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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale }}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 22  -mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.}

\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.}

\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\emph{ \textbf{Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches} au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.}

\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. \textbf{Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point}.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Sur la figure ci-dessous, nous avons tracé dans un repère orthonormé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse 4. Cette tangente est représentée par la droite $\mathcal{D}$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .

\begin{center}
\psset{labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.8)(6,4.5)
\multido{\n=-2+1}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-3.5)(\n,4.2)}
\multido{\n=-3+1}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-2.5,\n)(5.3,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,]{->}(0,0)(-2.9,-3)(5.5,4.4)
\psdot[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](4,-1)
\uput[ur](4,-1){A} 
\psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{-1}{5}{x 2 sub 2 exp 0.5 neg  mul 1 add}
\psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=red,plotpoints=2000]{1.32}{5}{x 2 neg   mul 7 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0.7){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](2.25,3.5){\red $\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Le réel $f'(4)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $-1$ &\textbf{b.~~} $-2$&\textbf{c.~~} $7$& \textbf{d.~~} $1$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$. On admet que $f$ est une fonction dérivable sur $\R$. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse 1 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y=-1$ &\textbf{b.~~} $y=-x$&\textbf{c.~~} $y=-x+1$& \textbf{d.~~} $y=x$.
\end{tabularx}

\medskip
\textbf{Question 3}
\medskip

Pour tout réel $x$ , $\dfrac{\e^x\times\e^{-3x}}{\e^{-x}}$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $ \e^{-x}$ &\textbf{b.~~} $\e^{3x}$&\textbf{c.~~}$\e^{-3x}$& \textbf{d.~~} $\e^{x}$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-4,-5)(3,4)
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-4.5)(\n,3.2)}
\multido{\n=-4+1}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-3.5,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,]{->}(0,0)(-3.5,-4.8)(2.5,3.4)
%   \psdot[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](4,-1)
%  \uput[ur](4,-1){A} 
\psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-2.48}{1.5}{x  2 exp 2 mul x 2  mul add 4 sub}
%\psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=orange,plotpoints=3000]{1.32}{5}{x 2 neg   mul 7 add}
\uput[dl](0,0){O}%\uput[d](0.5,0.7){$\mathcal{C}$}\uput[d](2.25,3.5){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout réel $x$, une expression de $f(x)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$ f(x)=x^2+x-2$&\textbf{b.~~}$f(x)=-x^2-4$&\textbf{c.~~}$f(x)=2x^2+2x-4$&\textbf{d.~~}$f(x)=-3x^2-3x+6$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

L’ensemble  $\mathcal{S}$ des solutions de l’inéquation d’inconnue $x\in\R$ : $-x^2-2x+8>0$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\mathcal{S} = [-4~;~2]$&\textbf{b.~~} $\mathcal{S}=]-4~;~2[$&\textbf{c.~~}\footnotesize $\mathcal{S} = ]-\infty~;~-4]\cup]2~;~+\infty[$&\textbf{d.~~}  $\mathcal{S} = \{-4~;~2\}$\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}
 
\medskip

Les résultats seront arrondis à l’unité.

La quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant d’une ville de taille moyenne a été de \np[kg]{537} en 2019 et la municipalité espère réduire ensuite cette production de 1,5\,\% par an.

Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant de cette ville durant l’année 2019 +$n$, on a donc $d_0=537$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer par un calcul que $d_1=0,985\times d_0$.
\item Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$.
\item En déduire la nature de la suite $(d_n)$ puis une expression de $d_n$ en fonction de $n$.
\item On souhaite savoir à partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant
sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national, à savoir \np[kg]{513} .

