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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 49}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[7pt]Sujet 49  mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}
  
\medskip

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes.

Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
 
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.

 Aucune justification n’est demandée.
 
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

\begin{enumerate}
\item On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne dans un repère orthonormé est $2x-3y+4=0$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} Un vecteur directeur de $d$ est $\vv{u} \binom{-6}{4}$. &\textbf{b.~~} Un vecteur normal de $d$ est $\vv{n}\binom{-12}{18}$. \\
\textbf{c.~~} Le point $ C(-5~;~2)$ appartient à la droite $d$.& \textbf{d.~~} La droite $d$ coupe la droite d’équation 

$-x+3y-2=0$ au point F (1~;~2).
\end{tabularx}

\item Dans un repère orthonormé le cercle $\mathcal{C}$ a pour équation $x^2-2x+y^2+y=3$ 

et la droite $\mathcal{D}$ pour équation $y=1$.


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{1}{X}}
\textbf{a.~~} $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ n'ont aucun point d’intersection.\\
\textbf{b.~~} $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ont un seul point d’intersection.\\
\textbf{c.~~} $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ont deux points d’intersection.\\
\textbf{d.~~}On ne peut pas savoir combien $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ont de points d’intersection.\\
\end{tabularx}

\item La fonction $f$ est la fonction définie sur l’ensemble des réels par $f(x)= \cos(2x)$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$f $est paire.  &\textbf{b.~~}$f$ est impaire. \\\textbf{c.~~}$f$ n’est ni paire ni impaire.& \textbf{d.~~}$f$ a pour période $\dfrac{\pi}{2}$ .
\end{tabularx}

\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$.

On définit en langage Python une fonction \og suite \fg{} pour calculer $u_n$ connaissant $n$.

\begin{tabular}{*{2}{lr}}
\textbf{a.~~} 
\begin{minipage}[]{0.4\linewidth}
\begin{python}
 def suite(n):
	u=0 
	for i in range (1,n+1):
		u=1/2*(u+2/u) 
	return u
 \end{python}
\end{minipage} 
 &
\textbf{b.~~}
\begin{minipage}[]{0.4\linewidth}
\begin{python}
 def suite(n):
	u=1 
	for i in range (1,n+1):
		u=1/2*(u+2/u)
	return n
\end{python}
\end{minipage}\\

\textbf{c.~~}
\begin{minipage}[]{0.4\linewidth}
\begin{python}
 def suite(n):
	u=1
	for i in range (1,n+1):
		u=1/2*u+2/u 
	return u
\end{python}
\end{minipage}&
\textbf{d.~~}
\begin{minipage}[]{0.4\linewidth}
\begin{python}
 def suite(n):
	u=1 
	for i in range (1,n+1):
		u=1/2*(u+2/u)
	return u 
\end{python}
\end{minipage}
\end{tabular}

\item L’équation $\e^x=1$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}n’a pas de solution.  &\textbf{b.~~}a pour solution le nombre 1. \\\textbf{c.~~}a pour solution le nombre 0.& \textbf{d.~~} a pour solution le nombre $\e$.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au centième.}

\bigskip

Un gérant d’un salon de thé achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs.

Il achète 80\,\% de ses boîtes chez le fournisseur \og{} \emph{Au thé de qualité} \fg{} et 20\,\% de ses boîtes chez le fournisseur \og{}\emph{Bon thé} \fg.

Des contrôles de qualité montrent que 10\,\% des boîtes provenant du fournisseur \og{} \emph{Au thé de qualité} \fg{} présentent des traces de pesticides et que 20\,\% de celles provenant du fournisseur \og{} \emph{Bon thé} \fg{} présentent aussi des traces de pesticides.

On prélève au hasard une boîte du stock du gérant et on considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $A$ : \og la boîte provient du fournisseur \og\emph{Au thé de qualité} \fg{}  ;
\item $B$ : \og la boîte provient du fournisseur \og \emph{Bon thé} \fg{}  ;
\item $T$ : \og la boîte présente des traces de pesticides \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
\item Quelle est la probabilité que la boîte prélevée provienne du fournisseur \og{} \emph{Au thé de qualité} \fg{} et contienne des traces de pesticide ?
\item Que représente l’évènement $B\cap\overline{T}$ ? Quelle est la probabilité de cet évènement ?
\item Justifier que la probabilité que la boîte ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0,88.
\item On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur \og \emph{Bon thé} \fg{} ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant 3 ans.

\begin{description}
\item[1\up{er} contrat :]

un loyer de 200 \euro{} pour le premier mois puis une augmentation de 5 \euro{} par mois jusqu’à la fin du bail.

\item [2\up{e} contrat :]

 un loyer de 200 \euro{} pour le premier mois puis une augmentation de 2\,\% par mois jusqu’à la fin du bail.
\end{description}
On modélise ces deux contrats par des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, de sorte que pour tout entier $n\geqslant 1$, le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 1\up{er} contrat est représenté par $u_n$ et le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 2\ieme contrat est représenté par $v_n$.
On a ainsi $u_1=v_1=200$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
\item Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|ccl|}
\hline
1& & u=200 \\
2& &v=200\\
3& &n=int(input("Saisir une valeur de n :"))\\
4& &for i in range(1,n):\\
5& &\hspace{1.5em}u= \dotfill\\
6& &\hspace{1.5em}v= \dotfill \\
7& &print("Pour n =",n,"on a","u =",u," et v =",v)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les lignes 5 et 6 de ce programme.
\item Quels nombres obtiendra-t-on avec n = 4 ?
\end{enumerate}
\item Déterminer, pour tout entier $n\geqslant 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de 3 ans ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}
  
\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par 

\[f(x) = (ax + b)\e^{-0,1x}\]

où $a$ et $b$ sont des réels fixés.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous, dans un repère orthogonal.

\begin{figure}[b]
\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.3cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture*}(-5,-14)(43,24)
\multido{\n=-4+2}{24}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-12)(\n,23.4)}
\multido{\n=-12+2}{18}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-5.8,\n)(43,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-12.5)(43.2,24)
\def\Func{x 4 mul 5 add 2.71828 x 0.1 neg mul  exp mul }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{43}{\Func}
\psdots[dotstyle=Mul,dotscale=1.9,linecolor=amethyst](0,5)(4,19)
\uput[ul](0,5){A}\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](4,19){B}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=amethyst]{-4}{5.8}{x 3.5 mul 5 add}
\rput(6,22.5){$\mathcal{T}$}
\uput[u](25,8.3){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{figure}

On a également représenté la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}_f$ au point A(0~;~5).

On admet que cette tangente $\mathcal{T}$ passe par le point B(4~;~19).
\begin{enumerate}
\item  En exprimant $f(0)$, déterminer la valeur de $b$.
\item 
		\begin{enumerate}
		\item  À l’aide des coordonnées des points A et B, déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$.
		\item Exprimer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$ et en déduire que pour tout réel $x$, $f(x)=(4x+5)\e^{-0,1x}$.
		\end{enumerate}
\item On souhaite déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x\in \R,\  f'(x)=(- 0,4x + 3,5)\e^{-0,1x}$.
		\item Déterminer les variations de $f$ sur $\R$ et en déduire le maximum de $f$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}