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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%RElecture : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 24}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 24 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). 

Les cinq questions sont indépendantes.

 Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.
 
Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie.

 Aucune justification n’est attendue.
 
Une réponse juste rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlèvent pas de point.

\medskip

\textbf{Question 1} 

\medskip 

Dans un repère orthonormé, un vecteur normal à la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le vecteur :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\vv{v}\ \binom{-5}{4} $ &\textbf{b.~~} $\vv{v}\ \binom{-4}{5} $&\textbf{c.~~}$\vv{v}\ \binom{4}{5} $& \textbf{d.~~} $\vv{v}\ \binom{5}{4}  $.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 

Dans un repère orthonormé, le projeté orthogonal du point A(7~;~9) sur la droite d’équation 

$4x+5y-32=0$ est le point :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} H(7~;~0,8)  &\textbf{b.~~} H(3~;~4)&\textbf{c.~~} H(4~;~3,2) & \textbf{d.~~}  H(4~;~5).
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip 

Dans un repère orthonormé, une équation du cercle de centre A$(-1~;~3)$ et de rayon 2 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $ x^2-1+y^2=2^2 $ &\textbf{b.~~} $x^2+2x+1+y^2-6y+9=2 $\\\textbf{c.~~}$(x+1)^2+(y-3)^2=2^2 $& \textbf{d.~~} $(x-1)^2+(y+3)^2=2^2  $.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

Dans un repère orthonormé, la parabole d’équation $y=3x^2-9x+5$ a pour sommet le point S et pour axe de symétrie la droite $\Delta$. Les coordonnées de S et l’équation de $\Delta$ sont :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $ S\left(\dfrac{3}{2}~;~-\dfrac{7}{4}\right)$ et $\Delta : x=\dfrac{3}{2}$ &\textbf{b.~~} $S\left(\dfrac{3}{2}~;~-\dfrac{7}{4}\right)$ et $\Delta : y=-\dfrac{7}{4}$\\\textbf{c.~~}$ S(3~;~5) $ et $\Delta : x = 3$ & \textbf{d.~~} $S(3 ;5)$ et $\Delta : y = 5$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 

On considère l’inéquation $- 3x^2 + 9x-5 > 0$. L’ensemble $\mathscr{S}$ des solutions de cette inéquation est ($x_1$ et $x_2$ sont deux réels tels que $x_1< x_2 $ pour les propositions \textbf{b.} et \textbf{d.}) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $ \emptyset$ &\textbf{b.~~}de la forme $]-\infty~;~x_1 [ \cup ] x_2~;~+\infty [ $\\\textbf{c.~~}$\R $& \textbf{d.~~}de la forme $  ] x_1~;~x_2 [  $.
\end{tabularx}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-4~;~2]$.

La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$.

Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $[-4~;~2]$.

Le point A est le point de la courbe $\mathcal{C}$ d’abscisse $- 1$.

La droite $\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en A.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=1.8cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false,comma=true}
\begin{pspicture}(-5,-2.1)(3,3.15)
\multido{\n=-4.3+0.1}{69}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-2.1)(\n,3)}
\multido{\n=-2.1+0.1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-4.3,\n)(2.5,\n)}
\multido{\n=-4+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.55pt](\n,-2.1)(\n,3)}
\multido{\n=-2+0.5}{11}{\psline[linewidth=0.55pt](-4.3,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.85pt,,Dy=0.5,]{->}(0,0)(-4.3,-2.1)(2.5,3.1)
 \def\Func{2.71828 x exp x x neg 2.5 add mul 1 sub mul}
 \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2}{\Func}
 \psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.75pt,linecolor=ballblue]{-4.3}{2.5}{1.6654575 neg}
\uput[ur](-4,-0.85){\Large\blue $\displaystyle \mathcal{C}$}
\uput[dl](-4,-1.6){\Large\textcolor{ballblue} {$\displaystyle \mathcal{T}$}}
\psdot[dotstyle=+,dotscale=1.8,linecolor=red](-1,-1.6654575)
\uput[d](-1,-1.6654575){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner la valeur de $f'(-1)$.
\item Résoudre, graphiquement, l’inéquation $f'(x)\leqslant 0$.
\end{enumerate}

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-4~;~2]$ par $f(x)=(-x^2 + 2,5x-1)\e^x$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Vérifier que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-4~;~2]$,

\[f'(x)= (- x^2 + 0,5x + 1,5)\e^x.\]

\item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[-4~;~2]$.
\item En déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[-4~;~2]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

Laura reçoit chaque jour beaucoup de courriels. Pour se protéger des courriels indésirables, elle achète un logiciel anti-spam.

