\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-node,pst-text,pst-bezier,pst-all}% \usepackage{pst-eucl} %\usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Polynésie 4 mai 2022 sujet 1}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{4 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 4 mai 2022~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ sujet \no 1}} \bigskip Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures} \medskip L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé \medskip Le sujet propose 4 exercices Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 7 points\hfill Thèmes : fonctions, suites} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right).\] Pour tout nombre réel $x$ strictement positif : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~}$g'(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$&\textbf{b.~~}$g'(x) = \dfrac{1}{x^2 + x + 1}$\\[8pt] \textbf{c.~~}$g'(x) = \ln (2x + 1)$&\textbf{d.~~}$g'(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$ \end{tabularx} \end{center} \item La fonction $x \longmapsto \ln (x)$ admet pour primitive sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X} } \textbf{a.~~}$x \longmapsto \ln (x)$&\textbf{b.~~}$x \longmapsto \dfrac{1}{x}$&\textbf{c.~~}$x \longmapsto x \ln (x) - x$&\textbf{d.~~}$x \longmapsto \dfrac{\ln (x)}{x}$ \end{tabularx} \end{center} \item On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout $n$ dans $\N$ par : \[a_n = \dfrac{1 - 3^n}{1 + 2^n}.\] La limite de la suite $\left(a_n\right)$ est égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X} } \textbf{a.~~}$- \infty$&\textbf{b.~~}$- 1$&\textbf{c.~~}$1$&\textbf{d.~~}$+ \infty$ \end{tabularx} \end{center} \item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2~;~2]$. Le tableau de variations de la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$ est donné par : \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.2} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *4{c} c|} \hline x & -2 & \esp & 0 & \esp & 2 \\ % \hline %f'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline & \Rnode{max1}{1} & & & & \Rnode{max2}{-1} \\ \text{variations de }f' & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min}{-2} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2} \rput*(-3.7,0.6){\Rnode{zero}{0}} \rput(-3.7,1.85){\Rnode{alpha}{-1}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero} %\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}} %\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}} %\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} La fonction $f$ est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} convexe sur $[- 2~;~- 1]$&\textbf{b.~~} concave sur [0~;~1]\\ \textbf{c.~~} convexe sur $[- 1~;~2]$&\textbf{d.~~}concave sur $[-2~;~0]$ \end{tabularx} \end{center} \item On donne ci-dessus la courbe représentative de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-2.2,-3.2)(4.2,3.2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.2,-3.2)(4.2,3.2) \psbcurve[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,-3)(-1,0)(0,1)L(0.1,1)(1,0)L(1.5,-1)(2,-1)L(2.1,-1)(3,0)(4,3) %\pscspline[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red](-2,-3)(-1,0)(0,1)(1,0)(2,-1)(3,0)(4,3) \end{pspicture*} \end{center} Par lecture graphique de la courbe de $f'$, déterminer l'affirmation correcte pour $f$ : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} $f$ est décroissante sur [0~;~2]&\textbf{b.~~}$f$ est décroissante sur $[-1~;~0]$\\ \textbf{c.~~}$f$ admet un maximum en 1 sur [0~;2]&\textbf{d.~~}$f$ admet un maximum en 3 sur [2~;~4] \end{tabularx} \end{center} \item Une action est cotée à 57 \euro. Sa valeur augmente de 3\,\% tous les mois. La fonction python seuil() qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200 \euro{} est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\ \fbox{\begin{tabular}{l} def seuil() :\\ \quad m=0\\ \quad v=57\\ \quad while v < 200 :\\ \qquad m=m+1\\ \qquad v = v*1.03\\ \quad return m \end{tabular} } & \fbox{\begin{tabular}{l} def seuil() :\\ \quad m=0\\ \quad v=57\\ \quad while v > 200 :\\ \qquad m=m+1\\ \qquad v = v*1.03\\ \quad return m \end{tabular} } \\ \textbf{c.~~} &\textbf{d.~~} \\ \fbox{\begin{tabular}{l} def seuil() :\\ \quad v=57\\ \quad for i in range (200) :\\ \qquad v = v*1.03\\ \quad return v \end{tabular} } &\fbox{\begin{tabular}{l} def seuil() :\\ \quad m=0\\ \quad v=57\\ \quad if v < 200 :\\ \qquad m=m+1\\ \quad else :\\ \qquad v = v*1.03\\ \quad return m \end{tabular} } \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 7 points\hfill Thèmes : probabilités} \medskip Selon les autorités sanitaires d'un pays, 7\,\% des habitants sont affectés par une certaine maladie. Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20 \,\%$ des cas ; \item[$\bullet~~$] Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1\,\%$ des cas. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Une personne est choisie au hasard dans la population et testée. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $M$ \og la personne est malade \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $T$ \og le test est positif \fg{}. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $M \cap T$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré. \item Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, est de \np{0,0653}. \item Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître $P_M(T)$ ou $P_T(M)$ ? \item On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. \item On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'individus ayant un test positif parmi les 10 personnes. \begin{enumerate} \item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$. \item Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elle ait un test positif, soit supérieur à $99\,\%$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 7 points\hfill Thèmes : suites} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ \[u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. \item Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste($k$) prenne en paramètre un entier naturel $k$ et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_0$ à $u_k$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|X|}\hline 1.&def liste(k) :\\ 2.&\qquad L = []\\ 3.&\qquad u = \ldots\\ 4.&\qquad for i in range(0, k+1) :\\ 5.&\quad \qquad L.append(u)\\ 6.&\quad \qquad u = \ldots\\ 7.&\qquad return(L)\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. \item Déterminer la valeur de sa limite. \item \begin{enumerate} \item Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$. \item Démontrer par récurrence la conjecture précédente. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 7 points\hfill Thèmes : géométrie dans le plan et dans l'espace} \medskip L'espace est rapporté un repère orthonormal où l'on considère : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]les points A$(2~;~-1~;~0)$,\quad B$(1~;~0~;~- 3)$, \quad C$(6~;~6~;~1)$ et E$(1~;~2~;~4)$ ; \item[$\bullet~~$]Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y - z + 4 = 0$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. \item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}}$ puis les longueurs BA et BC. \item En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie au degré. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan ABC. \item En déduire une équation cartésienne du plan ABC. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan ABC et passant par le point E. \item Démontrer que le projeté orthogonal H du point E sur le plan ABC a pour coordonnées $\left(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$. \end{enumerate} \item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base. Calculer l'aire du triangle ABC puis démontrer que le volume de la pyramide ABCE est égal à $16,5$ unités de volume. \end{enumerate} \end{document}