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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 18}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 18\hspace{2em} mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). 

Les  questions sont indépendantes.

Pour chacune des cinq questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la
réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches
au brouillon pour aider à déterminer la réponse.

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $p$ une probabilité sur un univers $\Omega$ et $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que
$p(A) = 0,5$ et $p(B) = 0,2$.

Alors $p(A\cup B)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0,1$ &\textbf{b.~~} $0,7$&\textbf{c.~~}$0,6$& \textbf{d.~~}On ne peut pas savoir.
\end{tabularx}
\end{center}

\item La valeur arrondie au centième de $1 + 1,2 + 1,2^2 + 1,2^3 + \dots + 1,2^{10}$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $3,27$ &\textbf{b.~~} $25,96$&\textbf{c.~~}$26,96$& \textbf{d.~~} $32,15$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f(x) =\dfrac{x}{\e^x}$

Pour tout réel $x$, $f(x)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f(x) = \dfrac{\e^{-x}}{-x}$ &\textbf{b.~~} $f(x) = x\e^{-x}$&\textbf{c.~~}$f(x) = -x\e^{-x}$& \textbf{d.~~} $f(x) = \dfrac{\e^{-x}}{x}$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = (2x - 5)\e^x$. On admet que $g$ est dérivable sur $\R$
et on note $g'$ sa fonction dérivée.

Alors pour tout réel $x$, $g'(x)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(2x -3)\e^x$ &\textbf{b.~~} $(-2x + 7)\e^x$&\textbf{c.~~}$2\e^x$& \textbf{d.~~} $-5\e^x$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Le nombre $\dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $ -1 $ &\textbf{b.~~} $\e^{-\dfrac{15}{2}}$&\textbf{c.~~}$ \dfrac{1}{\e^{4}}$& \textbf{d.~~} $\dfrac{3 \e^{-5}}{2} $.
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}
  
\medskip

Une banque propose un placement. Le compte est rémunéré et rapporte 5\,\% par an. La banque
prend des frais de gestion qui se montent à 12 euros par an.

Ainsi, chaque année la somme sur le compte augmente de 5\,\% puis la banque prélève 12 euros.

Noémie place la somme de \np{1000} euros dans cette banque.

On appelle $u_n$ la somme disponible sur le compte en banque de Noémie après $n$ années, où
$n$ désigne un entier naturel.

On a donc $u_0 = \np{1000}$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1} = 1,05 u_n-12$

\begin{enumerate}
\item  Avec un tableur on a calculé les premiers termes de la suite
$\left(u_n\right)$ :

\medskip

\begin{minipage}[]{0.425\textwidth}
\begin{enumerate}
\item Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule B3 avant de
l’étirer pour obtenir ces résultats ?
\item En utilisant les valeurs calculées de la suite, indiquer à
Noémie combien de temps elle doit attendre pour que son
placement lui rapporte 20\,\%.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hspace{2cm}
\begin{minipage}[]{8.97cm}
\begin{tabularx}{0.445\textwidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|*{2}{>{\raggedleft \arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{lightgray}&\centering  A& \centering B\tabularnewline\hline
1&\raggedright n&\raggedright u(n)\tabularnewline\hline
2&0&\np{1000}\\\hline
3&1&\np{1038.00}\\\hline
4&2&\np{1077.90}\\\hline
5&3&\np{1119.80}\\\hline
6&4&\np{1163.78}\\\hline
7&5&\np{1209.97}\\\hline
8&6&\np{1258.47}\\\hline
9&7&\np{1309.40}\\\hline
10&8&\np{1362.87}\\\hline
11&9&\np{1419.01}\\\hline
12&10&\np{1477.96}\\\hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

\end{enumerate}

\medskip

On pose $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n- 240$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,05$.
\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de l’entier $n$.
\item Calculer à partir de cette dernière formule la somme disponible sur le compte en banque de
Noémie après 20 ans de placement.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}
  
\medskip

\emph{Dans cet exercice toutes les probabilités seront données sous forme décimale, arrondie au
millième.}
\medskip


Une entreprise récupère des smartphones endommagés, les répare et les reconditionne afin de
les revendre à prix réduit.

\begin{itemize}
\item  45\,\% des smartphones qu’elle récupère ont un écran cassé ; 
\item  parmi les smartphones ayant un écran cassé, 30\,\% ont également une batterie
défectueuse ;
 \item par contre, seulement 20\,\% des smartphones ayant un écran non cassé ont une batterie
défectueuse.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Un technicien chargé de réparer et reconditionner les smartphones de l’entreprise prend un
smartphone au hasard dans le stock. On note :

\begin{itemize}
\item $E$ l’évènement : \og Le smartphone choisi a un écran cassé \fg.
\item $B$ l’évènement : \og Le smartphone choisi a une batterie défectueuse \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation décrite ci-dessus par un arbre pondéré.
\item Démontrer que la probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est
égale à $0,245$.
\item Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, quelle est la probabilité
qu’il ait un écran cassé ?
\end{enumerate}
\item L’entreprise dépense 20 \euro{} pour réparer et reconditionner chaque smartphone qu’elle
 récupère. Si l’écran est cassé, elle dépense 30 \euro{} supplémentaires, et si la batterie est
défectueuse, elle dépense 40 \euro{} supplémentaires.

On note $X$ la variable aléatoire égale au coût total de réparation et reconditionnement d’un
smartphone choisi au hasard dans le stock.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter sur la copie (aucune justification n’est attendue) le tableau
suivant pour donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
 $x_i$		&20		&50			&$\cdots$	&$\cdots$\\ \hline
 $p(X=x_i)$	&0,44	&$\cdots$  	&$\cdots$ 	&$\cdots$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item L’entreprise doit réparer et reconditionner $500$ smartphones. Combien doit-elle
s’attendre à dépenser ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

On donne ci-dessous les représentations graphiques respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ l’ensemble des nombres réels.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(-8,-13)(5,35)
\multido{\n=-7+1}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-12.5)(\n,32.6)}
\multido{\n=-12+1}{45}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-7,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=2]{->}(0,0)(-7,-12.5)(4,33)
\uput[ur](0.2,0.5){O}
\def\Func{x x x 3 add mul 9 sub mul 1 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5.2}{3.2}{\Func}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-5.2}{3.2}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 9 x mul sub 1 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{1.21}{x x 10 mul 8 add mul 8 add}
\uput[ul](-4.2,16){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[ur](1.2,30){\red $\mathcal{C}_g$}

\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 1.\]
On admet qu’elle est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ [\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{désigne}] sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ en fonction du réel $x$.

En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
		\item Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $-1$.
	\end{enumerate}
\item La fonction $g$ est une fonction polynôme du second degré, il existe donc trois réels $a$, $b$ et $c$
tels que : $g(x) = ax^2 + bx + c$ pour tout réel $x$ . On note $\Delta$ son discriminant.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l’aide du graphique, le signe de $a$ et le signe de $\Delta$.
		\item La fonction $g$ est définie, pour tout réel $x$, par $g(x) = 10x^2 + 8x + 8$.

Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$  ont un point commun d’abscisse $-1$ et qu’en ce
point elles ont la même tangente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}