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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 34}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 34\hspace{1.5em} mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 

Pour chaque question une seule réponse est exacte. 

Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n'enlève aucun point. 

La bonne réponse rapporte un point.

Il n’est pas demandé de justification.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $-3x^2+2x+1>0$, où $x$ est un nombre réel, est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} $\left\{-\dfrac{1}{3}~;~1\right\} $ &\textbf{B.~~} $\emptyset$\\\textbf{C.~~ }$\left]-\dfrac{1}{3}~;~1\right[  $& \textbf{D.~~}$\left]-\infty~;~-\dfrac{1}{3}\right[\cup\left]1~;~+\infty\right[ $.
\end{tabularx}
\medskip

\item Le plan est muni d'un repère $(O;\vv{i},\vv{j})$.

Une équation cartésienne de la droite $(d)$ passant par le point A de coordonnées $(-1~;~5)$ et de vecteur directeur $\vv{v}$ de coordonnées $(3~;~-2)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $-2x+3y+13=0$&\textbf{B.~~}$-2x-3y-13=0 $&\textbf{C.~~}$2x - 3y + 13 = 0 $& \textbf{D.~~} \small $-2x - 3y + 13 = 0$.
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~2[ \cup  ]2~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x - 2}$.

La fonction dérivée de $f$ est définie sur $]-\infty~;~2[ \cup  ]2~;~+\infty[$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $ f'(x)=\dfrac{5}{(x-2)^2}$ &\textbf{B.~~} $f'(x)= \dfrac{3x-6}{(x-2)^2} $&\textbf{C.~~}$f'(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2} $& \textbf{D.~~} $ f'(x) = \dfrac{-5}{(x-2)^2 }$.
\end{tabularx}

\medskip

\item Pour tout nombre réel $x$, une expression simplifiée de \[\dfrac{(\e^x)^2\times \e^{-x+1}}{\e^{5x}}\] est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $\e^{-4x+1} $ &\textbf{B.~~} $\e^{x^2-6x+1} $&\textbf{C.~~}$ \e^{x^2+4x+1}$& \textbf{D.~~} $\e^{-x^3+x^5-5x}  $.
\end{tabularx}

\medskip

\item La fonction $f$ est définie pour tout $x$ réel par \[f(x)=\e^x(3\e^x-1).\]
La fonction dérivée de $f$ est définie pour tout $x$ réel par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x)=\e^x(3\e^x) $ &\textbf{B.~~} $f'(x)=6\e^{2x}-\e^x $&\textbf{C.~~}$f'(x)=3\e^{2x}-\e{x}$& \textbf{D.~~} $f'(x)=3(\e^x)^2-1  $.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

Un pépiniériste stocke un grand nombre d’arbustes de la famille des \emph{viburnum} en vue de les
vendre. Ceux-ci sont de deux espèces différentes : les \emph{viburnum tinus} (nom commun : laurier
tin) et les \emph{viburnum opulus} (nom commun : boule de neige). Il constate que :
\begin{itemize}
\item 80\,\% de ses arbustes sont des lauriers tins, les autres sont des boules de neige.
\item Parmi les lauriers tins, 41\,\% mesurent \np[m]{1.10} ou plus.
\item Parmi les boules de neige, 32\,\% mesurent \np[m]{1.10} ou plus.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Est-il vrai que moins de 15\,\% des \emph{viburnum} de ce pépiniériste sont des boules de neige de moins de \np[m]{1.10} ?
\end{enumerate}

On choisit au hasard un \emph{viburnum} chez ce pépiniériste et on considère les évènements
suivants :

\begin{itemize}
\item $L$ : \og le \emph{viburnum} choisi est un laurier tin \fg
\item $T$ : \og le \emph{viburnum} mesure plus de \np[m]{1.10}\fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}[resume]
\item Décrire par une phrase la probabilité $p_L\left(\overline{T}\right)$.

 Décrire également par une phrase l’évènement $\overline{L}\cap T$

\item Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous traduisant les données de l’énoncé.

\vspace{0,5cm}
\begin{center}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.75cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$L$~~}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$T$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{L}$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$T$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}

\medskip

\item Montrer que la probabilité que le \emph{viburnum} mesure \np[m]{1.10} ou plus est égale à 0,392.
\item Le \emph{viburnum} choisi a une taille inférieure à \np[m]{1.10}. Quelle est la probabilité que ce soit un boule de neige ? On arrondira le résultat à  $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

\emph{Les deux parties suivantes sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A.} 

\medskip

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0=1$ et $v_{n+1} = \frac{2}{3}v_n$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ? En préciser les éléments caractéristiques.
\item Donner, pour tout entier naturel $n$, une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la somme $\mathscr{S}$ des dix premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

On modélise une suite $\left(w_n\right)$ à l’aide de la fonction suivante écrite en langage Python :

\begin{python}
def terme(n) :
	 w=4
     for i in range(n) :
         w=2*w- 3
     return w
   \end{python}

\begin{enumerate}[resume]
\item Que renvoie l’exécution de \verb|terme(5)| ?
\item En s’inspirant de la fonction \verb|terme(n)|, proposer une fonction \verb|somme_termes(n)|, écrite en langage Python, qui renvoie la somme des $n$ premiers termes de la suite 
$\left(w_n\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4\hfill 5 points}}
 
\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$  de l'intervalle $[-1~;~5]$ par : \[f(x)=x^3-6x^2+9x+1.\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer, pour tout nombre réel $x$ de $[-1~;~5]$, l'expression de $f'(x)$.
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de $[-1~;~5]$, \[f'(x) = 3(x - 1)(x - 3).\]
\item Dresser le tableau de signe de $f'(x$) sur $[-1~;~5]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$.
\item Déterminer l'autre point de la courbe de $f$ en lequel la tangente est parallèle à $T$.
\end{enumerate} 
\end{document}