\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} % Tapuscrit Vincent Tolleron \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Mercatique} \rhead{\small A. P. M. E. P.} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Antilles-Guyane juin 2008~\decofourright\\ Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip %Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). % %Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. % %On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. % %\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire $0,5$~point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.} % %\medskip \textbf{I.} %Le nombre $\text{e}^{\frac{2}{3}} \times \text{e}^{\frac{1}{3}}$ est égal à : Réponse \textbf{a.} : $\text{e}^{\frac{2}{3}} \times \text{e}^{\frac{1}{3}} = \text{e}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = \text{e}^{1} = \text{e}$. %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.}~~ e &\textbf{b.}~~ $1$&\textbf{c.} ~~$\text{e}^{\frac{2}{9}}$\\ %\end{tabularx} \medskip \textbf{II.} %Une société de crédit propose un prêt à intérêts composés dont le taux mensuel est de 0,9\,\%. Le taux annuel correspondant, arrondi à 0,1\,\%, est : Réponse \textbf{a.} : augmenter 12 fois de 0,9\,\%, c'est multiplier par $1,009^{12} \approx 1,114$ soit un taux de 11,4\,\% annuel. %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.}~~ 10,8\,\% &\textbf{b.}~~12,1\,\%&\textbf{c.} ~~11,4\,\%\\ %\end{tabularx} \medskip \textbf{III.} %Le tableau ci-dessous donne les résultats d'un groupe de candidats à un examen en fonction de l'étude de leur première langue vivante. Réponse \textbf{c.} : la probabilité de rencontrer un élève reçu et étudiant l'allemand est $\dfrac{68}{117 + 68 + 33} = \dfrac{68}{218} \approx \np{0,3119} \approx 0,312$. %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\cline{2-4} %\multicolumn{1}{c|}{}& Anglais& Allemand& Russe\\ \hline %Admis &117& 68& 33\\ \hline %Refusé &16& 9& 7\\ \hline %\end{tabularx} %\medskip % %On rencontre au hasard un candidat. Il dit qu'il est admis. La probabilité que sa première langue étudiée soit l'allemand est à $10^{-3}$ près : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.}~~ 0,272 &\textbf{b.}~~0,883&\textbf{c.} ~~0,312\\ %\end{tabularx}\\ \textbf{IV.} %Une entreprise étudie l'évolution du nombre de ses clients. Elle a recensé les résultats dans le tableau suivant : %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline %Année&2002& 2003& 2004& 2005& 2006\\ \hline %Rang de l'année $x_{i}$&1& 2& 3&4&5\\ \hline %Nombre de clients $y_{i}$&120& 126&130&135&142\\ \hline %\end{tabularx} %\medskip \begin{enumerate} \item %Une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est : Réponse \textbf{b.} : (calculatrice ou par le calcul on disqualifie la première et la troisième équation) \medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.}~~ $y= - 0,19x+21,44$ &\textbf{b.}~~$y=5,3x+ 114,7$&\textbf{c.} ~~$y=5,3x - \np{10490,6}$\\ %\end{tabularx} \item %On choisit de réaliser un ajustement du nuage de points de la série précédente par la courbe d'équation $y = 115,44 \times 1,04^x$. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, une estimation du nombre de clients en 2008 est de : Réponse : \textbf{b.} 2008 correspond à $x = 7$, d'o\`u $y = 115,44 \times 1,04^{7} \approx 151,911 \approx 152$. %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} %\textbf{a.}~~ 158 &\textbf{b.}~~152&\textbf{c.} ~~840\\ %\end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip %Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à \np{2000}~pièces. Le prix de vente de $100$~pièces est fixé à \np{15000}~\euro. % %La recette en milliers d'euros, obtenue pour la vente de $x$ centaines de pièces est donc $R(x) =15x$. % %Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphique $R_{1}$ de la fonction $R$ et la représentation graphique $C_{1}$ de la fonction coût de production notée $C$ sur l'intervalle [0~;~ 20]. % %\medskip \textbf{Partie A : lectures graphiques} \medskip %Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : % %\medskip \begin{enumerate} \item %Quel est le coût de production de $900$~pièces ? On lit pour $x = 9$, $y = 120$ milliers d'euros. \item %Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de \np{90000}~\euro ? Inversement 90 milliers d'euros correspondent à une production de 7 centaines de pièces, soit 700~pièces. \item %Combien l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre de pièces pour être bénéficiaire ? On voit que la droite est au dessus de la courbe lorsque $2 < x <14$. Il faut qu'elle fabrique entre 200 et \np{1400} pièces pour être bénéficiaire. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %On admet que la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0 ; 20] est donnée par : % %\[C(x) = 0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5\ln (x + 1).