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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 14 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Calculatrice autorisée}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend $5$ questions indépendantes. Pour chacune d'elles, une seule des réponses proposées est exacte.

Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

L'inéquation $x^2 +x + 2 > 0$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}n'a pas de solution&\textbf{b.~~}a une seule solution&\textbf{c.~~}a pour ensemble de solutions l'intervalle [1~;~2]&\textbf{d.~~}a pour solution l'ensemble des
 nombres réels\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 2}

\medskip

Soient $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs tels que $\|\vect{u}\|= 3,\,\|\vect{v}\|= 2$ et $\vect{u} \cdot \vect{v} = - 1$ alors $\|\vect{u} + \vect{v}\|^2$ est égal à:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}11&\textbf{b.~~}13&\textbf{c.~~}15&\textbf{d.~~}25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 3}

\medskip

Soient $A$ et $B$ deux évènements d'un univers tels que $P_A(B) = 0,2$ et $P(A) = 0,5$.

 Alors la probabilité $P(A \cap B)$ est égale à :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}0,4&\textbf{b.~~}0,1&\textbf{c.~~}0,25&\textbf{d.~~}0,7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de terme initial $u_0 = 2$ et de raison $3$.

La somme S définie par $S = u_0 + u_1 +\ldots + u_{12}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}45&\textbf{b.~~}222&\textbf{c.~~}260&\textbf{d.~~}301\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par $f(x) = (2x - 5)^3$.

Une expression de la dérivée de $f$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$3(2x- 5)^2$&\textbf{b.~~}$6(2x- 5)^2$&\textbf{c.~~}$2(2x- 5)^2$&\textbf{d.~~}$2^3$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

La courbe ci-dessous représente dans un repère du plan une fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

Les points G$(-2~;~5)$ et H $(0~;~1)$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $f$ et les tangentes à la courbe aux points G et H sont horizontales.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm,comma=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3)(1.5,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-2.9)(1.5,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{1}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 1 add}
\psplotTangent[arrows=<->]{0}{0.75}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 1 add}
\psplotTangent[arrows=<->]{-2}{0.75}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 1 add}
\uput[dr](0,1){H}\uput[u](-2,5){G}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0),\, f(-2), f'(0)$ et $f'( -2)$.
\item  On admet que pour tout réel $x$\,, $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :

\[f(x) = ax^3 +bx^2 +cx +d,\]

où \: $a,\, b,\, c$ \: et\: $d$\: désignent des nombres réels 

	\begin{enumerate}
		\item Donner une expression de $f'(x)$.
		\item Déterminer les valeurs des réels $c$ et $d$.
		\item Déterminer deux équations que vérifient les réels $a$ et $b$.

		\item En déduire que $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de \np{1000}~\degres C.
À la fin de la cuisson, on éteint le four et commence alors la phase de refroidissement. Pour un nombre entier naturel $n$,on note $T_n$ la température en degré Celsius du four au bout de $n$ heures écoulées à partir de l'instant où il a été éteint. 

On a donc $T_0 = \np{1000}$.

La température $T_n$ est calculée grâce à l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$T \gets \np{1000}$\\
Pour $i$ allant de 1 à $n$\\
\quad $T \gets  0,82\times T + 3,6$\\
Fin pour\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la température du four après une heure de refroidissement ?
\item Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$ ;
\item Déterminer la température du four arrondie à l'unité après 4 heures de refroidissement.
\item La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa
température est inférieure à 70~\degres C. Afin de déterminer le nombre d'heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque, on définit une fonction \og froid \fg{} en langage Python.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c l|}\hline
1&\texttt{def froid() :~\quad~}\\
2&\quad\texttt{T= \np{1000}}\\
3&\quad\texttt{n=0 }\\
4&\quad\texttt{while \ldots}\\
5&\qquad \texttt{T= \ldots}\\
6 &\qquad \texttt{n=n+1} \\
7&\quad\texttt{return n}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Recopier et compléter les instructions 4 et 5.
\item Déterminer le nombre d'heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

On considère les points A$(-3~;~1)$, B$(3~;~5)$ et C$(7~;~1)$ dans ce repère.

Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC et le rayon de ce cercle.

On rappelle que le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets de ce triangle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C dans le plan puis construire le cercle circonscrit au triangle ABC.
\item Vérifier que la droite $\Delta$ d'équation $3x + 2y - 6 = 0$ est la médiatrice du segment [AB]. 
\item Déterminer les coordonnées du point B$'$, milieu du segment [AC].
\item Déterminer les coordonnées du point I, centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
\item Calculer une valeur exacte du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
\end{enumerate}
\end{document}