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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 43 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

On définit la fonction $f$ sur $]2,5~;~+\infty[$ par :

\[f(x)= \dfrac{3x+1}{- 2x + 5}.\]

Alors pour tout $x \in ]2,5~;~+\infty[$, ~ b)
2
$f'(x)$ est donnée par l'expression :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$- \dfrac{3}{2}$ &\textbf{b.~~}$\dfrac{17}{(- 2x + 5)^2}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{17}{(- 2x + 5)^2}$&\textbf{d.~~}$-\dfrac{13}{(- 2x + 5)^2}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip
On considère une fonction $f$ polynôme de degré 2 dont une représentation graphique est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.95,-1.95)(5,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{3.5}{2 2 x mul sub x 3 sub mul}
\end{pspicture*}
\end{center}

Par lecture graphique, on peut affirmer qu'une forme factorisée de $f$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$- 2(x + 1)(x + 3)$ &\textbf{b.~~}$- 2(x - 1)(x - 3)$&\textbf{c.~~}$2(x- 1)(x - 3)$ &\textbf{d.~~}$2(x + 1)(x + 3)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On se place dans un repère orthogonal. On a tracé ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que sa tangente au point A.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(3,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\multido{\n=-0.5+1.0}{4}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,-1)(\n,6)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-1)(3,6)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.5,1.8)(-1,1.82)(0,2)(0.5,2.7)(1,4)(1.5,5.1)(1.65,5.2)(2,4)(2.5,1)(2.7,-1)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt]{-1}{2.5}{x  2 add}
\uput[ul](0,2){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

On a alors:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$f'(0) = 0$ &\textbf{b.~~}$f'(0) = 2$&\textbf{c.~~}$f'(0) = 1$ &\textbf{d.~~}$f'(0) = 0,5$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. 

On considère les points G$(1~;~-2)$ et H(6~;~4). 

La droite (GH) passe par le point :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}A$(-3~;~2)$ &\textbf{b.~~}B(2,5~;~0)&\textbf{c.~~}C$(10~;~12)$  &\textbf{d.~~}D$(-14~;~-20)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

On considère un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\pi~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]$ tel que $\cos x = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Alors $\sin (x)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ &\textbf{b.~~}$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\textbf{c.~~}$-\dfrac{1}{2}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Camille et Dominique ont été embauchés au même moment dans une entreprise et ont négocié leur contrat à des conditions différentes:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item Camille a commencé en 2010 avec un salaire annuel de \np{14400}~\euro, alors que le salaire de Dominique était, cette même année, de \np{13200}~\euro.
\item Le salaire de Camille augmente de $600$~\euro{} par an alors que celui de Dominique augmente de 4 \,\% par an.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quels étaient les salaires annuels de Camille et de Dominique en 2012 ? 
\item  On modélise les salaires de Camille et de Dominique à l'aide de suites.
	\begin{enumerate}
		\item On note $u_n$ le salaire de Camille en l'année $2010 +n$. On a donc $u_0 = \np{14400}$.
		
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
		\item Déterminer en quelle année le salaire de Camille dépassera \np{20000}~ \euro.
		\item On note $v_n$ le salaire de Dominique en l'année $2010 +n$.
		
Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
		\item Calculer le salaire de Dominique en 2020. On arrondira le résultat à l'euro.
	\end{enumerate}
\item On veut déterminer à partir de quelle année le salaire de Dominique dépassera celui de Camille. 

Pour cela, on dispose du programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python.

Recopier et compléter les quatre parties en pointillé du programme ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\texttt{def algo ( ) :}\\
\qquad \texttt{A= \np{14400}}\\
\qquad \texttt{B= \np{13200}}\\
\qquad \texttt{n = 0}\\
\qquad \texttt{while \ldots}\\
\qquad \qquad \texttt{A= \ldots}\\
\qquad \qquad \texttt{B= \ldots}\\
\qquad \qquad \texttt{n= \ldots}\\
\qquad \texttt{return(n)}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip
Dans un repère orthonormé, on considère les points A$(-1~;~3)$, B(5~;~0) et C(9~;~3).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $D$ passant par le point C et de vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$.
\item Démontrer que les droites $D$ et (AB) ne sont pas parallèles.

On admet que le point E(3~;~1) est le point d'intersection de ces deux droites.
\item Les droites D et (AB) sont-elles perpendiculaires ?
\item On donne AE$= 2\sqrt{5}$ et EC $= 2\sqrt{10}$.

Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{AEC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Un parent d'élèves propose un jeu pour la fête de l'école.

Une urne opaque contient $100$ billes indiscernables au toucher : 10 billes rouges, 30 billes blanches et 60 billes vertes.

\medskip

Pour une partie, chaque joueur doit miser 2 jetons. Ensuite, le joueur prélève une bille au hasard dans l'urne.

\medskip

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item Si la bille prélevée est rouge, le joueur récupère $8$ jetons.
\item Si la bille est blanche, le joueur récupère $4$ jetons.
\item Si la bille est verte, le joueur ne gagne rien.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en nombre de jetons, c'est-à-dire, le nombre de jetons gagnés diminué de la mise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que la loi de probabilité de $X$ est donnée par :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeurs $a$ prises par $X$&$-2$ &2 &6\\ \hline
$p(X = a)$& 0,6 &0,3 &0,1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Démontrer que le jeu est équitable, c'est-à-dire que l'espérance de $X$ est nulle.
		\item Calculer la variance puis l'écart-type de $X$. On arrondira au centième.
	\end{enumerate}
\item Pour financer les différentes actions de l'école, les organisateurs de la fête veulent modifier le jeu pour qu'il leur devienne favorable. Ils décident alors d'ajouter des billes vertes dans l'urne.

Combien de billes vertes doit-on ajouter dans l'urne pour que l'espérance du jeu soit égale à $-1$ ?	
\end{enumerate}
\end{document}
\begin{pspicture}[showgrid](10,10)
\psCircleText[font=Helvetica,radius=4cm](5,5){En r\'ealit\'e rien ne se passe}% 
\psCircleText[fillcolor=blue!40,fontsize=1cm,font=Helvetica](5,5){All is Fun within the
 World}%
\end{pspicture}