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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small BaccalauréŽat  STG Mercatique}
\lfoot{\small{MéŽtropole}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STG Mercatique MéŽtropole~\decofourright\\septembre 2008}} 

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisŽée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un test vrai/faux.}
%
%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des quatre propositions, relever le numéro de la proposition et dire si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
%
%\emph{Une réponse juste rapporte $1,5$ point ; une réponse fausse enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\medskip
%
%Un groupe d'élèves décide de faire des gâteaux et de les vendre pour récolter de l'argent pour tir voyage scolaire.
%
%Ils pensent confectionner des gâteaux au yaourt et des gâteaux au chocolat, et les vendre respectivement 6~\euro{} et 8~\euro{} pièce. Ils disposent en quantités nécessaires des yaourts, du chocolat, du beurre, de la levure et de l'huile, mais n'ont que 4,8~kg de farine, 5,4~kg de sucre et 150~{\oe}ufs.
%
%\medskip
%
%La préparation d'un gâteau au yaourt nécessite 240~g de farine, 240~g de sucre et 3~{\oe}ufs. 
%
%La préparation d'un gâteau au chocolat nécessite 80~g de farine, 150~g de sucre et 6~{\oe}ufs.
%
%\medskip
%
%Les élèves notent $x$ le nombre de gâteaux au yaourt fabriqués, et $y$ le nombre de gâteaux au chocolat fabriqués. Ils supposent que tous les gâteaux fabriqués seront vendus. Ils souhaitent gagner le plus d'argent possible.
%
%Ils réalisent un graphique permettant de traiter ce problème. Ce graphique est donné à la page suivante.
%
%Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives (0~;~25), (10~;~20), $\left(\dfrac{120}{7}~;~\dfrac{60}{7}\right)$ 	et (20~;~0).
%
%Les couples d'entiers $(x~;~y)$ respectant les contraintes sont les coordonnées des points à coordonnées entières situés à l'intérieur du pentagone OABCD ou sur ses côtés.
%
%La droite d'équation $6x + 8y =  160$ est tracée en pointillés. Elle correspond aux cas où la recette est de 160~\euro.
%
%\bigskip

\textbf{Proposition 1 :} %La contrainte liée à la quantité de farine disponible peut se traduire par : $3x + y \leqslant 60$.
Vraie

\textbf{Proposition 2 :} %La droite (BC) est associée à la contrainte liée au nombre d'{\oe}ufs.
Fausse

\textbf{Proposition 3 :} %En fabriquant 19~gâteaux au yaourt et 4~gâteaux au chocolat, toutes les contraintes sont respectées.
Fausse

\textbf{Proposition 4 :} %En respectant toutes les contraintes, le maximum d'argent gagné lors de la vente sera de 220~\euro.
Vraie

\medskip

%\psset{unit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(24,26)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-1)(24,26)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(24,26)
%\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,25){A} \uput[ur](10,20){B}\uput[ur](17.4,8.57){C} \uput[ur](20,0){D}
%\psline[linestyle=dashed](-1,20.75)(24,2)
%\psline(-1,25.5)(24,13)%(AB)
%\psline(6.25,26)(23.125,-1)%(BC)
%\psline(11.333,26)(20.333,-1)%(CD)
%\uput[d](23,0){$x$} \uput[l](0,26){$y$} 
%\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

%\emph{On rappelle que si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si $v$ ne s'annule pas sur I, alors la fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur I et sa fonction dérivée est donnée par la formule : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' =	\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.}
%
%\medskip
%
%On se propose d'étudier la capacité pulmonaire moyenne de l'être humain de 10 à 90 ans.
%
%On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle [10~;~90] par
%\[ f(x) = \dfrac{110 \ln (x) - 220}{x}.\]
%On admet que, pour un être humain d'âge $x$, en années, appartenant à l'intervalle [10 ~;~ 90], sa capacité pulmonaire moyenne, en litres, peut être modélisée par $f(x)$.
%
%Une représentation graphique de la fonction $f$  est donnée ci-dessous.
%
%\medskip
%
%\psset{xunit=0.12cm,yunit=1cm}
%\begin{pspicture}(100,6)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10]{->}(0,0)(100,6)
%%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(100,6)
%\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
%\multido{\n=0+2}{50}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
%\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
%\multido{\n=0+0.2}{30}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
%\uput[d](100,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{10}{90}{x ln 110 mul 220 sub x div}
%\end{pspicture}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  %Répondre avec la précision permise par la représentation graphique.
	\begin{enumerate}
		\item  %À quel âge la capacité pulmonaire moyenne est-elle maximale ?
À 20 ans et cette capacit\'e est d'environ 5,5 litres.		
%Quelle est cette capacité maximale ?
		\item  %À quels âges la capacité pulmonaire moyenne est-elle supérieure ou égale à 5~litres ?
De 14 \`a 33 ans.
	\end{enumerate}
\item %On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [10~;~90], 
		