\] % %On rappelle que le coût de production, en milliers d'euros, est le nombre $C(x),~ x$ étant le nombre de centaines de pièces produites ($x$ est compris entre $0$ et $20$~centaines de pièces). On admet que toutes les pièces produites sont vendues. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que le bénéfice est donné par la fonction $B$, définie sur [0~;~20] par : %\[B(x) = - 0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1).\] On a $B(x) = R(x) - C(x) = 15x - \left(0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5\ln (x + 1) \right) = - 0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1)$. %On note $B'$ la fonction dérivée de $B$ sur l'intervalle [0~;~20]. \item %Calculer $B'(x)$. Sur [0~;~20], $B'(x) = - 2 \times 0,5x + 8,5 - 4,5 \times \dfrac{1}{x + 1} = - x + 8,5 - \dfrac{4,5}{x + 1}$. \item %Vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~20], $B'(x) = \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x + 1}$. On a $\dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x + 1} = \dfrac{8x - x^2 + 4 - 0,5x}{x + 1} = \dfrac{- x^2 + 7,5x + 4}{x + 1}$. D'autre part $B'(x) = - x + 8,5 - \dfrac{4,5}{x + 1} = \dfrac{(- x + 8,5)(x + 1) - 4,5}{x + 1} = \dfrac{- x^2 - x + 8,5x + 8,5 - 4,5}{x + 1} = \dfrac{- x^2 + 7,5x + 4}{x + 1}$. On trouve dans les deux cas la même expression : on peut donc écrire : $B'(x) = \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x + 1}$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Justifier que le signe de $B'(x)$ est celui de $(8 - x)$ sur l'intervalle [0~;~20]. Comme $0\leqslant x \leqslant 20$, on a $1 \leqslant x + 1 \leqslant 21$, donc $x + 1 \geqslant 1 > 0$. Le signe du quotient est celui du numérateur $(x + 0,5)(8 - x)$ \item %En déduire le signe de $B'(x)$ puis le tableau de variation de $B$ sur l'intervalle [0~;~20]. Un tableau de signes montre que $(x + 0,5)(8 - x)$ s'annule en $- 0,5$ et en $8$, que $(x + 0,5)(8 - x) > 0$ si $- 0,5 < x < 8$ et que $(x + 0,5)(8 - x) < 0$ si $x < - 0,5$ ou si $x > 8$. Sur l'intervalle [0~;~20], la dérivée est donc positive sur [0~;~8], puis négative. D'o\`u le tableau de variations : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5) \psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.15,2.5){$0$} \uput[u](4,2.5){$8$} \uput[u](6.8,2.5){$20$} \uput[u](0.5,1.9){$B'(x)$} \uput[u](2,1.9){$+$}\uput[u](4,1.9){0}\uput[u](5.5,1.9){$-$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) \rput(0.5,1){$B(x)$} \uput[u](1.4,0){$10$}\uput[u](6,0){$- 40 - 4,5\ln 21$} \uput[u](5.3,0.4){$\approx - 53,7$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item %Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ? La fonction $B$ est croissante puis décroissante : il existe donc un maximum obtenu pour $x = 8$ : $B(8) = - 0,5 \times 8^2 + 8,5 \times 8 - 10 - 4,5\ln (8 + 1) = - 32 + 68 - 10 - 4,5 \ln 9 = 26 - 4,5\ln 9 \approx \np{16,1125}$ soit \np{16112,50}~euros. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip %L'entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950. % %La première année d'extraction l'entreprise a récupéré \np{20000}~tonnes de fer. Cependant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d'extraction, de l'appauvrissement du filon, les quantités extraites diminuent de 1\,\% par an. % %On appelle $T_{n}$ le nombre de tonnes extraites l'année $(1950 + n)$. On a donc % %$T_{0} = \np{20000}$. % %\medskip %\emph{Les résultats seront arrondis à la tonne.} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que $T_{1} = \np{19800}$ puis calculer $T_{2}$ et $T_{3}$. $T_{1} = \np{20000} - 0,01\np{20000} = (1 - 0,01)\np{20000} = 0,99 \np{20000} = \np{19800}$. \item %Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_{n}$. Chaque année la production diminue de 1\,\%, donc $T_{n+1} = (1 - 0,01)T_{n} = 0,99T_{n}$. \item %Quelle est la nature de la suite $\left(T_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $T_{n}$ en fonction de $n$. La relation précédente signifie que la suite $\left(T_{n}\right)$ est géométrique de raison 0,99 et de premier terme $T_{0} = \np{20000}$. On sait qu'alors $T_{n} = T_{0} \times q^n = \np{20000} \times 0,99^n$. \item %Quelle est la quantité extraite en 2008 ? La quantité extraite en 2008 est $T_{58} = \np{20000} \times 0,99^{58} \approx \np{11165,3} \approx \np{11165}$. \item %Montrer que la quantité totale extraite entre 1950 et l'année $(1950 + n)$ est : %\[S_{n} = \np{2000000} \times \left(1 - 0,99^{n+1}\right).