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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small BaccalauréŽat  STG Mercatique}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréŽat STG Mercatique ~\decofourright\\Nouvelle-Calédonie novembre 2008}} 

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

%La feuille de calcul ci-dessous présente les indices de référence des loyers mensuels pour les années 2002 à 2006 (base 100 en 2004). \emph{Source INSEE}
%
%M. Lasserre y a porté le montant des loyers mensuels de l'appartement qu'il loue ; ce montant évolue chaque année en fonction de l'indice de référence.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(12,3.25)
%%\psgrid
%\rput(6,1.84){\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A					&B		&C		&D		&E	&F\\ \hline
%1&Année				&2002	&2003	&2004	&2005	&	2006\\ \hline
%2&Indice de référence&95,5	&97,7	&100	&	&105,5\\ \hline
%3&Loyer				&334,25	&341,95	&350	&359,10&369,25\\ \hline
%4&Taux d'évolution annuel en pourcentage&	&&&&\\ \hline
%\end{tabularx}}
%\psline(4,0.52)(5.6,1.4) \psline(4,1.4)(5.6,0.52)
%\end{pspicture}
%%\begin{pspicture}(1.6,1.1)
%%\psline(0,1.1)(1.6,0) \psline(0,0)(1.6,1.1)\end{pspicture}
%\medskip

\textbf{Partie A Questionnaire à Choix Multiples}

\emph{Pour chaque question, une seule proposition est exacte. \\
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la lettre indiquant la réponse choisie. \\
Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse est comptée $0$ point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %L'indice 105,5 en 2006 signifie :

%A : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,50 \euro{} entre 2004 et 2006.
%
%B : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5\,\% entre 2002 et 2006.
%
%C : le montant du loyer mensuel a augmenté de 10\,\% entre 2002 et 2006.
%
%D: le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5\,\% entre 2004 et 2006.
Réponse D
\item	%Le taux d'évolution du loyer mensuel entre 2002 et 2003 (à $10^{-2}$ près) est égal à :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%A : + 2,20\,\%&	B : + 2,30\,\%&	C : + 7,70\,\%& 	D : + 2,25 \,\%\\
%\end{tabularx}
On a $\dfrac{97,7}{95,5}\approx 1,02304$ soit à peu près 2,3\,\% : réponse B
\medskip

\item	%On souhaite compléter la ligne 4 ; quelle formule faut-il entrer dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, le taux d'évolution annuel des loyers ?

%
Réponse A.
\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer l'indice de référence pour l'année 2005.
On a $\dfrac{359,10}{350} \times 100 \approx 102,6$.
\item %Calculer le taux moyen annuel d'évolution des loyers mensuels entre 2002 et 2006, arrondi à $10^{-2}$ près.
Il faut trouver le nombre $t$ tel que $t^4 = \dfrac{105,5}{95,5}$ soit le nombre $t = \left(\dfrac{105,5}{95,5} \right)^{\frac{1}{4}}\approx \np{1,02521}$ soit environ 2,52\,\% par an. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

%Un grand journal a fait réaliser en 2006 une enquête sur un échantillon représentatif de la population française des 18--34 ans.
%
%35\,\% des personnes interrogées indiquent que leur principale source d'information est la télévision ; parmi elles, 40\,\% lisent aussi la presse écrite. 
%
%25\,\% des personnes interrogées indiquent que leur principale source d'information est la radio ; parmi elles, 60\,\% lisent aussi la presse écrite.
%
%Les autres personnes interrogées indiquent que leur principale source d'information est l'Internet ; parmi elles, 75\,\% lisent aussi la presse écrite.
% 
%\medskip
%
%On choisit une personne au hasard dans l'échantillon et on note :
% 
%T l'évènement : \og la personne a pour principale source d'information la télévision \fg. 
%  
%R l'évènement: \og la personne a pour principale source d'information la radio \fg. 
%  
%I l'évènement : \og la personne a pour principale source d'information l'Internet \fg.
%  
%E l'évènement : \og la personne lit la presse écrite \fg.
%   
%Pour tout évènement A, on notera $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire et P(A) sa probabilité.

\begin{enumerate}
\item  %À l'aide des informations fournies par le texte, indiquer la valeur de la probabilité conditionnelle P$_{\text{T}}$(E) puis calculer la probabilité conditionnelle P$_{\text{R}}\left(\overline{\text{E}}\right)$.
40\,\% des personnes s'informant par la télévision lisent aussi la presse écrite, donc P$_{\text{T}}$(E) = 0,40.

