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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vv{\imath},~\vv{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 39}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 39-- mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes.

Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.

Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout réel $x$, $\cos(25\pi+x)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $ \cos(x)$ &\textbf{b.~~} $-\cos(x) $&\textbf{c.~~}$ \cos(-x)$& \textbf{d.~~} $-1$.
\end{tabularx}


\item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ;10]$.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(10,2.5)
%\psgrid
\psframe(0,0)(10,2.5)
\psline(0,2)(10,2)
\psline(0,1.5)(10,1.5)
\psline(1.6,0)(1.6,2.5)
\rput(0.8,2.25){$x$}\rput(2,2.25){$-10$}\rput(4.5,2.25){$-2$}\rput(7,2.25){$3$}\rput(9.6,2.25){$10$}
\rput(0.8,1.75){$f'(x)$}\rput(3.25,1.75){$-$}\rput(4.5,1.75){$0$}\rput(5.75,1.75){$+$} \rput(7,1.75){$0$}\rput(8.3,1.75){$-$}
\rput(0.75,0.9){$f(x)$}
\psline{->}(2.4,1.2)(4,0.25)\psline{->}(4.9,0.25)(6.8,1.2)\psline{->}(7.6,1.2)(9.4,0.25)
\rput(1.97,1.28){0}\rput(7,1.28){4}
\rput(4.5,0.18){$-5$}\rput(9.6,0.18){3}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d’un repère \Oij.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse 3 a pour coefficient directeur :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $  0 $ &\textbf{b.~~} $3 $&\textbf{c.~~}$4 $& \textbf{d.~~} $  10 $.
\end{tabularx}
\medskip
\item
$E$ et $F$ sont deux évènements indépendants d’un même univers.

On sait que $p(E)=0,4$ et $p(F)=0,3$ alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $p(E\cup F)=0,7 $ &\textbf{b.~~} $p(E\cap F)=1,2$ &\textbf{c.~~}$p(E\cap F)=0 $& \textbf{d.~~} $p(E\cap F)=0,12  $.
\end{tabularx}
\medskip
\item. L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+1 \leqslant -3$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $ \left\{-\dfrac{1}{3}~;~4\right\} $ &\textbf{b.~~} $\left[-\dfrac{1}{3}~;~4\right] $\\\textbf{c.~~}$\left]-\infty~;~-\dfrac{1}{3}\right]\cup\left[4~;~+\infty\right[ $& \textbf{d.~~} $ \left]-\infty ~;~-\dfrac{1}{3}\right[\cup\left]4~;~+\infty\right[  $.
\end{tabularx}
\medskip
\item La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par ce tableau :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{1.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ 		&$-3$ 	&2		&5 	&10\\\hline
$p(X=x_i)$	&0,3	&0,21	&0,13	&0,36\\\hline
\end{tabularx} 
\end{center}

On peut en déduire que :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $P(X>2)=0,49 $ &\textbf{b.~~} $P(X>2)=0,51 $&\textbf{c.~~}$P(X\geqslant 2)=0,49 $& \textbf{d.~~} $P(X\geqslant 2)=0,51$.
\end{tabularx} 
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x^2 - 3x + 4.\]

Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item  Dans un repère orthonormé, on considère la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction racine carrée et le point $A(2~;~0)$.

\begin{center}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-2.4,-1.)(5.5,3.6)
\multido{\n=-1.8+0.2}{34}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,-0.99)(\n,3.2)}
\multido{\n=-0.8+0.2}{20}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](-1.8,\n)(4.8,\n)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,-0.9)(\n,3.2)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.45pt](-1.8,\n)(4.8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{-}(0,0)(-1.8,-0.99)(4.9,3.4)
\def\Func{x 0.5  exp}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=amethyst]{0.01}{4.8}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=Mul,dotscale=1.5,](2,0)(3.42,1.849324)
\uput[dr](2,0){\footnotesize A}\uput[ur](3.42,1.849324){\footnotesize M}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=blue](2,0)(3.42,1.849324)
\psset{linecolor=amethyst}
\uput[ur](4.4,2.2){ $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $M(x~;~y)$ un point de $\mathcal{C}$. Exprimer $y$ en fonction de $x$.
\item En déduire que $AM^2 = x^2 -3x + 4$.
\item Déterminer les coordonnées du point de $\mathcal{C}$ le plus proche de A.

\emph{Ce point est noté {\rm B} pour la suite.}
\item Un élève affirme que la tangente en B à $\mathcal{C}$ est perpendiculaire au segment [AB].
A-t-il raison ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Une balle est lâchée d’une hauteur de 3 mètres au-dessus du sol. Elle touche le sol et rebondit. À chaque rebond, la balle perd 25\,\% de sa hauteur précédente.

On modélise la hauteur de la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où $h_n$ désigne la hauteur maximale de la balle, en mètres, après le $n$-ième rebond. 

On a donc $h_0=3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $h_1$ et $h_2$.
\item La suite $\left(h_n\right)$ est-elle arithmétique ? Justifier.
\item Donner la nature de la suite $\left(h_n\right)$ en précisant ses éléments caractéristiques.
\item Déterminer la hauteur, arrondie au cm, de la balle après 6 rebonds.
\item La fonction \og seuil \fg{} est définie ci-dessous en langage Python.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{0.95}
\begin{tabular}[]{|c m{3.5cm}|}
\hline
1&def seuil():\\
2&\hspace{2em} h=3\\
3& \hspace{2em}n=0\\
4& \hspace{2em}while \dotfill :\\
5& \hspace{3.75em}h=\dotfill\\
6& \hspace{3.75em}n=n+1\\
7&\hspace{2em} return n\\\hline
\end{tabular}
\end{center}


Recopier et compléter les lignes 4 et 5 pour que cette fonction renvoie le nombre de rebonds à partir duquel la hauteur maximale de la balle sera inférieure ou égale à 10 centimètres.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\medskip

Une enquête réalisée dans un camping a donné les résultats suivants :

\begin{itemize}
\item 60\,\% des campeurs viennent en famille, les autres viennent entre amis ;
\item parmi ceux venant en famille, 35\,\% profitent des activités du camping ;
\item parmi ceux venant entre amis, 70\,\% ne profitent pas des activités du camping.
\end{itemize}

On choisit au hasard un client de ce camping et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $F$ : \og le campeur choisi est venu en famille \fg,
\item $A$ : \og le campeur choisi profite des activités du camping \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=2.75cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$~~}\taput{$\np{0.6}$}}
	{
	\TR{$A$}\taput{}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$\overline{F}$~~}\tbput{}}
	{\TR{$A$}\taput{}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(F\cap\overline{A})$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\item Montrer que $p(A) = 0,33$.
\item Sachant que le campeur choisi a profité des activités du camping, calculer la probabilité qu’il soit venu en famille. Arrondir le résultat au centième.
\end{enumerate}
\end{document}