Pour cela, on considère l’algorithme suivant rédigé en langage Python.

\begin{center}
\texttt{
\begin{tabular}[]{cl}
1& def année() :\\
2& \qquad n = 0\\
3& \qquad d = 537 \\
4& \qquad While d > $\cdots$ :\\
5& \qquad \qquad n = n + 1\\
6& \qquad \qquad d = $\cdots$\\
7& \qquad return (n)
\end{tabular}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l’algorithme afin de répondre au problème posé
\item À partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera-t-elle inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{1cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

Dans un repère orthonormé on considère le point $A(-3~;~5)$ et la droite $(d)$ dont une équation cartésienne est $-x+3y+2=0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $(d)$ dans le repère donné en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.
\item Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal à la droite $(d)$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $(d)$ et passant par A.
\item En déduire que le point H, projeté orthogonal de A sur la droite $(d)$, a pour coordonnées $(-1;~~-1)$.
\item En déduire la distance entre le point A et la droite $(d)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

Une enquête a été menée auprès de lycéens pour estimer la proportion de ceux qui ont déjà consommé du cannabis. Pour encourager les réponses sincères, on met en place le protocole suivant :

Chaque adolescent lance d’abord un dé équilibré à 6 faces et l’enquêteur qui va l’interroger ne connaît pas le résultat du lancer. À la question « Avez-vous déjà consommé du cannabis ? », l’adolescent doit répondre :

\begin{itemize}
\item [\textbullet] \og non \fg{} si le résultat du lancer est 5, qu’il ait ou non déjà consommé du cannabis ;
\item [\textbullet] \og oui \fg{} si le résultat du lancer est 6, qu’il ait ou non déjà consommé du cannabis ;
\item [\textbullet] \og oui \fg{} ou « non » dans les autres cas, mais de façon sincère.
\end{itemize}

On note :

\begin{itemize}
\item [\textbullet] $N$ : l’évènement l’adolescent a répondu \og non \fg{} ;
\item [\textbullet] $O$ : l’évènement l’adolescent a répondu \og oui \fg{} ;
\item [\textbullet] $C$ : l’évènement l’adolescent a déjà consommé effectivement du cannabis ;
\item [\textbullet] $\overline{C}$ : l’évènement l’adolescent n'a jamais consommé du cannabis.
\end{itemize} 

Sur les lycéens qui ont participé à cette enquête on constate que la probabilité qu’un adolescent ait répondu \og oui \fg{} est de $\frac{3}{5}$ , soit $p(0) = \frac{3}{5}$.

On veut déterminer la probabilité, notée $p$, qu’un adolescent ait déjà consommé du cannabis.

On a donc $p(C)= p$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité qu’un adolescent ait répondu « oui » sachant qu’il n’a jamais consommé de cannabis est $\frac{1}{6}$.
\item On a représenté en annexe l’arbre de probabilités représentant la situation. Compléter l’arbre sur l’\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité $p$ qu’un adolescent ait déjà consommé du cannabis vérifie l’équation :

\[\frac{2}{3}p+\frac{1}{6}=\frac{3}{5}.\]

\item En déduire la valeur de $p$.
\end{enumerate}
\item Sachant qu’un adolescent a répondu « non » pendant l’enquête, quelle est la probabilité qu’il n’ait jamais consommé de cannabis ?
\end{enumerate}
\newpage

\textbf{ANNEXES à RENDRE avec la COPIE}


\begin{center}
\textbf{Annexe 1.}
\end{center}

\begin{center}
\psset{labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\multido{\n=-5+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-5.2)(\n,5.2)}
\multido{\n=-5+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-5.2,\n)(5.3,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,]{->}(0,0)(-5.3,-5.3)(5.3,5.3)
\uput[dl](0,0){O}

\end{pspicture}

\vspace{2.5cm}

\textbf{Annexe 2.}

\vspace{1cm}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=2cm,levelsep=3cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~~}\taput{$p$}}
	{
	\TR{$O$}\taput{$\dots$}
	\TR{$N$}\tbput{$\frac{1}{6}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$O$}\taput{$\frac{1}{6}$}
	\TR{$N$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}
\end{document}