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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 25}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 26\hspace{1.5em} mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions. 

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. 

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

\medskip
\textbf{Question 1}
\medskip 

Pour tout réel $x,\dfrac{\e^{2x}}{\e^{x+1}}$ est égale à :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\e^{x-1} $ &\textbf{b.~~} $\e^{3x+1} $&\textbf{c.~~}$\dfrac{2x}{x+1} $& \textbf{d.~~} $ \e $.
\end{tabularx}

\medskip
\textbf{Question 2}
\medskip 

Dans le plan muni d’un repère, les courbes représentatives des fonctions
\[x \mapsto 15x^2 + 10x - 1 \ \text{et  }\ x\mapsto  19x^2 - 22x + 10\] ont :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  aucun point
d'intersection &\textbf{b.~~} un seul point d'intersection &\textbf{c.~~}deux points d'intersection& \textbf{d.~~}quatre points
d'intersection.

\end{tabularx}

\medskip
\textbf{Question 3}
\medskip 

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Le cercle de centre A de
coordonnées $(3~;~- 1)$ et de rayon 5 a pour équation cartésienne :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(x + 3)^2 + ( y - 1)^2 = 25$&\textbf{b.~~} $( x - 3)^2 + ( y + 1)^2 = 5 $\\\textbf{c.~~}$(x + 3)^2 + ( y - 1)^2 = 5 $& \textbf{d.~~} $( x - 3)^2 + ( y + 1)^2 = 25  $.
\end{tabularx}

\medskip
\textbf{Question 4}
\medskip 

Dans un repère orthonormé, la droite $d$ d’équation cartésienne
$3 x + 2 y + 4 = 0$ admet un vecteur normal de coordonnées :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\binom{\phantom{-}2}{-3}$ &\textbf{b.~~}$\binom{-3}{\phantom{-}2}$&\textbf{c.~~}$\binom{3}{2}$& \textbf{d.~~}$\binom{2}{3}$ .
\end{tabularx}

\medskip
\textbf{Question 5}
\medskip 

Le plus petit entier naturel $n$ tel que la somme $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n$ soit
supérieure à \np{5000} est égal à :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\np{1000} $ &\textbf{b.~~} $ 500 $&\textbf{c.~~}$ 200$& \textbf{d.~~} $100  $.
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un plan muni d’un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout réel $x$, \[f(x) = (x - 1)\left( 8x^2 + 2x + 2\right).\]
\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ coupe l’axe des abscisses en un seul point A dont on donnera
les coordonnées.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x) = 12x(2x - 1)$.
		\item  En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Le point B de coordonnées $\left(0~;~-\dfrac{5}{2}\right)$ appartient-il à la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point $\psCancel[cancelType=s,linewidth=0.07pt]{B}$
d’abscisse $x = \dfrac{1}{2}$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Un parfumeur propose l’un de ses parfums, appelé \og Fleur Rose \fg, et cela uniquement avec
deux contenances de flacons : un de \np[ml]{30}  ou un de \np[ml]{50}. Pour l'achat d'un flacon \og Fleur Rose \fg, il propose une offre promotionnelle sur un autre parfum appelé \og Bois d’ébène \fg.

On dispose des données suivantes :

\begin{itemize}
\item 58\,\% des clients achètent un flacon de parfum \og Fleur Rose \fg{} de \np[ml]{30} et, parmi ceux là, 24\,\% achètent également un flacon du parfum \og Bois d’ébène \fg ;
\item 42\,\% des clients achètent un flacon de parfum \og Fleur Rose \fg{} de \np[ml]{50}  et, parmi ceux là,
13\,\% achètent également un flacon du parfum \og Bois d’ébène \fg.
\end{itemize}

On admet qu’un client donné n’achète qu’un seul flacon de parfum \og Fleur de Rose \fg{} (soit en
\np[ml]{30} soit en \np[ml]{50}), et que s’il achète un flacon du parfum \og Bois d’ébène \fg, il n’en achète
aussi qu’un seul flacon.

On choisit au hasard un client achetant un flacon du parfum \og Fleur Rose \fg. On considère les
évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $F$ : \og le client a acheté un flacon \og Fleur Rose \fg{} de \np[ml]{30} \fg ;
\item $B$ : \og le client a acheté un flacon \og Bois d’ébène \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant les données de l’exercice.
\item Calculer la probabilité $p(F \cap B)$.
\item Calculer la probabilité que le client ait acheté un flacon \og Bois d’ébène \fg.
\item Un flacon \og Fleur Rose \fg{} de \np[ml]{30} est vendu 40 \euro, un flacon \og Fleur Rose \fg{} de \np[ml]{50} est vendu 60 \euro{} et un flacon \og Bois d’ébène \fg{} 25 \euro.

On note $X$ la variable aléatoire correspondant
au montant total des achats par un client du parfum \og Fleur Rose \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

D’après l’ADEME (Agence De l’Environnement et de la Maîtrise de l’Énergie), chaque Français
a produit une masse moyenne de \np[kg]{365}  de déchets ménagers en 2018.

Un maire, étant informé que la masse moyenne de déchets ménagers dans sa commune en
2018 était de \np[kg]{400}  par habitant, décide d’une campagne annuelle de sensibilisation au
recyclage qui conduit à une réduction de cette production de 1,5\,\% par an, et cela dès
l’année 2019.

On modélise alors la masse moyenne de déchets ménagers par habitant calculée en fin
d’année dans cette commune par une suite $(d_n)$ où pour tout entier naturel $n$, $d_n$
correspond à la masse moyenne de déchets ménagers par habitant, en kg, pour l’année
2018+ $n$.

Ainsi, $d_0 = 400$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que $d_1 = 394$. Interpréter ce résultat.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la nature de la suite $(d_n)$. Préciser sa raison et son premier terme.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  D’après le tableau de valeurs suivant, en quelle année la masse moyenne de déchets
ménagers par habitant deviendra-t-elle inférieure à \np[kg]{365} ?

\smallskip

\begin{tabular}[]{|l|*{9}{c|}}
\hline
$n$& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6 &7& 8\\
\hline
$d_n$& 400& 394& 388,09& 382,27& 376,53& 370,89& 365,32& 359,84& 354,45\\
\hline
\end{tabular}

		\item Écrire une fonction Python qui retourne l’année à laquelle la masse moyenne de déchets
ménagers par habitant de la commune devient inférieure à \np[kg]{365}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}