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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 35}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 35 -- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}
  
\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n'enlève aucun point. La bonne réponse rapporte un point. Il n’est pas demandé de justification.

\begin{enumerate}
\item  L'ensemble des solutions de l'inéquation $3x^2-4x+1\geqslant 0$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} $]-\infty~;~-1]\cup[-\frac{1}{3}~;~+\infty[ $ &\textbf{B.~~} $ 
\left]-\infty~;~\frac{1}{3}\right]\cup [1~;~+\infty[$\\\textbf{C.~~}$\left]-\infty~;~-\frac{1}{3}\right]\cup\left[1~;~+\infty\right[ $& \textbf{D.~~} $ \left[\frac{1}{3}~;~1\right] $.
\end{tabularx}

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vv{u} \ \binom{a+2}{-1}$ et $\vv{v}\ \binom{3}{a}$, où $a$ est un nombre réel. Les vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $ a(a+2)-3=0$ &\textbf{B.~~} $a(a+2)+3=0 $&\textbf{C.~~}$3(a+2)-a=0 $& \textbf{D.~~} $3(a+2)+a=0  $.
\end{tabularx}

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère le point A $(-2~;~3)$ et le vecteur $\vv{u} (1~;~2)$. Une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point A et de vecteur normal $\vv{u}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $-2x+y-7=0 $ &\textbf{B.~~} $x+2y-4=0 $&\textbf{C.~~}$x-2y+8=0 $& \textbf{D.~~} $2x+y+1=0  $.
\end{tabularx}

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$, géométrique de raison 2 et de premier terme $u_0=3$.

La somme $u_0+u_1+\dots+u_{10}$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $3\left(2^{11}-1\right) $ &\textbf{B.~~} $3\left(1-2^{11}\right) $&\textbf{C.~~}$3\left(2^{10}-1\right) $& \textbf{D.~~} $ 3\left(1-2^{10}\right) $.
\end{tabularx}


\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]1~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.

La fonction dérivée de $f$ sur $]1~;~+\infty[$ a pour expression :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} {\small $f'(x)=-\dfrac{1}{(x-1)^2}$} &\textbf{B.~~} {\small $f'(x)=-\dfrac{3}{(x-1)^2} $}&\textbf{C.~~}{\small $f'(x)=\dfrac{4x-1}{(x-1)^2}$}& \textbf{D.~~} {\small $f'(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$}.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}
  
\medskip

Un organisme de vacances propose des séjours en France et à l'étranger pour des jeunes.
 Ces derniers sont répartis en deux catégories suivant leur âge : adolescents ou jeunes enfants. 
 \begin{itemize}
\item 40\,\% des participants sont des adolescents et parmi eux, 70\,\% choisissent un séjour à l'étranger.
\item Parmi les jeunes enfants, 90\,\% choisissent un séjour en France.
\end{itemize}

On interroge au hasard un participant à un séjour de cet organisme.

On note :
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og le participant est un adolescent\fg,
\item $F$ l’évènement \og le participant choisit un séjour en France \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter sur la copie les branches de l'arbre de probabilité ci-dessous pour qu'il représente la situation.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{}}
	{
	\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}\tbput{}}
	{\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que le participant soit un adolescent et qu'il choisisse un séjour à l'étranger.
\item Montrer que la probabilité qu'un participant choisisse un séjour à l'étranger est 0,34.
\item Calculer la probabilité que le participant ne soit pas un adolescent, sachant qu'il part à l'étranger. Donner la valeur arrondie au centième de cette probabilité.
\item On interroge au hasard, et de manière indépendante, deux participants à des séjours de cet organisme pour connaître s'ils ont choisi un séjour en France ou non. L’organisation de ce sondage est telle qu’une même personne peut être interrogée deux fois.

 Calculer la probabilité qu'au moins un des deux participants ait choisi un séjour en France. Donner cette probabilité arrondie au centième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Une commune compte $800$ habitants au début de l’année 2019. Le maire prévoit une baisse de 2\,\% par an du nombre d’habitants à partir de 2019.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants $n$ années après 2019. 

Ainsi, $u_0 = 800$ et pour tout entier naturel, $u_{n+1}= 0,98u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et préciser ce que cette valeur représente dans le contexte de l'exercice.
\item Préciser la nature de la suite $\left(u_n.\right)$ ainsi que sa raison.
\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer une valeur approchée, à l’entier près, du nombre d’habitants dans cette commune en 2025.
\item Recopier et compléter sur la copie la fonction écrite en langage Python ci-dessous, afin qu’elle permette de calculer, pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
def u(n):\\ 
\hspace{1.3em}	u = $\dots$\\
\hspace{1.3em}	for i in range(1, $\dots$):\\
\hspace{2.8em}  u = \dots \\
\hspace{1.3em}return \dots\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

\textbf{Partie A : lecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le plan muni d’un repère orthonormé, $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative d’une fonction $f$, défi\-nie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 

Dans la figure ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathcal{C}_f$.

Les points A et B sont les points de $\mathcal{C}_f$ d’abscisses respectives $- 2$ et 0, et on a tracé les tangentes à $\mathcal{C}_f$ en ces points.

On suppose que la tangente en A est parallèle à l'axe des abscisses et que la tangente en B passe par le point C(1~;~6).

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Lire graphiquement les valeurs de $f'(-2)$ et $f'(0)$. Justifier brièvement.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.6cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(3,7.5)
 \multido{\n=-4.2+0.2}{36}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-1.1)(\n,7.2)}
\multido{\n=-1+0.2}{41}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-4.2,\n)(2.8,\n)}
 \multido{\n=-4+1}{7}{\psline[linewidth=0.65pt](\n,-1.1)(\n,7.2)}
 \multido{\n=-1+1}{9}{\psline[linewidth=0.6pt](-4.2,\n)(2.8,\n)}
\psaxes[linewidth=0.85pt]{->}(0,0)(-4.3,-1.3)(3,7.3)
 \def\Func{2.71828 x exp x 2 mul 2 add mul }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=blue]{-4.2}{0.73}{\Func}
\psdots[dotstyle=Mul,dotscale=1.9,linecolor=blue](-2,-0.27067)(0,2)(1,6)
\uput[d](-2,-0.27067){A}\uput[r](0,2){B}\uput[r](1,6){C}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-0.8}{1.254}{x 4 mul 2 add}
\uput[l](0.75,6.48){\blue $\displaystyle \mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=deepsaffron](-4.2,-0.27067)(2.8,-0.27067)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie B : Calcul algébrique}

\medskip

La fonction représentée sur le graphique précédent est la fonction $f$ définie 
sur l'ensemble $\R$ des nom\-bres réels par : \[f(x)=\e^x(2x + 2)\]
On admet que $f$ est dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\e^x(2x + 4)$.
\item Étudier le signe de $f'$ sur $\R$, puis en déduire le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\item Déterminer par le calcul, l’équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse 0.
\item Justifier par le calcul les deux résultats suivants admis au début de l’exercice :
\begin{itemize}
\item La tangente en A est parallèle à l'axe des abscisses.
\item La tangente en B passe par le point C(1~;~6).
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}