%$f^{\prime}(x) = \dfrac{110(3 - \ln (x))}{x^2}$.
On a $f'(x) = \dfrac{\fra	c{110}{x} \times x - (110|n x - 220) \times 1}{x^2} = \dfrac{110(3 - \ln x}{x^2}$.
		\item  %Résoudre sur l'intervalle [10~;~90] l'équation $3- \ln(x) = 0$.
$3- \ln(x) = 0$ si et seulement si $3 = \ln x$ ou $\text{e}^3 = \text{e}^{\ln x} = x$.

$S = \left\{\text{e}^3 \right\}$. ($\text{e}^3 \approx 20,1$)
%Donner une valeur arrondie de la solution au dixième.
		\item  %On considère sur l'intervalle [10~;~90] l'inéquation $3 - \ln (x) > 0$.
De fa\c{c}on analogue \`a l'\'equation  :

$3 - \ln (x) > 0 $ soit $3 > \ln (x)$ et $x < \text{e}^3$.

Donc $S = \left[10~;~\text{e}^3\right[$.		
%Montrer que l'ensemble des solutions de cette inéquation est 
$\left[10~;~\text{e}^3\right[$.

%En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [10~;~90].
Comme $110 > 0$ et $x^2 > 0$ quel que soit $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $3 - \ln x$ et d'apr\`es la question pr\'ec\'edente :

$\bullet~~$f'(x) > 0$  sur $\left[10~;~\text{e}^3\right[$ ;

$\bullet~~$f'\left(\text{e}^3\right) = 0$ ;

$\bullet~~$f'(x) < 0$ sur $\left]\text{e}^3~;~90]$.
		\item  %Indiquer comment retrouver les résultats de la question \textbf{1.}$.
		De la question pr\'ec\'edente on d\'eduit que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[10~;~\text{e}^3\right[$, est d\'ecroissante sur $\left]\text{e}^3~;~90]$ ; elle admet donc un maximum $f\left(\text{e}^3\right) = 110\text{e}^{-3} \approx 5,47 \approx 5,5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

%Les rations journalières conseillées sur des sacs de croquettes pour chien des marques Topdog et Friskas sont données ci-dessous.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.1cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Poids du chien $x_{i}$ (kg)					&5		&	10&15	&30	&40	&60\\ \hline
%Ration journalière conseillée $y_{i}$, (g)	&50 	&90	&120	&200&250&340\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

%\textbf{Les parties I et II sont indépendantes.}
%
%\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer s'il y a proportionnalité entre le poids du chien et la ration journalière conseillée.
Il n'y a pas proportionnalité : si c'\'etait le cas la ration pour un chien de 10~kg devrait \^etre de 100~g ; elle n'est que de 90.
%Justifier.
\item 	%Le chien de Julie pèse 26~kg. Julie souhaite calculer la ration journalière conseillée.

%Une représentation graphique du nuage de points $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ est donnée ci-dessous.
\end{enumerate}

\medskip
	
\psset{xunit=0.171cm,yunit=0.0333cm}
\begin{pspicture}(0,-20)(70,360)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(70,360)
\multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,360)}
\multido{\n=0+1}{70}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,360)}
\multido{\n=0+20}{19}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)}
\multido{\n=0+10}{37}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)}
\psdots[dotstyle=triangle*](5,50)(10,90)(15,120)(30,200)(40,250)(60,340)
\uput[d](70,0){$x$} \uput[l](0,360){$y$}
\psline(0,38)(62,360)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=cyan]{->}(26,0)(26,173)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=cyan]{->}(26,173)(0,173)
\end{pspicture}

\bigskip

%Julie a obtenu par la méthode des moindres carrés la droite d'ajustement de $y$ en $x$, et l'a tracée. Déterminer la ration journalière conseillée pour le chien de Julie.
Graphiquement (voir la figure), elle lit \`a peu pr\`es 173~g (environ 170~g).
\medskip