Chaque jour, 

\begin{itemize}
\item 35\,\% des courriels reçus par Laura sont indésirables ;
\item 95 \,\% des courriels indésirables sont automatiquement bloqués par le logiciel anti-spam.
\item Parmi les courriels qui ne sont pas indésirables, le logiciel anti-spam en bloque 2\,\%.
\end{itemize}
On choisit au hasard un courriel reçu par Laura.
Chaque courriel a la même probabilité d’être choisi.

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $I$ : \og le courriel choisi est indésirable \fg,
\item $S$ : \og le logiciel anti-spam bloque le courriel choisi \fg.
\end{itemize}

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l’évènement contraire de l’évènement A.

Pour tout évènement $A$ et $B$ avec $B$ un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $ p_{B}(A)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité traduisant la situation.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.75cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$I$~}\taput{$\np{0.35}$}}
	{
	\TR{$S$}\taput{$\np{0.95}$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{I}$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$S$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}
\item Calculer la probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam.
\item Montrer que $p(S)= \np{0,3455}$.
\item Le logiciel anti-spam a bloqué un courriel reçu par Laura. Calculer la probabilité que ce courriel soit indésirable. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
\item Le fournisseur du logiciel anti-spam affirme que son logiciel se trompe dans moins de 2\,\% des cas. Est-ce vrai ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

Durant le mois de janvier 2020, une entreprise produit \np{2500} flacons de parfum ce qui correspond exactement au nombre de flacons commandés. Le propriétaire de l’entreprise décide d’augmenter chaque mois la production de 108 flacons et il espère que le nombre de flacons commandés augmentera chaque mois de 3,8 \,\%.

On considère la suite ($f_n)$ où pour tout entier naturel $n$, $f_n$ modélise le nombre de flacons produits lors du mois de rang $n$ après janvier 2020 ; ainsi $f_0$ est le nombre de flacons produits en janvier 2020, $f_1$ le nombre de flacons produits en février 2020, etc.

De la même manière, on considère la suite $(c_n)$ où pour tout entier naturel $n$, $c_n$ modélise le nombre potentiel de flacons commandés lors du mois de de rang $n $ après janvier 2020.

On a donc $f_0 = c_0 = \np{2 500}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en expliquant les calculs effectués, le nombre de flacons produits et le nombre potentiel de flacons commandés en février 2020.
\item Déterminer la nature des suites $(f_n)$ et $(c_n)$.
\item Exprimer, pour tout entier $n$, $f_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
\item On admet que, selon ce modèle, au bout d’un certain nombre de mois le nombre potentiel de flacons commandés dépassera le nombre de flacons produits.

\begin{minipage}[b]{8.7 cm}
Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-contre, écrit en Python, afin qu’après son exécution la variable $n$ contienne le nombre de mois à attendre après le mois de janvier 2020 pour que le nombre potentiel de flacons commandés dépasse le nombre de flacons produits.
\end{minipage}\hspace{1.28cm}
\begin{minipage}[b]{4cm}
\begin{tabular}[]{|m{2.5cm}|}
\hline
n = 0\\
f = \np{2500}\\
c = \np{2500}\\
while $\dots$ :\\
\hspace{1.8em}n = $\dots$\\
\hspace{1.8em}f = $\dots$\\
\hspace{1.8em}c = $\dots$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\item De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale dépassera-t-elle le nombre de commandes potentielles ? Expliquer votre démarche.
\end{enumerate}

On rappelle que :
\begin{itemize}
\item Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$, alors, pour tout entier naturel $n$,
\[u_0+ u_1+\dots+u_n=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\]
 \item Si $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q\not= 1$, alors, pour tout entier naturel $n$,
 
\[v_0+v_1+\dots+v_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\] 
\end{itemize}
\end{document}