\] $S_{n} = = T-0 + T_{1} + \cdots + T_{n} = \np{20000} + \np{20000}\times 0,99 + \np{20000} \times 0,9^2 + \cdots + \np{20000} \times 0,9^n = \np{20000}\left(1 + 0,9 + 0,99^2 + \cdots + 0,99^n \right)$. La somme des termes de la parenthèse est la somme des $n + 1)$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 0,99. On sait que cette somme est égale à $\dfrac{1 - 0,99^{n+1}}{1 - 0,99} = \dfrac{1 - 0,99^{n+1}}{0,01} = 100\left(1 - 0,99^{n+1} \right)$. Donc $S_{n} = \np{20000} \times 100\left(1 - 0,99^{n+1} \right) = \np{2000000} \times \left(1 - 0,99^{n+1}\right)$. \item %En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait \np{1000000} de tonnes de métal, En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé ? Il faut résoudre l'équation : $\np{2000000}\left(1 - 0,99^{n+1} \right) = \np{1000000}$ c'est-à-dire $1 - 0,99^{n+1} = 0,5$ ou $0,5 = 0,99^{n+1}$ soit en prenant le logarithme : $\ln 0,5 = (n + 1)\ln 0,99$ et enfin $n + 1 = \dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,99} \approx 68,96$. D'o\`u $n \approx 67,96$. Le filon sera épuisé la soixante huitième année soit en 2018. \end{enumerate} %\medskip % %\textbf{Formulaire :} % %\medskip % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item La somme $S$ des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par : % %\[S = u_{0}+u_{1}+ \cdots + u_{n} =(n+1)\times \dfrac{u_{0}+ u_{1}}{2}.\] % %\item La somme $S$ des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q\: (q > 1)$ est %donnée par : % %\[S = u_{0}+u_{1}+ \cdots + u_{n}= u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\] % %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \medskip %\textbf{Évolution de la population en France} % %\medskip % %\emph{Le tableau ci-dessous est extrait d'une feuille de calcul d'un tableur.} % %\emph{Il donne les populations urbaine et rurale françaises, en millions de personnes, entre 1954 et 1999.} % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{c|}*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %&A&B&C&D&E&F\\ \hline %1&\multicolumn{6}{c|}{Populations urbaine et rurale en France métropolitaine}\\ \hline %2&&Population& Population& Population& Taux de& Indice de\\ %\multirow{2}{0.2cm}{3}&\multirow{2}{0.5cm}{}&urbaine& rurale& totale& population& population\\ %&&(en millions)& (en millions)& (en millions)& urbaine (en \%)& urbaine\\ \hline %4&1954& 24,5& 18,2& 42,7& 57,4& 100\\ \hline %5&1962& 29,4& 17,1& & &\\ \hline %6&1968& 34,8& 14,9& & &\\ \hline %7&1975& 38,4& 14,2& & &\\ \hline %8&1982& 39,9& 14,5& & &\\ \hline %9&1990& 41,9& 14,7& & &\\ \hline %10&1999& 44,2& 14,3& & &\\ \hline %11&&&&&&\\ \hline %12&\multicolumn{6}{c|}{Source INSEE, recensement de la population}\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip % %\textbf{Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage et on arrondira les indices et les pourcentages au dixième.} \begin{enumerate} \item %Calculer pour l'année 1962 le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale. Le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale est égal à : $\dfrac{29,4}{29,4 + 17,1} = \dfrac{29,4}{46,5} \approx 0,632$ soit 63,2\,\%. \item %On fixe l'indice de population urbaine à la base 100 en 1954. Quel est l'indice de population urbaine en 1962 ? En 1982 ? L'indice en 1962 est égal à $\dfrac{29,4}{24,5}\times 100 = 120$. L'indice en 1982 est égal à $\dfrac{39,9}{24,5}\times 100 \approx 161,18 \approx 161,2$. \item %On s'intéresse dans cette question à l'évolution de la population totale. \begin{enumerate} \item %Montrer qu'avec l'arrondi fixé le taux d'évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est 37\,\%. En 1999 la population totale est égale à $44,2 + 14,3 = 58,5$. Le taux d'évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est $\dfrac{58,5}{42,7} - 1 \approx 0,370$, soit 37\,\%. \item %En déduire le taux annuel moyen d'augmentation entre 1954 et 1999. Le taux annuel moyen d'augmentation sur ces 45 années est le nombre $t$ tel que $t^{45} = 1,37$ soit $t = 1,37^{\frac{1}{45}} \approx \np{1,0070}$, ce qui correspond à un taux moyen annuel de 0,7\,\%. \item %Donner des formules à insérer dans la feuille de calcul précédente qui, entrées dans les cellules D5, E5 et F5, permettent par recopie vers le bas d'obtenir la plage des cellules D5 : F10. Formule : = B5/B\$4*100 \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 2} \end{flushleft} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(21,320) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-10)(21,320) \multido{\n=0+0.5}{43}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,320)} \multido{\n=0+10}{33}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.6pt](0,\n)(21,\n)} \uput[d](21,0){$x$} \uput[l](0,320){$y$} \uput[u](18,0){Nombre de centaines de pièces}\rput{90}(-2.5,300){milliers d'euros} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=6000]{0}{18.5}{x 2 exp 0.5 mul 6.5 x mul add 10 add x 1 add ln 4.5 mul add} \psplot{0}{20}{15 x mul} \uput[d](19,280){$R_{1}$} \uput[d](19,320){$C_{1}$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}