25\,\% des personnes interrogées indiquent que leur principale source d’information est la radio ; parmi elles, 60\,\% lisent aussi la presse écrite, donc 40\,\% de ces personnes ne la lisent pas, soit P$_{\text{R}}\left(\overline{\text{E}}\right) = 0,40$.
\item  %Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.75pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{T}\taput{0,35}}
	  { 
		  \TR{E}\taput{0,40}
		  \TR{$\overline{\text{E}}$}\tbput{0,60}	   
	  }
	\pstree{\TR{R}\tbput{0,25}}
	  {
		  \TR{E}\taput{0,60}
		  \TR{$\overline{\text{E}}$}\tbput{0,40} 
	  }
	\pstree{\TR{I}\tbput{0,40}}
	  {
		  \TR{E}\taput{$0,75$}
		   \TR{$\overline{\text{E}}$}\tbput{0,25}
	  }	
}
\end{center}

\bigskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Décrire à l'aide d'une phrase l'évènement T $\cap$ E, puis démontrer que 
T $\cap$ E : \og La personne a pour principale source d’information  la télévision et lit aussi la presse écrite. \fg

En suivant la première branche :

P$(\text{T} \cap \text{E}) = \text{P}(\text{T}) \times \text{P}_{\text{T}}(\text{E}) = 0,35 \times 0,40 = 0,14$.		
%P(T $\cap$ E) =  0,14.
		\item  %Calculer la probabilité des évènements R $\cap$ E et I $\cap$ E.
On calcule de la même fa\c{c}on :

P$(\text{R} \cap \text{E}) = \text{R}(\text{T}) \times \text{P}_{\text{R}}(\text{E}) = 0,25 \times 0,60 = 0,15$.

P$(\text{I} \cap \text{E}) = \text{P}(\text{I}) \times \text{P}_{\text{I}}(\text{E}) = 0,40 \times 0,75 = 0,30$.

Or $\text{P}(\text{E}) = \text{P}(\text{T} \cap \text{E}) + \text{P}(\text{R} \cap \text{E}) + \text{P}(\text{I} \cap \text{E}) = 0,14 + 0,15 + 0,30 = 0,59$. 		
%En déduire que P(E) = $0,59$.
	\end{enumerate}
\item	%Calculer la probabilité conditionnelle P$_{\text{E}}$(I), en donnant un résultat approché arrondi à $10^{-2}$ près. 
$\text{P}_{\text{E}}(\text{I}) = \dfrac{\text{P}(\text{E} \cap \text{I})}{\text{P}(\text{I})} = \dfrac{0,40 \times 0,75}{0,60} = 0,50$.		
%Les évènements E et I sont-ils indépendants ? Justifier sa réponse.

On a $\text{P}_{\text{E}}(\text{I}) \neq \text{P}(\text{I})$, donc les évènements ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

%\textbf{Les parties A et B sont largement indépendantes et peuvent être traitées séparément.}
%
%\medskip
%
%Le tableau ci-dessous donne à partir de 1998 le nombre de tués sur les routes françaises.
%
%\emph{(Les valeurs données sont arrondies à la dizaine.)}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Années&1998& 1999&2000&2001& 2002& 2003&2004&2005& 	2006\\ \hline
%Rang de l'année : $x_{i}$& 0& 1&2&3&	4&5&6&7&	8\\ \hline
%Nombre de tués : $y_{i}$&\np{8440} &\np{8030}& 	\np{7640}&\np{7720} &\np{7240}&\np{5800} &\np{5590}&\np{5320} &\np{4700}\\ \hline
%\multicolumn{10}{r}{\footnotesize Insee mars 2007}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%On donne en ANNEXE le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
%
%\medskip

\textbf{Partie A Recherche d'un ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer G sur le graphique de l'ANNEXE.
On calcule $\dfrac{\np{8440} + \np{8030} + \cdots + \np{4700}}{9} = \dfrac{\np{60420}}{9} = \np{6720}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer à l'aide d'une calculatrice une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carres sous la forme $y =  ax + b$. (Les valeurs de $a$ et $b$ seront arrondies à $0,1$ près).
		La calculatrice livre : $y = - 485,2x + \np{8660,7}$ 
		\item  %Tracer la droite (D) d'équation $y = - 485 x + \np{8660}$ sur le graphique de l'ANNEXE.
Voir l'annexe.
	\end{enumerate}
\item	%On admet que la droite (D) réalise un ajustement affine du nuage de points. 
		
