\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{mathtools}% fleqn sans effet après asmmath aignement à gauche \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amstext ,mathrsfs} \usepackage[psamsfonts]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage{graphicx} \usepackage{pythonhighlight} \usepackage{listings}[frame=none] %Tapuscrit \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-3d,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \usepackage{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {épreuve de contrôle continu}, pdftitle = {e3c}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.75} \newcommand{\e}{\text{e}} %\frenchbsetup{StandardLists=true} %\usepackage{babel} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Épreuve de contrôle continu} \lfoot{\small{Première générale sujet 55}} \rfoot{\small{mai 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no{} 2~\decofourright\\[6pt]Sujet 55 -- mai 2020 }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale } \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill (5 points)} \medskip \emph{Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.} \emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.} \emph{Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.} \emph{Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.} \medskip \textbf{Question 1} \medskip Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}$y=x+1$ &\textbf{b.~~}$y=\e x$ &\textbf{c.~~$y=\e^x $}& \textbf{d.~~}$y= x-1 $ . \end{tabularx} \smallskip \textbf{Question 2} \medskip La fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = \e^{-2x+6}$ admet pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\R$ par : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$f'(x) = \e^{-2x+6}$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = -2\e^{-2x+6}$\\\textbf{c.~~}$f'(x) = -2x\e^{-2x+6}$& \textbf{d.~~}$f'(x) = (-2x + 6)\e^{-2x+6}$ . \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 3} \medskip Dans le repère orthonormé \Oij, le vecteur $\vv{AB}$ représenté ci-dessous est égal à : \begin{center} \psset{labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false} \begin{pspicture}(-0.75,-0.5)(7.5,3.5) \multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,3.2)} \multido{\n=0+0.2}{37}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,3.2)} \multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(7.2,\n)} \multido{\n=0+0.2}{17}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](0,\n)(7.2,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(7.4,3.3) \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,3)(7,1) \uput[l](1,3){A} \uput[dl](7,1){B}\psset{arrowscale=1.8} \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=darkgray]{->}(0,0)(0,1)\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=darkgray]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=darkgray]{->}(1,3)(7,1) \uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vv{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vv{\jmath}$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}$-2\vv{\imath} + 6 \vv{\jmath}$ &\textbf{b.~~}$-6\vv{\imath}+ 2\vv{\jmath}$ &\textbf{c.~~}$2\vv{\imath} -6\vv{\jmath}$& \textbf{d.~~}$6\vv{\imath}- 2\vv{\jmath}$ . \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 4} \medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\sin x -\cos x$. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule est correcte. Laquelle ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{1}{X}} \textbf{a.~~} $f$ est une fonction paire. \\\textbf{b.~~}$f$ est une fonction impaire. \\\textbf{c.~~}$f$ n’est ni paire ni impaire.\\ \textbf{d.~~}$f (0)=0$ . \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 5} \medskip Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite $(d)$ d’équation : $5x-2y+8=0$. La droite $(d)$ a pour coefficient directeur : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\vv{u}(2 ;5)$ &\textbf{b.~~}$\dfrac{5}{2}$ &\textbf{c.~~}$\dfrac{ 2}{5}$& \textbf{d.~~} $ -2$. \end{tabularx} \vspace{0.75cm} \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points} \medskip Un fermier souhaite réaliser un enclos rectangulaire pour des poules et des poussins, adossé à un mur de sa ferme afin d’économiser du grillage. Ainsi, il ne grillagera que 3 côtés de son enclos. Il possède $28$~mètres de grillage. Il souhaite construire un enclos d’aire maximale. On appelle $x$ la longueur du côté de l’enclos perpendiculaire au mur. \begin{center} \begin{pspicture}(7,3) \psline(0,0)(5,0)\psline(1,1.2)(6,1.2)\psline(0,0)(1,1.2)\psline(5,0)(6,1.2) \psline(0,0)(0,0.6)\psline(1,1.2)(1,1.8)\psline(5,0)(5,0.6)\psline(6,1.2)(6,1.8) \psframe[fillstyle=crosshatch](5,0.6)\psline(0,0.6)(1,1.8)\psline(5,0.6)(6,1.8) \psframe(0,1.2)(7,2.1)\pspolygon[fillstyle=crosshatch](0,0)(0,0.6)(1,1.8)(1,1.2) \pspolygon[fillstyle=crosshatch](5,0)(5,0.6)(6,1.8)(6,1.2) \psline[linestyle=dashed] {<->}(5.6,0)(6.5,1.2) \uput[r](6,0.7){$x$} \end{pspicture} \end{center} On