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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 19}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 19 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}
  
\medskip

Ce QCM comprend cinq questions.
 Pour chacune des questions, une seule des quatre
réponses proposées est correcte. 

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches
au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans
réponse n’apporte, ni ne retire aucun point.

\medskip
Question 1
\medskip 


On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2 +6x-8$.

 Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f(x)= 2( x - 4)(x +1)$ &\textbf{b.~~} $f(x)= (2x+8)(2x-2) $\\
\textbf{c.~~}$f(x)= 2(x+4)(x-1) $& \textbf{d.~~} $ f(x)= 2(x+3)(x-2)$.
\end{tabularx}

\medskip
Question 2
\medskip 

Pour tout réel $x$, $\dfrac{(\e^x)^2}{\e^{-x}}$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\e^{x^2+x}$ &\textbf{b.~~} $\e^{3x} $&\textbf{c.~~}$\e^2 $& \textbf{d.~~} $\e^{-2} $.
\end{tabularx}

 \medskip
Question 3
 \medskip 

 Dans le plan muni d’un repère, soit  $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$
 par $g(x)=\e^x $. L’équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse 0 est :
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y=-x-1 $ &\textbf{b.~~} $y=-x+1 $&\textbf{c.~~}$ y=x+1$& \textbf{d.~~} $ y=x$.
\end{tabularx}

 \medskip
 Question 4
 \medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (-x + 1)\e^x$.
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Parmi les propositions suivantes, laquelle est
juste ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x)=-x\e^x $ &\textbf{b.~~} $f'(x)=(x-2)\e^x $\\\textbf{c.~~}$f'(x)=(-x+2)\e^x $& \textbf{d.~~} $f'(x)= x\e^{-x}$.
\end{tabularx}

\medskip
Question 5
\medskip 

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère la courbe représentative d’une fonction~$f$ définie et dérivable sur $\R$.

\begin{center}
\psset{labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false, labelsep=0.1pt,arrowsize=2pt 2}
\begin{pspicture}(-4.5,-1)(5.5,8.5)
\multido{\n=-4.2+0.2}{48}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,-0.8)(\n,7.8)}
\multido{\n=-0.8+0.2}{44}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](-4.4,\n)(5.4,\n)}
\multido{\n=-4+1}{10}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-0.8)(\n,7.8)}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.45pt](-4.4,\n)(5.4,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-4.4,-0.8)(5.4,8)\uput[dl](-0.1,-0.1){O}
%\pscurve[linecolor=blue,linewidth=0.7pt](-3,0)(-2.8,3)(-2.6,5)(-2.5,6)(-2,7.4)(-1,5.4)(-0.4,4)(0,3)(0.6,2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{5}{x 3 add 2.71828 x exp div}
\psline[linecolor=violet, linewidth=0.8pt,]{<->}(-2.4,7.4)(-1.6,7.4)
\psline[linecolor=violet, linewidth=0.8pt,]{<->}(-1,5)(1,1)
\uput[ur](-4,6){\red $y=f(x)$}\uput[dl](-1,5){T}
\end{pspicture}
\end{center}
Parmi les propositions suivantes, laquelle n’est pas juste ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(-2)=0 $ &\textbf{b.~~} $f'(3)=-2 $&\textbf{c.~~}$f(0)=3 $& \textbf{d.~~} $f'(0)=-2 $.
\end{tabularx}


\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}
  
\medskip

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse.

La première injection est de \np[ml]{10}, puis toutes les heures on lui en injecte \np[ml]{1} .

On étudie l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang en prenant le modèle suivant :

\begin{itemize}
\item  on estime que 20\,\% de la quantité de médicament présente dans le sang est éliminée chaque heure ;
 
 \item pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la quantité de médicament en ml présente dans le sang au bout de $n$ heures.
\end{itemize}
Ainsi, $U_0=10$.
\begin{enumerate}
\item  Justifier que $U_1=9$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=0,8 U_{n}+1$.

On donne ci-dessous la représentation graphique de la suite $\left(U_n\right)$ :

\psset{xunit=0.10cm,yunit=0.7cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false,dotstyle=Mul}
\begin{pspicture}(-5.26,-1)(112,12.6)
%  \multido{\n=-4.2+0.2}{33}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-2)(\n,2.4)}
%  \multido{\n=-2.2+0.2}{24}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-4.4,\n)(2.2,\n)}
%   \multido{\n=-4+1}{7}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-2)(\n,2.4)}
%  \multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.45pt](-4.4,\n)(2.2,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=10]{->}(0,0)(-5,-0.5)(110,12)
\def\Func{0.8 x exp 5 mul 5 add }
\psplot[plotpoints=100, plotstyle=dots,dotsize=3pt,linecolor=red]{0}{100}{\Func}
\end{pspicture}

\item Conjecturer la limite de la suite $(U_n)$.