%Déterminer graphiquement une estimation du nombre de tués en 2009.
2009 correspond à $x = 11$. on trace la verticale contenant le point de coordonnées (11~;~0) qui coupe la droite D en un point dont l'ordonnée est à peu près égale à \np{3300}. Il devrait y avoir \np{330}~tués en 2009. Voir le graphique ci-dessous
%\emph{On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B Recherche d'un ajustement à l'aide d'une fonction exponentielle}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 20] par 

\[f(x) = \np{8890}\text{e}^{-0,075x}.\]

\begin{enumerate}
\item  \emph{Étude de la fonction} $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur l'intervalle [0~~20].
Sur [0~;~20] on a $f'(x) = \np{8890} \times (- 0,075)\text{e}^{-0,075x} = - 666,75\text{e}^{-0,075x}$.
		\item  %Justifier que la fonction dérivée $f'$ est strictement négative sur l'intervalle [0~;~20].
		On sait que $\text{e}^{-0,075x} > 0$ quel que le nombre $x$ : le signe de $f'(x)$ est celui de $- 666,75$, donc $f'(x) < 0$ sur [0~;~20].
		\item  %En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20].
		D'après le résultat précédent la fonction $f$ est décroissante sur [0~;~20] de $f(0) = \np{8890}$ à $f(20) =  \np{8890}\text{e}^{-0,075 \times 20} = \np{8890}\text{e}^{- 1,5} \approx \np{1983,6}$.
		\item  %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20].
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3)
\psline(0,2)(6,2)\psline(0,2.5)(6,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$0$} \uput[u](5.8,2.4){$20$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,1.25){$-$} \rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(0.5,1.5)(5.5,0.5)
\uput[d](0.5,2){\np{8890}}\uput[u](5.5,0){$\approx \np{1983,6}$} 
\end{pspicture}
\end{center}		
		
	\end{enumerate}

\item	\emph{Représentation de la fonction} $f$
	\begin{enumerate}
		\item  %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant ; on donnera les valeurs approchées entières arrondies à la dizaine la plus proche.
		
\medskip

\begin{tabularx}{1\linewidth}{|*{12}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&0	& 2			&4		   &6&8		&10&12	& 14&16&18&20\\ \hline
$f(x)$&\np{8890}	&\np{7650}	&\np{6590} &\np{5670} &\np{4880}&\np{4200}	&\np{3610}	&\np{3110}&\np{2680}&\np{2300}&\np{1980}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item  %En utilisant les valeurs du tableau de la question précédente, construire la courbe représentative de la fonction $f$ sur le graphique de l'ANNEXE.
Voir ci-dessous.
		\item  %On admet que la fonction $f$ réalise un deuxième ajustement du nuage de points.

%Estimer par la méthode de son choix le nombre de tués en 2009.
En utilisant la même méthode qu'avec la droite D, on trouve ici que la prévision pour 2009 est de \np{3900}~tués.
%\emph{On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires.}

Par le calcul $f(11
 = \np{8890}\text{e}^{-0,075 \times 11} \approx \np{3895,9}~tués.
 	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C Comparaison des deux ajustements}

\begin{enumerate}
\item %À l'aide de l'ajustement affine de la partie A, estimer, par un calcul, en quelle année le nombre de tués sera inférieur à \np{2500}.
Il faut résoudre l'inéquation $- 485 x + \np{8660} < \np{2500}$ soit $\np{8660} - \np{2500} < 485 x$ ou $\np{6160} < 485 x$ soit finalement $\dfrac{\np{6160}}{485}$. On obtient à peu près $x > 12,7$. Il faut donc attendre l'année qui correspond à $x = 13$ soit l'année 2011.
\item %À l'aide de l'ajustement de la partie B, estimer, par un calcul, en quelle année le nombre de tués sera inférieur à \np{2500}.
Avec l'ajustement exponentiel il faut résoudre l'inéquation $\np{8890}\text{e}^{-0,075x} < \np{2500}$ soit $\text{e}^{-0,075x} < \dfrac{\np{2500}}{\np{8890}}$, puis $-0,075 x < \ln \left(\dfrac{\np{2500}}{\np{8890}} \right)$ et enfin $x > \dfrac{1}{0,075}\ln \left(\dfrac{\np{2500}}{\np{8890}} \right)$ soit $x > 16,9$. Il faut donc attendre l'année qui correspond à $x = 17$, c'est-à-dire 2015.
\item %Quel est, parmi les deux ajustements étudiés, celui qui semble le plus réaliste ? Expliquer son choix.
L'ajustement affine correspond mieux à la baisse régulière du nombre de tués.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE : nuage de points de l'exercice 3}

\bigskip

\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.54cm,yunit=0.0022cm}
\begin{pspicture}(-1,-400)(21,9400)
\multido{\n=0+1}{22}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,9400)}
\multido{\n=0+100}{95}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=1000]{->}(0,0)(21,9400)
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.3](0,8440)(1,8030)(2,7640)(3,7720)(4,7240)(5,5800)(6,5590)(7,5320)(8,4700)
\psline(0,8660)(15,1385)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](11,0)(11,3895.9)(0,3895.9)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](11,0)(11,3325)(0,3325)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{20}{8890 2.71828 0.075 x mul exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}