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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 60 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un QCM en 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont \textbf{indépendantes}.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée, cependant des traces de recherche au brouillon peuvent aider à trouver la bonne réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

Dans le repère orthogonal suivant on a tracé quatre courbes, chacune associée à une
fonction de variable réelle $x$ et d'expression $\text{e}^{\lambda x}$ où $\lambda$ est un paramètre réel.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-0.25)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-0)(3,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828 x 1.8 div neg exp}\uput[l](-2.5,4){\small$\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828  x 1.1 div neg exp}\uput[l](-1.6,4){\small$\mathcal{C}_g$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828 2 x mul exp}\uput[l](0.7,4){\small$\mathcal{C}_h$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828  x   exp}\uput[r](1.4,4){\small$\mathcal{C}_k$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Quelle courbe possède le plus petit paramètre $\lambda$ ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\mathcal{C}_f$&\textbf{b.~~}$\mathcal{C}_g$&\textbf{c.~~}$\mathcal{C}_h$&\textbf{d.~~}$\mathcal{C}_k$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

On choisit au hasard un couple ayant deux enfants et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles du couple. On admet que la probabilité qu'un enfant soit une fille est égale à 0,5 et qu'il y a indépendance du sexe de l'enfant entre deux naissances.

Déterminer $P(X \geqslant 1)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{a.~~} 0,25&\textbf{b.~~} 0,5&\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{3}$&\textbf{d.~~} 0,75\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction sinus dans un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{trigLabels,labelFontSize=\scriptstyle,xunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-4.8,-1.25)(14,1.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,xunit=\psPiH,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[dx=\psPiH,linewidth=1.25pt,trigLabelBase=2](0,0)(-4.8,-1.25)(14,1.25)
\psplot[xunit=0.75cm,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-4.8}{14}{x RadtoDeg sin}
\psline[linewidth=0.2pt](-4.8,0.4)(14,0.4)
\psdots(-3.55,0.4)(0.42,0.4)(2.7,0.4)(6.675,0.4)(13.,0.4)
\uput[ur](-3.55,0.4){$A_1$}\uput[ul](0.42,0.4){$A_0$}
\uput[ur](2.7,0.4){$A_2$}\uput[ul](6.675,0.4){$A_3$}
\uput[ul](13,0.4){$A_4$}
\uput[dr](11.5,-.8){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

$A_0,\, A_1,\, A_2,\, A_3$ et $A_4$ sont des points de $\mathcal{C}$ et ils ont tous la même ordonnée. 

Parmi les segments suivants, lequel a pour longueur la période de la fonction sinus ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\left[A_0~;~A_1 \right]$&\textbf{b.~~}$\left[A_0~;~A_2 \right]$&\textbf{c.~~}$\left[A_0~;~A_3 \right]$&\textbf{d.~~}$\left[A_0~;~A_4 \right]$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 0,5x^2 - 2x + 1$.

On considère l'équation $f(x) = 0$, d'inconnue $x \in \R$.

 L'ensemble des solutions de cette équation est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\emptyset$&\textbf{b.~~}$\left\{2 - \sqrt{2}~;~2 + \sqrt{2}\right\}$&\textbf{c.~~}$\left\{2 - \sqrt{6}~;~2 + \sqrt{6}\right\}$&\textbf{d.~~}$\left\{4 - 2\sqrt{2}~;~4 + 2\sqrt{2}\right\}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

ABC est un triangle tel que: AB = 5, BC = 2, $\widehat{\text{ABC}} = 60\degres$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-0.5)(0.5,2)
\pspolygon(0,0)(2;120)(5;180)
\psarc(0,0){0.4}{120}{180}
\uput[r](0,0){B}\uput[u](2;120){C}\uput[l](5;180){A}
\end{pspicture}
\end{center}

La longueur AC est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\sqrt{19}$ &\textbf{b.~~}$\sqrt{21}$ & \textbf{c.~~}$\sqrt{28}$ &\textbf{d.~~}$\sqrt{29}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On modélise la diffusion dans le sang d'un médicament de 1 gramme par intraveineuse (fonction $f_1$, courbe représentative $C_1$) ou par voie orale (fonction $f_2$, courbe représentative $C_2$) pendant une durée de 10 heures.

