -----}\\ \hline
7&9&	235&	255&	275&	\fbox{\blue295}&	315\makebox[0cm][r]{\red -----}&	335\makebox[0cm][r]{\red -----}&	355\makebox[0cm][r]{\red -----}\\ \hline
8&10&250&	270&	290&	310\makebox[0cm][r]{\red -----}&	330\makebox[0cm][r]{\red -----}&	350\makebox[0cm][r]{\red -----}&	370\makebox[0cm][r]{\red -----}\\ \hline
9&11&265&	285&	305\makebox[0cm][r]{\red -----}& 	325\makebox[0cm][r]{\red -----}&	345\makebox[0cm][r]{\red -----}&	365\makebox[0cm][r]{\red -----}&	385\makebox[0cm][r]{\red -----}\\ \hline
10& 12&280&300\makebox[0cm][r]{\red -----}&	320\makebox[0cm][r]{\red -----}&	340\makebox[0cm][r]{\red -----}&	360\makebox[0cm][r]{\red -----}&	380\makebox[0cm][r]{\red -----}&	400\makebox[0cm][r]{\red -----}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} }\\

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On a $f'(x) =  \dfrac{2}{x+1}$ car la dérivée de la fonction $x\mapsto \ln(ax+b)$ est la fonction $x\mapsto \dfrac{a}{ax+b}$.
		
		Sur l'intervalle [0 ; 15], $x+1$ est positif ainsi que 2 donc $f'(x)$ est toujours positif donc $f$ est croissante.
		\item On a le tableau de variation suivant:
		\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) 
\psline(0,1.6)(6,1.6) \psline(0,2.3)(6,2.3) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.3){$x$} \uput[u](2.2,2.3){$0$} \uput[u](5.5,2.3){$15$}
\uput[u](1,1.6){$f'(x)$} 
\uput[u](4,1.6){$+$}
\uput[u](1, 0.5){$f(x)$} \uput[u](2.2,0){$1$} \uput[dl](6,1.6){\small $f(15)$} 
\psline{->}(2.5,0.3)(5.1,1.3)
\end{pspicture}

Avec $f(15)=2\ln(16)+1=8\ln(2)+1\approx 6,5$
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item  A l'aide du tableur de la calculatrice on obtient:\\
	
\noindent {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{16}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline
$f(x)$&1&2,4&3,2&3,8&4,2&4,6&4,9&5,2&5,4&5,6&5,8&6&6,1&6,3&6,4&6,5\\ \hline
\end{tabularx}}
\item \emph{Graphique}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(16,8)
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(16,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=8](0,0)(-1,-1)(16,8)
\psplot[linecolor=blue]{0}{15}{2 x 1 add ln mul 1 add }
%\psline[linewidth=1.5pt](-5,9.5714)(29,-0.5238)
\uput[u](14.5,6.4){$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=red]{0}{10}{0.8 x  mul}
\uput[u](9.5,7.7){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item \emph{Voir graphique}
\end{enumerate}
 
\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
\begin{enumerate}
\item  Lorsque l'entreprise vend $x$ pièces, la recette exprimée en milliers d'euros vaut $R(x)=0,8x$ 
\item   Le bénéfice est donné par la différence:
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	B(x)&=&R(x)-C(x)\\
	B(x)&=&0,8x-(2\ln (x + 1) +1)\\
	B(x)&=&0,8x-2\ln (x + 1) -1\\
	B(x)&=&0,8x-1-2\ln (x + 1)
\end{array}$ 
\end{center}
\item   La calculatrice nous donne $B(3)\approx -1,372$. Lorsque l'entreprise vend $3$ pièces, elle n'est pas bénéficiaire.

 La calculatrice nous donne $B(14)\approx 4,784$. Lorsque l'entreprise vend $14$ pièces, elle est   bénéficiaire de \nombre{4784}~\euro.

\item  Sur le graphique on remarque que la droite représentant la recette se trouve au-dessus de la courbe représentant les coûts de production lorsque $x\geqslant 7 $. Il faut donc que l'entreprise fabrique et vende au moins 7 pièces pour qu'elle soit  bénéficiaire.

\end{enumerate}


\end{document}