On considère l’algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
$U\leftarrow 10$\\
$N\leftarrow 0$\\
Tant que $U > 5,1$ faire\\
\hspace{1.5em}$U\leftarrow 0,8*U+1$\\
\hspace{1.5em}$N\leftarrow N+1$\\
Fin du tant que\\
Afficher $N$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item À quoi sert cet algorithme ?

\item À l’aide de l’extrait du tableau de valeurs de la suite $\left(U_n\right)$ donné ci-dessous, donner la valeur de $N$ à l’issue de l’exécution de cet algorithme.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
$n$&8&9&10&11&12&13&14\\\hline
$U_n$&\np{5,838861}&\np{5,671089}&\np{5,536871}&\np{5,429497}&\np{5,343597}&\np{5,274878}&\np{5,219902}\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
$n$&15&16&17&18&19&20&21 \\\hline
$U_n$&\np{5,175922}&\np{5,140737}&\np{5,11259}&\np{5,090072}&\np{5,072058}&\np{5,057646}&\np{5,046117} \\\hline
 \end{tabularx}
 
\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
$n$&22&23&24&25&26&27&28\\
 \hline
$U_n$&\np{5,036893}&\np{5,029515}&\np{5,023612}&\np{5,018889}&\np{5,015112}&\np{5,012089}&\np{5,009671}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill (5 points)}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2~;~2]$ par 

\[f(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x + 3\]

Soit $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le repère suivant.

\psset{xunit=2.75cm,yunit=0.4cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-2.5,-4)(2.4,24)
\multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,-3)(\n,22)}
\multido{\n=-2+2}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](-2.2,\n)(2.3,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2.2,-3)(2.5,23.4)
\def\Func{x x x 1 add mul  1 sub 2 mul mul 3 add }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{2}{\Func}
\end{pspicture}
\begin{enumerate}
\item  On considère la droite $d$ d’équation $y = 2x+3$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que déterminer les abscisses des points d’intersection entre la droite $d$ et la courbe $\mathcal{C}$ revient à résoudre l’équation $2x(x^2+x-2)=0$ sur l’intervalle $[-2~;~2]$.
\item Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre $d$ et $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\item On considère la droite $d'$ d'équation $y=2x+a$ où $a$ est un nombre réel.

À l’aide du graphique, donner une valeur de $a$ pour laquelle la droite $d'$ et la courbe $\mathcal{C}$ ont un seul point d’intersection.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-2~;~2]$, \[f'(x)=6\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right).\]
\item Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[- 2~;~2]$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}
  
\medskip

Une résidence de vacances propose uniquement deux formules :

\begin{itemize}
\item la formule \og pension complète \fg{} dans laquelle 3 repas par jour sont fournis ;
\item la formule \og demi-pension \fg{} dans laquelle sont fournis uniquement le petit déjeuner et le dîner.
\end{itemize}
Pour l’année 2018, 65\,\% des clients ont choisi la pension complète ; les autres ont choisi la formule \og demi-pension \fg.

Parmi les clients qui ont choisi la demi-pension, 30\,\% ont réservé l’option \og ménage \fg{} en fin de semaine.

De plus, 70\,\% des clients qui ont choisi la pension complète ont réservé l’option \og ménage\fg.

On choisit un client au hasard parmi ceux de l’année 2018 et l’on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item C : le client a choisi la formule \og pension complète \fg{} ;
\item M : le client a choisi l’option \og ménage \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~~}\taput{$\np{0.65}$}}
	{
	\TR{$M$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$M$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}
\item Calculer $p(C\cap M)$.
\item Montrer que la probabilité que le client ait réservé l’option \og ménage\fg{} est égale à $0,56$.
\item Calculer la probabilité que le client ait choisi la formule \og pension complète \fg{} sachant qu’il a réservé l’option \og ménage\fg.
\item Voici la grille de tarifs de la résidence de vacances pour l’année 2018:

\begin{center}\begin{tabular}[]{|lr|}
\hline
Une semaine de pension complète&800~\euro\\
Une semaine de demi-pension&650~\euro\\
Option  \og ménage \fg&50~\euro\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On note $X$ la variable aléatoire égale au montant payé par un client de 2018.

Calculer $p(X = 850)$.
\end{enumerate}
\end{document}