\textbf{Partie II}

\bigskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{2}{X|}}\hline
%\multicolumn{3}{|c|}{Formulaire}\\ \hline
%Suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de raison $r$&	Premier terme $u_{1},~ u_{n+1}  = u_{n} + r$&$u_{1}+u_{2} +\cdots  +u_{n} = nu_{1}+ \dfrac{n(n-1)r}{2}$\\ \hline 
%Suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q$&Premier terme $u_{1},~u_{n+1} = qu_{n}$&$u_{1}+u_{2} +\cdots  +u_{n}  = u_{1}\dfrac{q^n - 1}{q - 1}$.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Le chien d'Arthur pèse 30~kg et mange des croquettes Topdog.\\
%Arthur décide de changer pour la marque Friskas. Mais la transition doit être progressive.
% 
%Arthur suit les recommandations des deux marques et donne à son chien une ration journalière de 200~g.
%  
%\medskip
%  
%Arthur choisit de donner le premier jour 20~g de croquettes Friskas, et le reste de la ration, soit 180~g, en croquettes Topdog ; puis il étudie deux programmes d'alimentation :
%
%\begin{itemize}
%\item premier programme : augmenter la part de croquettes Friskas de 15~g par jour.
%\item  second programme : augmenter chaque jour de 20\,\% la part de croquettes Friskas présente dans la ration.
%\end{itemize}
%Dans les deux cas, la ration quotidienne reste au total à 200~g.
%
%\medskip
%
%Arthur utilise un tableur pour étudier les deux programmes d'alimentation de son chien. La feuille de calcul est donnée à la page suivante. Le format d'affichage est un format numérique à 0 décimale.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  Premier programme 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une formule qui, entrée dans la cellule B3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B3:B14.
=B2+15		
		\item %Donner une formule qui, entrée dans la cellule C2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules C2:C14.
=200-B2
		\item %Calculer la quantité totale de croquettes Topdog que doit prévoir Arthur dans ce premier programme d'alimentation durant la période de transition.
Arthur	doit prévoir $12 \times \dfrac{180 + 15}{2} = \np{1170}$, soit \np{1170}~g.	
	\end{enumerate}
\item Second programme

	\begin{enumerate}
		\item %Une formule entrée dans la cellule D3 a permis d'obtenir la plage de cellules D3:D16 par recopie vers le bas. Cette formule permet de limiter la ration de croquettes Friskas à 200~g.
		
%Recopier la seule des trois formules ci-dessous qui peut convenir.

%\begin{center}
%	=D2 * 1,20 \quad  SI(D2 * 1,20 > 200; 200; D2 * 1,20)\quad 		= \$D\$2*1,2Â2
%\end{center}
SI(D2 * 1,20 > 200; 200; D2 * 1,20)
		\item 	%Soit $u$ la suite géométrique de premier terme $u_{1} = 20$ et de raison $1,2$.
		
%Calculer la somme des treize premiers termes $u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{13}$.
D'apr\`es le formulaire la somme est \'egale \`a :

$20 \times \dfrac{1,2^{13} - 1}{1,2 - 1} \approx 970$.
		\item 	%Montrer que la quantité totale de croquettes Topdog utilisées pendant la période de transition dans le second programme est à l'unité près égale à \nombre{1630}~g.
On a $13 \times 200 - 970 = \np{1630}$.

On peut \'egalement sommer :

$180 + 176 + 171 + 165 + \ldots + 55 + 22 = \np{1629} \approx \np{1630}$.
	\end{enumerate}
\item	%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%Avant la période de transition, il reste à Arthur un sac de 2~kg de croquettes Topdog. Il souhaite en utiliser le plus possible durant la période de transition entre les deux marques de croquettes. Lequel des deux programmes d'alimentation Arthur choisira-t-il ? Justifier.
Arthur doit utiliser avec le premier programme \np{1170}~g de croquettes Topdog et \np{1630}~g avec le second. Il choisira donc ce dernier. Il ne lui restera que 370~g inutilis\'es.
\end{enumerate}

%\newpage
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
%\begin{tabularx}
%{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D&E\\ \hline
%1&Jour&	 	Premier programme  Quantité de	croquettes Friskas (g)&Premier programme Quantité de croquettes Topdog (g)&Second programme  Quantité de croquettes Friskas (g)&	Second programme
%Quantité de croquettes Topdog (g)\\ \hline
%2&	1&	20	&180		&20	&180\\ \hline
%3&	2&	35	&165		&24	&176\\ \hline
%4&	3&	50	& \ldots	&29	&\ldots\\ \hline
%5&	4&	65	& \ldots	&35&\ldots\\ \hline
%6&	5&	80	& \ldots	&41&\ldots\\ \hline
%7&	6&	95	& \ldots	&50&\ldots\\ \hline
%8&	7&	110	& \ldots	&60&\ldots\\ \hline
%9&	8&	125	& \ldots	&72&\ldots\\ \hline
%10&	9&	140	& \ldots	&86&\ldots\\ \hline
%11&	10&	155	& \ldots	&103&\ldots\\ \hline
%12&	 11&	170	& \ldots	&124&\ldots\\ \hline
%13&	12&	185	& \ldots	&149&\ldots\\ \hline
%14&	13&	200	&	0	&178&22\\ \hline
%15&	 14&		&		&200&0\\ \hline
%16&	15&		&		&200&0\\ \hline
%\end{tabularx}
\end{document}