Plus précisément :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item $f_1(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l'instant $t$, où $t$ est le temps en heure après injection par intraveineuse ;
\item $f_2(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l'instant $t$, où $t$ est le temps en heure après administration par voie orale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~10], on admet que 

\[f_1(t) = \e^{-0,57t}\quad  \text{et} \quad f_2(t) = 1,75t\e^{-t}.\]

Les courbes $C_1$ et $C_2$ de $f_1$ et $f_2$ sont représentées ci-dessous.

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=7.cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(10.5,1.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt](0,0)(10,1)
\multido{\n=0.0+0.1}{11}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(10.5,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{2.71828 0.57 x mul neg exp}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{2.71828  x neg exp x mul 1.75 mul}
\uput[ur](0.2,0.9){\blue $C_1$}\uput[ur](2,0.52){\red$C_2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Injection par voie intraveineuse}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f_1$.
		\item Résoudre graphiquement $f_1(t) < 0,1$. 
		
Interpréter la réponse dans le contexte.
	\end{enumerate}
\item \emph{Administration par voie orale}

On note $f'_2$ fonction dérivée de la fonction $f_2$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $t$ de [0~;~10], $f'_2(t) = 1,75(1- t)\e^{-t}$.
		\item Construire le tableau de variations de la fonction $f_2$.
		\item À quel instant $t$ la proportion de médicament dans le sang est-elle la plus élevée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Dans un pays, le nombre de créations d'entreprise augmente $1,5\,\%$ par mois.

En janvier 2018 on compte \np{50000} créations d'entreprise.

On modélise le nombre de créations d'entreprise au $n$-ième mois par une suite $\left(u_n\right)$ telle que \[u_0 = 50 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = u_n \times 1,015,\]

où $u_n$ est exprimé en milliers d'euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?

		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Un journaliste annonce qu'au total dans l'année 2018, près de \np{652000} entreprises se sont
créées.

Donner un calcul permettant de justifier les propos du journaliste.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\Oij{} est un repère orthonormé du plan.

On considère les points A, B et C de coordonnées respectives $(-2~;~0)$, (6~;~0) et (0~;~6).

Les points A$'$, B$'$ et C$'$ milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].

Le cercle $\Gamma$ passant par les points A$'$, B$'$ et C$'$ a pour centre le point I de coordonnées (1~;~2).


\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.5,-0.75)(7.1,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=0.6pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3.5,-0.5)(7,6.5)
\psaxes[linewidth=0.6pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\pspolygon(-2,0)(6,0)(0,6)
\psdots(-2,0)(6,0)(0,6)(1,2)(3,3)(-1,3)
\uput[ul](-2,0){A}\uput[ur](6,0){B}\uput[ur](3,3){A$'$}\uput[ur](0,6){C}\uput[ul](-1,3){B$'$}
\uput[ur](1,2){I}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\pscircle(1,2){2.23607}\uput[r](3,1){$\Gamma$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le rayon de ce cercle.
		\item En déduire qu'une équation du cercle $\Gamma$ est $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$. 
	\end{enumerate}
\item  Propriété des hauteurs du triangle ABC
	\begin{enumerate}
		\item On admet que O est le pied de la hauteur issue de C. 
		
Montrer que le point O est sur le cercle $\Gamma$.
		\item Soit H$_{\text{A}}$ le pied de la hauteur issue de A. 
		
Montrer que H$_{\text{A}}$ a pour coordonnées (2; 4). 
		\item Justifier que la point H$_{\text{A}}$ est sur le cercle $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}