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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 64}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 64 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions.Les questions sont indépendantes.}

\emph{Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.}

\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondant à la réponse choisie.}
\emph{Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.}
\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de
réponse n’apporte ni ne retire de point.}

\medskip

\textbf{Question 1}


\begin{minipage}[]{3.3cm}
On donne ci-contre la courbe représentative
$\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$.
Cette courbe a une tangente $\mathcal{T}$ au point
$A(-3~;~3)$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[]{11.75cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-4.5,-6.5)(4.5,21)
 \multido{\n=-4+1}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-6)(\n,20.2)}
\multido{\n=-6+1}{27}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](-4.1,\n)(4.2,\n) }
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=5]{->}(0,0)(-4.2,-6)(4.3,20.6)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-4}{4}{x  x mul  0.33333 mul  4 sub x mul}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=amethyst,plotpoints=5000]{-4}{0.2}{x  5 mul  18 add}
\uput[ul](-3,3){A}\psdot[dotstyle=+,dotscale =1.74,dotangle=45](-3,3)
\uput[dl](3.8,5){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[ur](0.2,18){$\mathcal{T}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

L’équation réduite de cette tangente est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y =\dfrac{1}{5}x - 3,7$ &\textbf{b.~~} $ y =\dfrac{1}{5} x + 18$&\textbf{c.~~}$y = 5x + 18$& \textbf{d.~~} $y = 5x -3,7$.
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}
\medskip 

On reprend la fonction $f$ de la question précédente. La représentation graphique de sa
fonction dérivée est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-4.5,-5)(4.5,5.5)
\psaxes[linewidth=0.95pt,labels=x,Dy=10]{->}(0,0)(-4.2,-6)(4.3,6)
\psplot[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-4}{4}{x  x mul  0.33333 neg mul  4 add x mul }
\end{pspicture}
&\textbf{b.~~}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(4.5,5.5)
\psaxes[linewidth=0.95pt,labels=x,Dy=10]{->}(0,0)(-4.2,-4.6)(4.3,4.6)
\psplot[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-3}{3}{x  x mul  4 sub  }
\end{pspicture}
\\\hline
\textbf{c.~~}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.5)(4.5,2.5)
\psaxes[linewidth=0.95pt,labels=x,Dy=10]{->}(0,0)(-4.2,-2)(4.3,5)
\psplot[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-2}{2}{x  x mul    1 sub }
\end{pspicture}
& \textbf{d.~~}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(4.5,5.5)
\psaxes[linewidth=0.95pt,labels=x,Dy=10]{->}(0,0)(-4.2,-4.6)(4.3,4.6)
\psplot[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-3}{3}{x  x mul   neg   4 add  }
\end{pspicture}
\\\hline
\end{tabularx}

\medskip
\textbf{Question 3}
\medskip 

L’expression $\cos(x + \pi) + \sin (x +\frac{\pi}{2})$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $-2 \cos(x)$ &\textbf{b.~~} $0 $&\textbf{c.~~}$\cos(x) + \sin (x)$& \textbf{d.~~} $2\cos(x)$.
\end{tabularx}
 
\medskip
\textbf{Question 4}
\medskip 

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par
$f (x) = -2x^2 + 4x + 6$.

Cette fonction est strictement positive sur l’intervalle :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $] -\infty ; -1[\cup ]3; +\infty[$ &\textbf{b.~~}$] -1 ; 3[ $&\textbf{c.~~}$] - \infty; -3[ \cup  ]1; +\infty[$& \textbf{d.~~}$] - 3 ; 1[$ .
\end{tabularx}


\medskip
\textbf{Question 5}
\medskip 

On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = (2x -1)\e^x$ .

La fonction dérivée de la fonction $h$ est définie sur $\R$ par :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $h'(x) = 2\e^x$  &\textbf{b.~~}$h'(x) = (2x + 1)\e^x$ &\textbf{c.~~}$ h'(x) = (2x -1)e^x$& \textbf{d.~~} $h'(x) = -e^x$.
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}
  
\medskip

Un globe-trotter a comme objectif de parcourir \np[km]{2000}  à pied. Il peut parcourir \np[km]{50}  en
une journée, mais, la fatigue s'accumulant, la distance qu'il parcourt diminue de 2\,\% chaque
nouvelle journée.

On note la distance $d_n$ la distance parcourue durant le $n$-ième jour.