appelle $\mathcal{A}$ la fonction qui à un nombre $x$ associe $\mathcal{A}(x)$ l’aire de l’enclos. La fonction $\mathcal{A}$ est ainsi définie sur l’intervalle $[0~;~14]$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que l’aire $\mathcal{A}(x)=-2x^2+28x$. \item Montrer que la forme canonique de $\mathcal{A}(x)$ est $-2(x-7)^2+98$. \end{enumerate} \item Quatre courbes ont été tracées sur le graphique ci-dessous. Identifier celle qui représente la fonction $\mathcal{A}$. \begin{center} \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.05cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false} \begin{pspicture}(-1,-2)(120,200) \multido{\n=0+10}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,190)} \multido{\n=0+2}{58}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,190)} \multido{\n=0+20}{10}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(114,\n)} \multido{\n=0+4}{48}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](0,\n)(114,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=10,Dy=20,]{->}(0,0)(114,195) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{x x mul 2 neg mul x 28 mul add} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{ x x mul 2 neg mul x 28 mul add neg 196 add} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{56}{84}{ x 56 sub x 84 sub mul 0.5 neg mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{84.5}{111.5}{x 98 sub 2 exp 7 add} \uput[r](12,54){\blue $\mathcal{C}_2$}\uput[r](12,154){\blue $\mathcal{C}_1$}\uput[r](52,34){\blue $\mathcal{C}_3$}\uput[r](104.5,54){\blue $\mathcal{C}_4$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \item Dresser le tableau de variation de la fonction $\mathcal{A}$. \item Pour quelle valeur de $x$ l’aire de l’enclos est-elle maximale ? Donner la valeur de cette aire. \end{enumerate} \vspace{0.75cm} \textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill (5 points)} \medskip Le plan est muni d’un repère orthonormé \Oij. On considère les points A, B et C de coordonnées : A$(7~;~-2)$, B (7~;~4) et C (1~;~1). \begin{enumerate} \item Montrer que $y=1$ est une équation de la droite $(d_1)$ passant par C et perpendiculaire à (AB). \item Que représente cette droite pour le triangle ABC ? \item Donner une équation de la droite $(d_2)$, hauteur du triangle ABC issue du sommet B. \item On appelle H le point d’intersection des droites $(d_1)$ et $(d_2)$. Donner en justifiant la valeur du produit scalaire : $\vv{AH}\cdot \vv{CB}$. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,labelsep=0.1pt,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false} \begin{pspicture}(-2,-4.5)(11,8) \multido{\n=-1+1}{13}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-4)(\n,7.5)} \multido{\n=-4+1}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-1.5,\n)(11.2,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-1.5,-4)(11,7.5) \uput[dl](0,-0.2){\footnotesize O}\uput[l](6.8,-2){A}\uput[l](6.8,4){B}\uput[l](0.9,0.9){C} \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,1)(7,4)(7,-2) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0.75cm} \textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill (5 points)} \medskip La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir \np{100000} ouvrages au total. Pour l’ouverture prévue le 1\up{er} janvier 2020, la médiathèque dispose du stock de \np{35000} ouvrages de l’ancienne bibliothèque, augmenté de \np{7000} ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Chaque année, le bibliothécaire est chargée de supprimer 5\,\% des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter \np{6 000} ouvrages neufs. On appelle $u_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1\up{er} janvier de l’année (2020+$n$). On donne $u_0 = 42$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1} = u_n\times 0,95+6$. \item On propose ci-dessous un programme en langage Python : \begin{python} def suite(n) : u=42 for i in range(n) : u=0.95*u+6 return u \end{python} Expliquer ce que permet de déterminer ce programme. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que \np{4000} nouveaux ouvrages par an au lieu des \np{6000} prévus. On appelle $v_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1\up{er} janvier de l’année (2020+$n$). \medskip \begin{enumerate} \item On admet que $v_{n+1} = 0,95\times v_n + 4$ pour tout entier naturel $n\geqslant 0$ avec $v_0 = 42$. On considère la suite $(w_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $w_n= v_n-80$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_0$. \item En déduire l’expression de $w_n$ puis de $ v_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item On donne ci-dessous un programme en langage Python. \begin{center} \begin{python} def objet(A) : v=42 n=0 while v