\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Polynésie 6 mai 2022 sujet 1}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{5 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 5 mai 2022~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ sujet \no 2}} \bigskip Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures} \medskip L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé \medskip Le sujet propose 4 exercices Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 7 points\hfill Thèmes : fonctions, primitives, probabilités} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. \\ Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par: \[f(x) = x \ln(x) - x + 1.\] Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de $f$? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline \textbf{a.~~} $\ln (x)$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{x} - 1$&\textbf{c.~~} $\ln (x) - 2$&\textbf{d.~~}$\ln (x) - 1$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = x^2[1 - \ln (x)]$. Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline \textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty$&\textbf{b.~~} $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - \infty$&\textbf{c.~~} $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = 0$&\textbf{d.~~} La fonction $g$ n'admet pas de limite en 0.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 - 0,9x^2 -0,1x$. Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur $\R$ est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline \textbf{a.~~} $0$&\textbf{b.~~}$1$&\textbf{c.~~} $2$&\textbf{d.~~}$3$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Si $H$ est une primitive d'une fonction $h$ définie et continue sur $\R$, et si $k$ est la fonction définie sur $\R$ par $k(x) = h(2x)$, alors, une primitive $K$ de $k$ est définie sur $\R$ par : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline \textbf{a.~~} $K(x) =H(2x)$&\textbf{b.~~}$K(x) =2H(2x)$&\textbf{c.~~} $ K(x) =\dfrac{1}{2}H(2x)$&\textbf{d.~~}$K(x) =2H(x)$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x$ est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline \textbf{a.~~} $y = \text{e}x + \text{e}$&\textbf{b.~~}$y =2\text{e}x - \text{e}$&\textbf{c.~~} $y = 2\text{e}x + \text{e}$&\textbf{d.~~}$y = \text{e}x$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Les nombres entiers $n$ solutions de l'inéquation $(0,2)^n < 0,001$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline \textbf{a.~~} $n \leqslant 4$&\textbf{b.~~}$n\leqslant 5$&\textbf{c.~~} $n \geqslant 4$ &\textbf{d.~~}$n \geqslant 5$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 7 points\hfill Thèmes : probabilités} \medskip Les douanes s'intéressent aux importations de casques audio portant le logo d'une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d'estimer que: \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 20\,\% des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ; \item[$\bullet~~$] 2\,\% des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;\item[$\bullet~~$] 10\,\% des casques contrefaits présentent un défaut de conception. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} L'agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les évènements suivants: \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $C$: \og le casque est contrefait \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $D$: \og le casque présente un défaut de conception \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $\overline{C}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les évènements contraires de $C$ et $D$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire. \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(C \cap D)$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré. \item Démontrer que $P(D) = 0,036$. \item Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu'il soit contrefait ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip On commande $n$ casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, $n = 35$. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,~p)$ où $n = 35$ et $p = 0,036$. \item Calculer la probabilité qu'il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception. \item Calculer $P(X \leqslant 1)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $n$ n'est pas fixé. Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieur à $0,99$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 7 points\hfill Thèmes : suites, fonctions} \medskip Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait $40$ individus. L'observation conduit à modéliser l'évolution de la population par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0&=&40\\ u_{n+1}&=&0,008u_n\left(200 - u_n\right) \end{array}\right.\] où $u_n$ désigne le nombre d'individus au début de l'année $(2021+n)$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022. \end{enumerate} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par $f(x) = 0,008x(200 - x)$. \begin{enumerate}[resume] \item Résoudre dans l'intervalle [0~;~100] l'équation $f(x) = x$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~100] et dresser son tableau de variations. \item En remarquant que, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 100.\] \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant: \begin{center} \fbox{\begin{tabular}{l} def seuil(p) :\\ \qquad n=0\\ \qquad u = 40\\ \qquad while u < p :\\ \quad \qquad n =n+1\\ \quad \qquad u = 0.008*u*(200-u)\\ \qquad return(n+2021)\\ \end{tabular}} \end{center} L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l'aide de la question 3. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 7 points\hfill Thèmes : géométrie dans le plan et dans l'espace} \medskip On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;\, \vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$. Le point I est le milieu du segment [EF], K le centre du carré ADHE et O le milieu du segment [AG]. \begin{center} \psset{unit=0.9cm,radius=0pt} \begin{pspicture}(0,-1)(9,7) %%%%%%%%%%%%%%%%% \Cnode*(0.5,0.4){A} \Cnode*(5.5,0){B} \Cnode*(7.5,1.4){C} \Cnode*(2.5,1.8){D} \Cnode*(0.5,5.4){E} \Cnode*(5.5,5){F} \Cnode*(7.5,6.4){G} \Cnode*(2.5,6.8){H} \Cnode*[radius=2pt](3,5.2){I}% milieu de [EF] \Cnode*[radius=2pt](1.5,3.6){K}% milieu de [ED] \Cnode*[radius=2pt](4,3.4){O}% centre du cube %%%%%%%%%%%%%%% \uput[dl](A){A} \uput[dr](B){B} \uput[r](C){C} \uput[ur](D){D} \uput[ul](E){E} \uput[u](F){F} \uput[ur](G){G} \uput[u](H){H} \uput[u](I){I} \uput[dr](O){O} \uput[l](K){K} %%%%%%%%%%%%%%% \pspolygon(A)(B)(F)(E) \psline(B)(C)(G)(F) \psline(G)(H)(E) \psline(A)(I)(G) \psline[linestyle=dashed](A)(G) \psline[linestyle=dashed](A)(D)(H) \psline[linestyle=dashed](D)(C) \end{pspicture} \end{center} \emph{Le but de l'exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point B au plan (AIG).} \bigskip \textbf{Partie 1. Première méthode} \medskip \begin{enumerate} \item Donner, sans justification, les coordonnées des points A, B, et G. On admet que les points I et K ont pour coordonnées I$\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right)$ et K$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$. \item Démontrer que la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG). \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (AIG) est : $2x - y - z = 0$. \item Donner une représentation paramétrique de la droite (BK). \item En déduire que le projeté orthogonal L du point B sur le plan (AIG) a pour coordonnées L$\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right)$. \item Déterminer la distance du point B au plan (AIG). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2. Deuxième méthode} \medskip \emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3} \times b \times h$, où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que dans le tétraèdre ABIG, [GF] est la hauteur relative à la base AIB. \item En déduire le volume du tétraèdre ABIG. \end{enumerate} \item On admet que AI = IG $= \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et que AG $= \sqrt 3$. Démontrer que l'aire du triangle isocèle AIG est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ unité d'aire. \item En déduire la distance du point B au plan (AIG). \end{enumerate} \end{document}