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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 21}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 21 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). 

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la
réponse exacte.

\textbf{Aucune justification n’est demandée.}

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip 


$\left(u_n\right)$ est la suite arithmétique telle que $u_4 = 3$ et $u_{10} = 18$. On peut affirmer que :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $ u_0 = 7$ &\textbf{b.~~}$u_7 = 20,5$&\textbf{c.~~}$u_{12} = 23$& \textbf{d.~~}$u_{14} = -28$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 

$2 + 3 + 4 + \dots + 999 + \np{1000}$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\np{500500}$ &\textbf{b.~~} $\np{498999}$&\textbf{c.~~}$\np{499000}$& \textbf{d.~~} $\np{500499}$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip


$\left(v_n\right)$ est la suite géométrique de raison $0,3$ telle que $v_0 = -3$.

On conjecture que la suite $\left(v_n\right)$ a pour limite : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0$ &\textbf{b.~~} $+\infty$&\textbf{c.~~}$-\infty$& \textbf{d.~~} $-3$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = -2(x + 2)^2 - 3$. On peut affirmer qu’elle est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}décroissante sur $]-\infty~;~+\infty[$&\textbf{c.~~}croissante sur $]-\infty~;~2[$\\
\textbf{b.~~}décroissante sur $]-2~;~+\infty[$&\textbf{d.~~}décroissante sur $]-3~;~+\infty[$ .\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question  5}

\medskip 

L’ensemble des solutions de l’inéquation $x^2 -5x + 6 < 0 $ est

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $ ]-\infty~;~2[ \cup ]3~;~+\infty[$ &\textbf{b.~~}$]-\infty~;~-1[ \cup ]6~;~+\infty[ $ &\textbf{c.~~}$]2~;~3[$& \textbf{d.~~}$ ]-1~;~6[$ .
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces en acier, toutes identiques, pour l’industrie
aéronautique.

Ces pièces sont coulées dans des moules à la sortie du four. Elles sont stockées dans un
entrepôt dont la température ambiante est maintenue à 25\textcelsius.

Ces pièces peuvent être modelées dès que leur température devient inférieure ou égale à
600\textcelsius{} et on peut les travailler tant que leur température reste supérieure ou égale à 500\textcelsius.

La température de ces pièces varie en fonction du temps.

On admet que la température en degré Celsius de ces pièces peut être modélisée par la
fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par :
\[f(t) = \np{1 375}\e^{-0,075t} + 25,\]
où $t$ correspond au temps, exprimé en heures, mesuré après la sortie du four.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la température des pièces à la sortie du four.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.

 Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?
\item Les pièces peuvent-elles être modelées 10 heures après la sortie du four ? Après 14 heures ?
\item On souhaite déterminer le temps minimum d’attente en heures après la sortie du four avant
de pouvoir modeler les pièces.

\begin{enumerate}
\item  Compléter l’algorithme donné en \textbf{annexe 1}, qui est \textbf{à rendre avec la copie}, pour qu’il
renvoie ce temps minimum d’attente en heure (arrondi par excès à 0,1 près).
\item Déterminer ce temps minimum d’attente. On arrondira au dixième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

Dans le plan muni d’un repère orthonormé \Oij, on considère les points A$(4~;~-1)$,
B$(3~;~4)$ et \mbox{C$(-1~;~1)$}.

\begin{enumerate}
\item Calculer le produit scalaire $\vv{\text{AB}}\cdot \vv{\text{AC}}$
\item \begin{enumerate}
\item Soit D le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB), justifier que
$\vv{\text{AB}}\cdot\vv{\text{AD}} = \vv{\text{AB}}\cdot \vv{\text{AC}}$ .
\item En déduire la longueur AD.
\end{enumerate}
\item Déterminer la hauteur du triangle ABC issue de C.
\item Calculer l’aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4\hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise de \np{1000} employés est organisée en 3 services \og A \fg, \og B \fg{} et \og C \fg{} d’effectifs
respectifs $450$, $230$ et $320$ employés. Une enquête effectuée auprès de tous les employés
sur leur temps de parcours quotidien entre leur domicile et l’entreprise a montré que :

\begin{itemize}
\item 40\,\% des employés du service \og A \fg{} résident à moins de 30 minutes de l’entreprise ;
\item 20\,\% des employés du service \og B \fg{} résident à moins de 30 minutes de l’entreprise ;
\item 80\,\% des employés du service \og C \fg{} résident à moins de 30 minutes de l’entreprise.
\end{itemize}

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les évènements
suivants :

\begin{itemize}
\item $A$ : l’employé fait partie du service \og A \fg{} ;
\item $B$ : l’employé fait partie du service \og B \fg{} ;
\item $C$ : l’employé fait partie du service \og C \fg{} ;
\item $T$ : l’employé réside à moins de $30$~minutes de l’entreprise.
\end{itemize}
On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, la probabilité d’un évènement $E$ est notée
$p(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $p_F(E)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $p(A) = 0,45$ puis donner $p_A(T)$.
\item Compléter l’arbre pondéré donné en \textbf{annexe 2} qui sera \textbf{à rendre avec la copie}.
\item Déterminer la probabilité que l'employé choisi soit du service \og A \fg et qu’il réside à moins de
30 minutes de son lieu de travail.
\item Montrer que $p(T) = 0,482$.
\item Sachant qu'un employé de l’entreprise réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail,
déterminer la probabilité qu'il fasse partie du service \og C \fg. Arrondir à $10^{-3}$ près.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{{\Large \textsc{Annexes}} (à rendre avec la copie)}

\vspace{4cm}

\textbf{\textsc{Annexe} 1 – \textsc{exercice 2}}

\medskip

\begin{tabular}[]{l}
from math import exp\\
def f(t) :\\
\phantom{xxxx}return 1375*exp (-0.075 t)+25\\
def seuil(()\\
\phantom{xxxx}t=\dotfill\\\
\phantom{xxxx}temperature =\dotfill\\
\phantom{xxxx}while temperature >=\dotfill\\
\phantom{xxxxxx}t=t+0.1\\
\phantom{xxxxxx}temperature =\dotfill\\
\phantom{xxxx}return t\\
\end{tabular}

\vspace{4cm}

\textbf{\textsc{Annexe} 2 – \textsc{exercice 4}}

\vspace{1.25cm}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.75cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{$\np{0.45}$}}
	{
	\TR{$T$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$T$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$C$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$T$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$\dots$}
	}	
}	
\end{center}
\end{document}