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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 31}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[6pt]Sujet 31 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

%\rule[0mm]{14.5cm}{0.04cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill (5 points)}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
 Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève
aucun point.

Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la
réponse choisie. 

Aucune justification n’est demandée.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip 

\begin{minipage}[]{0.47\linewidth}
On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$f(x) = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$  sont des nombres réels.

 $\Delta$  désigne la quantité $b^2-4ac$.

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est cohérente avec la
représentation graphique, ci-contre, de cette fonction ?
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{0.49\linewidth}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-6,-4.75)(3.5,11.96)
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(-4.5,-4.1)(3.5,11.4)
\def\Func{x 2.732 add x 0.732 sub mul  }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.5}{2.6}{\Func}
\end{pspicture}

\end{minipage}
\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $a > 0$ et $\Delta > 0 $ &\textbf{b.~~} $a < 0$ et $\Delta < 0 $&\textbf{c.~~}$a > 0$ et $\Delta < 0 $& \textbf{d.~~} $a < 0$ et $\Delta > 0  $.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip 

Lors d’un jeu, on mise 1 euro et on tire une carte au hasard parmi 30 cartes numérotées
de 1 à 30.

On gagne 3 euros si le nombre porté sur la carte est premier, sinon, on ne gagne rien.

On détermine le gain algébrique en déduisant le montant de la mise de celui du gain.

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique.

Que vaut l’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{3} $ &\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{10} $&\textbf{c.~~}$ 0$& \textbf{d.~~} $\dfrac{2}{3}$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Quelle est la valeur exacte de $\dfrac{\e^6\times\e^3}{\e^2}$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\e^{11}$ &\textbf{b.~~} $\e^{9}  $&\textbf{c.~~}$\e^{7} $& \textbf{d.~~} $ \e^{-7} $.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip 

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $-5$ et telle que $u_1 = 2$. Quelle est, pour tout entier naturel $n$, l’expression du terme général $u_n$ de cette suite ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $u_n = 2- 5n $ &\textbf{b.~~} $u_n = -5 + 2n  $&\textbf{c.~~}$ u_n = 7 - 5n  $& \textbf{d.~~} $u_n = 2 \times(-5)^n $.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip 

Les équations cartésiennes ci-dessous sont celles de droites données du plan. Le vecteur
$\vv{u}\ \dbinom{-1}{2}$  est un vecteur normal à l’une de ces droites.

Quelle est l’équation de cette droite ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $2x + y+ 5 = 0 $ &\textbf{b.~~} $x + 2y + 3 = 0  $&\textbf{c.~~}$ -x + 0,5y+ 2 = 0$& \textbf{d.~~} $ -4x + 8y = 0 $.
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\bigskip

\begin{minipage}[]{8.6cm}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (5 - 2x)\e^x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$. Sur la figure ci-contre, on a tracé
la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal où les unités ont été effacées.
A est le point d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées et B le point
d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses.

D est le point de $\mathcal{C}$ dont l’ordonnée est le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{minipage}
\hspace{1.5em}
\begin{minipage}[]{6cm}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.3cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.4,12)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=0.95pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3,-3)(3.3,11.5)
\def\Func{2.71828 x exp 5 2 x mul sub mul }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=red]{-3}{2.6}{\Func}
\psdots[dotstyle=Mul,dotscale=1.9,linecolor=blue](0,5)(2.5,0)(1.5,8.9634)
\uput[ul](0,5){A}\uput[u](1.5,8.9634){D}\uput[ur](2.5,0){B}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{-3}{2.7}{x 3 mul 5 add}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des points A et B.
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. Montrer que, pour tout réel $x$,

\[f'(x) = (3 - 2x)\e^x .\]

\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
\item En déduire que le point D admet comme coordonnées $\left(1,5~;~2\e^{1,5}\right)$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A, puis vérifier, à l’aide de l’équation obtenue, que le point D n’appartient pas à cette tangente.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

On injecte dans le sang d’un malade $\np[cm^3]{2}$  d’un médicament. On admet que le processus
d’élimination du médicament peut être modélisé par une suite $\left(U_n\right)$, dont le terme général $U_n$ représente le volume en cm$^3$ de médicament présent dans le sang au bout de $n$ heures,
$n$ étant un entier naturel. Dans ce modèle, on considère que le volume de médicament
contenu dans le sang diminue de 8\,\% chaque heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $U_1 = 1,84$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$.

		\item En déduire la nature de la suite $\left(U_n\right)$. Préciser sa raison et son premier terme.

	\end{enumerate}
\item Pour que le médicament soit actif, le volume de médicament présent dans le sang du malade doit rester supérieur à un certain seuil $S$ ; ce seuil dépend du malade.
	\begin{enumerate}
		\item À l’aide d’une fonction écrite en langage Python, on se propose de déterminer, en fonction de $S$, le nombre maximal d’heures durant lesquelles le médicament reste actif.
Compléter le programme écrit en Python sur l’\textbf{annexe qui est à rendre avec la copie}.
		\item On s’intéresse au cas d’un malade pour qui ce seuil est estimé à $S = \np[cm^3]{1,5}$.
Que doit-on saisir pour exécuter la fonction volMedicament afin qu’elle renvoie 
le nombre maximal d’heures durant lesquelles le médicament reste actif chez ce malade ?


Quel est alors ce nombre d’heures ?

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

Une culture de pois comporte des pois de couleur \og jaune \fg{} ou \og vert \fg{} et de forme \og lisse \fg{} ou \og ridé \fg.

Le tableau ci-dessous est partiellement renseigné à partir des observations effectuées sur
un grand nom\-bre de pois de cette culture.

\renewcommand\arraystretch{2.1}
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}m{3.9cm}|}c|} 
 \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de pois jaunes & Nombre de pois verts& Total\\
\hline
Nombre de pois ridés	&100	&? 	&600\\\hline
Nombre de pois lisses	& ?		&?	& ?\\\hline
Total 					&300	&? 	&\np{10000}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau donné en \textbf{ annexe qui est à rendre avec la copie}.
\end{enumerate}

On choisit au hasard un pois de la culture et on s’intéresse aux évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $J$ : \og le pois est jaune \fg ;
\item $R$ : \og le pois est ridé \fg.
\end{itemize}

L’échantillon étudié est suffisamment important pour être considéré comme représentatif de l’ensemble de la culture de pois.

\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est la probabilité que le pois soit vert et lisse ?
\item Calculer la probabilité que le pois soit vert.
\item Calculer la probabilité qu’un pois soit jaune sachant qu’il est ridé, et en déduire la probabilité qu’un pois soit vert sachant qu’il est ridé.
\item Calculer $P_J(R)$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’énoncé.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Annexe}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hspace{1em} question 3.a.}}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
def volMedicament(S) :\\
\hspace{2em}u=2\\
\hspace{2em}n=0\\
\hspace{2em}while u > $S$ :\\
\hspace{2em}	u = u*$\dots$\\
\hspace{2em}	n = n+1\\
return n\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{3cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hspace{1em} question 1. }

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash} X|}m{0.9cm}|} 
 \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Nombre de pois jaunes 	& Nombre de pois verts	& Total\\
\hline
Nombre de pois ridés	&100					& 						&600\\\hline
Nombre de pois lisses	& 						&						& \\\hline
Total 					&300					& 						&\np{10000}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}