Le premier jour de son périple, il parcourt donc $d_1 = \np[km]{50}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance parcourue le deuxième jour.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ? Donnez ses éléments caractéristiques.
\item Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, déterminer l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
\item Pour calculer le nombre de jours qu’il faudra au globe-trotter pour atteindre son objectif, on
a écrit le programme Python suivant :

\begin{python}
def nb jours :
	j=1
	u=50
	S=50
	While ...... :
		u=0,98*u
		S=S+u
		j=...... 
	return j
\end{python}

Compléter les deux lignes incomplètes de ce programme.

\item \begin{minipage}[t]{4cm}

À l’aide de l’extrait de tableur ci-contre, déterminer
quand le globe-trotter aura atteint son objectif.
\end{minipage}\hspace{2.01cm}
\begin{minipage}[t]{9.215cm}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}m{0.35cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{lightgray}&A&\cellcolor{aliceblue}B&C\\\hline
1&\cellcolor{lightgreen}j&\cellcolor{lightgreen}u&\cellcolor{lightgreen}s\\\hline
2&1&50&50\\\hline
\multicolumn{4}{c}{}\\\hline
76&75&11&\np{1951}\\\hline
77&76&11&\np{1962}\\\hline
78&77&11&\np{1972}\\\hline
79&78&11&\np{1983}\\\hline
80&79&10&\np{1993}\\\hline
81&80&10&\np{2003}\\\hline
82&81&10&\np{2013}\\\hline
\end{tabularx}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}
  
\medskip


Soit \Oij{} un repère orthonormé.

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre A(2~;~5) et de rayon 5

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation du cercle $\mathcal{C}$ est : $x^2 + y^2 - 4x - 10y= -4$.
\item Vérifier que le point $B(5~;~9$) appartient à ce cercle.
\item Que peut-on dire de la tangente au cercle au point B et de la droite (AB) ?
\item Déterminer une équation de la tangente au cercle au point B.
\item Calculer les coordonnées des points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}

\medskip

Lors des journées classées \og rouges \fg{} selon Bison Futé, l’autoroute qui relie Paris à Limoges
en passant par Orléans est surchargée.

Lors de ces journées classées \og rouges \fg{}, on a pu observer le comportement des
automobilistes faisant le trajet de Paris à Limoges en passant par Orléans.
\begin{itemize}
\item Pour le trajet de Paris à Orléans, 30\,\% d’entre eux prennent la route nationale, les
autres prennent l’autoroute.

\item Pour le trajet d’Orléans à Limoges :

\begin{itemize}
\item  parmi les automobilistes ayant pris la route nationale entre Paris et Orléans,

40\,\% prennent la route départementale, les autres prennent l’autoroute ;

 \item parmi les automobilistes n’ayant pas pris la route nationale entre Paris et Orléans, 
 
45\,\% prennent la route départementale, les autres prennent l’autoroute.
\end{itemize}
\end{itemize}
On choisit un automobiliste au hasard parmi ceux effectuant, en journée classée rouge, le
trajet Paris – Limoges en passant par Orléans.

On note $N$ l’événement \og l’automobiliste prend la route nationale entre Paris et Orléans \fg{}
et $D$ l’événement \og l’automobiliste prend la route départementale entre Orléans et
Limoges \fg.

Si $A$ est un évènement, on note $\overline{A}$ l’évènement contraire de A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier sur la copie et compléter l’arbre ci-dessous.
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$N$~~}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$D$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{N}$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$D$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}



\item Calculer $p\left(\overline{N}\cap \overline{D}\right)$  et interpréter le résultat.
\item Montrer que la probabilité que l’automobiliste ne choisisse pas la Route Départementale
entre Orléans et Limoges est 0,565.
\end{enumerate}
Lors de ces journées classées \og rouges \fg, on donne les temps de parcours suivants :

Paris – Orléans, par autoroute : 3 heures ;

Paris – Orléans, par nationale : 2 heures ;

Orléans – Limoges, par autoroute : 4 heures ;

Orléans – Limoges, par départementale : 3 heures et demie.
\begin{enumerate}[resume]
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, qui donne pour chaque trajet, le temps en
heure et la probabilité :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Évènement 		&$N\cap D$ &$N\cap \overline{D}$ &$\overline{N}\cap D$& $\overline{N}\cap\overline{D}$\\\hline
Temps en heure 	& 5,5 &&&\\\hline
Probabilité 	&0,12&&&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer l’espérance de la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure et en
donner une interprétation.
\end{enumerate}% …
\end{document}