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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 16}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 16 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Ce QCM comprend 5 questions.}

\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.}

\emph{Les questions sont indépendantes.}

\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la
lettre correspondante à la réponse choisie.}

\emph{Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des
recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.}

\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question
sans réponse n’apporte ni ne retire de point.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip 

EFG est un triangle tel que EF = 8, FG = 5 et $\widehat{\text{EFG}} = \dfrac{3\pi}{4}$. 

Alors $\vv{\text{FE}}\cdot \vv{\text{FG}}$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $20\sqrt{2}$ &\textbf{b.~~} $-20\sqrt{2}$&\textbf{c.~~}$20\sqrt{3}$& \textbf{d.~~}  $-20\sqrt{3}$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 

Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe représentative d’une fonction $f$ et
sa tangente au point A d’abscisse 0.

\begin{center}\psset{unit=0.8cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-3,-2)(4.7,4.3)
\multido{\n=-2+1}{7}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-1.6)(\n,4.1)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](-2.8,\n)(4.2,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-2.9,-1.9)(4.2,4.3)
\def\Func{x neg 2 add }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{3.4}{\Func}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.19}{4}{ x 2 add 2.71828 x exp div}
\psdot[dotstyle=+,dotscale=1.9,linecolor=green, dotangle=45](0,2)
\uput[ur](0,2){A}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. On a :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(0) = 2$ &\textbf{b.~~} $f'(0) = -1$&\textbf{c.~~}$f'(2) = -1$& \textbf{d.~~} $f'(-2) = 0$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip 

On se place dans un repère orthonormé. Une équation du cercle de centre B$(2~;~3)$
et de rayon 4 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$ &\textbf{c.~~} $(x -2)^2 + (y - 3)^2 = 16$\\
\textbf{b.~~}$(x- 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$& \textbf{d.~~} $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$.\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

On se place dans un repère orthonormé du plan. On a tracé ci-dessous la courbe
représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-3.9,-3.75)(4.7,4.6)
\multido{\n=-3+1}{8}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-3.5)(\n,3.7)}
\multido{\n=-3+1}{7}{\psline[linewidth=0.45pt](-3.4,\n)(4.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-3.4,-3.5)(4.4,3.7)
\def\Func{x 2 add x 3 sub mul 0.5 mul }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.85pt,linecolor=ballblue]{-3.2}{4.1}{\Func}
\end{pspicture}
\end{center}

L’équation $f(x) = -3$ a pour solution(s) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $3$ &\textbf{b.~~} $0$&\textbf{c.~~}$-3$& \textbf{d.~~} $0$ et $1$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 


Un vecteur normal à la droite d’équation cartésienne $-3x -2y + 5 = 0$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $ \vv{n}\ \dbinom{2}{-3}$ &\textbf{b.~~} $\vv{n}\ \dbinom{3}{-2}$&\textbf{c.~~}$\vv{n}\ \dbinom{-3}{2} $& \textbf{d.~~} $\vv{n}\ \dbinom{3}{2}$.
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\vspace{0.3cm}

On considère la fonction polynôme du second degré $P$ définie sur $ \R $ par :

\[P(x)=x^2-7x+6\]

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l’équation $P(x)= 0$.
\item Étudier le signe de $P$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction polynôme du troisième degré $f$ définie sur $\R$ par :
\[f(x) = 2x^3 -21x^2 + 36x\]
\begin{enumerate}
\item  Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que $f'(x) = 6P(x)$
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\item On se place dans un repère du plan. Déterminer une équation de la tangente
T \end{enumerate}à la courbe représentative de $f$ au point B d’abscisse 3.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

Une chaîne de salons de coiffure propose à ses \np{5000} clients qui viennent pour une
coupe deux prestations supplémentaires cumulables :

\begin{itemize}
\item  une coloration naturelle à base de plantes appelée \og couleur-soin \fg,
\item des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, appelées \og effet
coup de soleil \fg.
\end{itemize}

Il apparaît que \np{2000} clients demandent une \og couleur-soin \fg. Parmi ceux qui ne
veulent pas de \og couleur soin \fg, $900$ demandent un \og effet coup de soleil \fg. Par
ailleurs, $650$ clients demandent une \og couleur soin \fg et un \og effet coup de soleil \fg.

On notera $C$ l’évènement \og le client souhaite une \og couleur-soin \fg.

On notera $E$ l’évènement \og le client souhaite un \og effet coup de soleil \fg.

\begin{enumerate}
\item Recopier sur votre copie et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{0.75cm}|}
\hline
				& $C$ 	&$\overline{C}$	& Total\\\hline
$E$				&		& $900$			&\\\hline
$\overline{E}$ 	&		&				&\\\hline
Total			&		&				&\np{5000}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\smallskip

\item On interroge un client au hasard parmi les \np{5000} clients.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : \og couleur soin \fg{}
et \og effet coup de soleil \fg ?
		\item Calculer $P_E\left(\overline{C}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On a des prix différents suivant la prestation fournie. On appelle $X$ le prix payé
en euros par chaque client.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.85cm}|m{2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
&Coupe seule&Coupe avec \og couleur soin \fg &Coupe avec \og effet coup desoleil \fg &\small Coupe avec\og couleur soin \fg{} et \og effet coup de soleil \fg \\\hline
Valeurs de $k$ en \euro 	&\centering  20	& 50 	&65 	&80\\\hline
$P(X = k)$					&		&		& 0,18	&0,13\\
\hline
\end{tabularx}

\smallskip

Après avoir recopié et complété le tableau, calculer l’espérance de $X$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.

Au printemps 2019, il achète $300$ colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Il consulte les services spécialisés de la région et s’attend à perdre 8\,\% des colonies
chaque hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il prévoit d’installer 50
nouvelles colonies chaque printemps, à partir de l’année suivante.

\begin{enumerate}
\item  On donne le programme suivant écrit en langage Python :
\begin{python}
def algo( ) :
	C = 300
	N = 0
	while C < 400 :
		C = C*0.92+50
		N = N+1
	return(N)
\end{python}

	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter en ajoutant des colonnes, le tableau ci-dessous qui
reproduit l’avancement du programme pas à pas :

Les valeurs seront arrondies à l’entier le plus proche.

\smallskip

\begin{tabular}[]{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}m{1.92cm}|}m{1.92cm}}
\hline
C 					&300	& 326	& \dotfill 	& \\\hline
\og C < 400 \fg{} ?	& oui	& oui 	& \dotfill	&\\\hline
\end{tabular}
\smallskip

		\item Quelle est la valeur de N renvoyée par le programme ?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Le nombre de colonies est modélisée par une suite. On note $C_n$ une estimation du
nombre de colonies au printemps de l’année 2019 + $n$.

Ainsi $C_0 = 300$ est le nombre de colonies au printemps 2019.

On admet que pour tout entier naturel $n$, on a :

\[C_{n+1} = 0,92C_n + 50\]

\begin{enumerate}[resume]
\item La suite $\left(C_n\right)$, est-elle arithmétique ? La suite $\left(C_n\right)$ est-elle géométrique ?
\item On admet que $C_n = 625 - 325 \times 0,92^n $ pour tout entier naturel $n$.

L’apiculteur pourra-t-il atteindre les $700$ colonies ?
\end{enumerate}
\end{document}