\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{colortbl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\textwidth}{13cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Mercatique} \rhead{A. P. M. E. P.} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small juin 2008} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalaurŽéat STG Mercatique La Réunion~\decofourright\\ juin 2008}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip %Selon l'institut national de la statistique et des études économiques (INSEE) un indice des prix a suivi, en France, l'évolution suivante entre les années 2000 et 2006. % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %Année&2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006\\ \hline %Rang de l'année $x_{i}$& 1& 2& 3& 4& 5& 6&7\\ \hline %Indice $y_{i}$& 100& 101,5& 102,8& 104,0& 107,1& 109,4& 113,5\\ \hline %\multicolumn{8}{r}{\emph{INSEE : formation brute de capital fixe}}\\ %\end{tabularx} % %\medskip % %L'exercice a pour objet d'étudier l'évolution de cet indice en utilisant deux modèles mathématiques. % %Une représentation graphique du nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe 3, à rendre avec la copie. % %\medskip \begin{enumerate} \item Ajustement affine \begin{enumerate} \item %À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième). La calculatrice donne $y = 2,16x + 96,81$. \item %À partir des calculs effectués ci-dessus, on retient comme ajustement affine du nuage de points la droite d'équation $y = 2{,}2x + 96{,}8$. %Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe 3, à rendre avec la copie. Voir l'annexe à la fin. \item %En supposant que ce modèle reste valable pour l'année 2007, donner une prévision de la valeur de l'indice pour 2007. Indiquer la méthode utilisée. l'année 2007 correspond à $x = 8$ ; donc $y = 2,2 \times 8 + 96,8 = 114,4$. On peut aussi trouver le point de la droite tracée précédemment, d'abscisse 8 ; on lit son ordonnée 114,5 à peu près. \end{enumerate} \item %Ajustement à l'aide d'un logiciel %Un logiciel de calcul propose d'ajuster le nuage de points à l'aide d'une partie de la courbe d'équation $y = 0{,}3x^2 + 0{,}1x + 99{,}9$. %La courbe $\mathcal{C}$ est tracée en annexe 3, à rendre avec la copie. \begin{enumerate} \item %Déterminer l'ordonnée du point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse 8. Calcul : $y = 0,3 \times 8^2 + 0,1 \times 8 + 99,9 = 119,9$. \item %On suppose que le modèle défini par la courbe $\mathcal{C}$ reste valable pour l'année 2007. %Donner, selon ce modèle, la valeur de l'indice pour 2007. 2007 correspond toujours à $x = 8$, donc d'après le calcul précédent on prévoit pour cette année un indice de 119,9. On peut aussi graphiquement trouver l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 8 ; on lit à peu près 120. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip %L'extrait de feuille de calcul ci-dessous donne partiellement le nombre de SMS* interpersonnels émis par téléphone en France lors des années 2001 à 2007. Le format d'affichage sur la plage de cellules B3:H3 est un format numérique à zéro décimale. % %{\small (*) Un SMS ou Short Message Service est un message texte, également appelé texto, envoyé d'un téléphone à un autre.} % %\medskip % %\renewcommand{\arraystretch}{1.5} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline %&\multicolumn{1}{c|}{A}&B&C&D&E&F& G&H\\ \hline %1& Année &2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007\\ \hline %2&Nombre de SMS interpersonnels (en millions)&\nombre{3234}&\nombre{5877}&\nombre{8410}&&\nombre{12712}&\nombre{15023}&\nombre{17546}\\ \hline %3& Indice&100&182&260&335&&465&543\\ \hline %\multicolumn{9}{r}{\emph{Source ARCEP Volumes de la messagerie interpersonnelle}}\\ %\end{tabularx} % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer le nombre de millions de SMS interpersonnels émis au cours de l'année 2004 (arrondir à l'unité). Avec un indice de 334 en 2004 pour un indice de référence de 100 en 2001, on trouve $\np{3234}\times \dfrac{335}{100} = \np{10833,9} \approx \np{10834}$. \item %Calculer l'indice de l'année 2005 (arrondir à l'unité). Il y a eu \np{12712} SMS en 2005 pour un indice de référence de 100 en 2001 qui correspondait à \np{3234} messages. L'indice pour 2005 est donc égale à : $\dfrac{\np{12712}}{\np{3234}} \times 100 \approx 393,07 \approx 393$. \end{enumerate} \item %Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellules C3:H3. On écrit en C3 : = 100*C2/\$B2. \item %Dans cette question les résultats seront arrondis à 1\:\%. \begin{enumerate} \item %Donner le taux d'évolution du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007. Le taux d'évolution de l'année 2001 à l'année 2007 est égal à $\dfrac{\np{17546} - \np{3234}}{\np{3234}} \approx 4,425$, soit un taux de 443\,\% environ. \item %Calculer le taux d'évolution moyen annuel du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007. Le taux d'évolution global est égal à $4,42 + 1 = 5,42$. Il faut donc trouver le nombre $t$ tel que : $(1 + t)^6 = 5,42$ soit $1 + t = 5,42^{\frac{1}{6}}$, d'où $t = 5,42^{\frac{1}{6}} - 1 \approx 0,325$, ce qui correspond à un taux d'évolution moyen annuel de 33\,\% environ. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip %Une entreprise comprend $375$~salariés. Elle dispose d'un restaurant d'entreprise. % %Une enquête a été réalisée sur la fréquentation de ce restaurant par les salariés de cette entreprise. % %Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous. % %\medskip % %\renewcommand{\arraystretch}{1.5} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline %&Hommes& Femmes& Total\\ \hline %Nombre de salariés qui mangent régulièrement au restaurant d'entreprise& 110& 55& 165\\ \hline %Nombre de salariés qui mangent occasionnellement au restaurant d'entreprise& 42& 33& 75\\ \hline %Nombre de salariés qui ne mangent jamais au restaurant d'entreprise&58& 77& 135\\ \hline %Nombre total de salariés& 210& 165& 375\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip % %On choisit au hasard un salarié dans la liste des $375$~salariés de cette entreprise. Tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis. % %On considère les évènements suivants : % %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[] F : \og Le salarié choisi est une femme \fg ; %\item[] R : \og Le salarié choisi mange régulièrement au restaurant d'entreprise \fg ; %\item[] O : \og Le salarié choisi mange occasionnellement au restaurant d'entreprise \fg. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Traduire par une phrase l'évènement F~$\cap$~R, puis calculer sa probabilité (arrondir le résultat au millième). F~$\cap$~R est l'évènement : \og Le salarié choisi est une femme qui mange régulièrement au restaurant \fg. On a $p(\text{F} \cap \text{R}) = \dfrac{35}{375} \approx 0,147$. \item %Traduire par une phrase l'évènement R~$\cup$~O, puis calculer sa probabilité. R~$\cup$~O est l'évènement : \og Le salarié choisi mange régulièrement ou occasionnellement au restaurant \fg. On a $p(\text{R} \cup\text{O}) = \dfrac{165 + 75}{375} = 0,64$. \item %Calculer la probabilité que, sachant qu'il mange occasionnellement au restaurant d'entreprise, le salarié choisi soit une femme (donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). Il faut trouver $p_{\text{O}}(\text{F}) = \dfrac{33}{75} = \dfrac{11}{25}$ (ou 0,44). \item %Les évènements F et O sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse. On a $p(\text{F}) = \dfrac{165}{375} = \dfrac{11}{25-}$. Comme $p(\text{F}) = p_{\text{O}}(\text{F})$, on peut dire que les évènements F et O sont indépendants. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip %Cet exercice a pour objet une étude de marché pour un article donné. Cette étude de marché a montré que le nombre de personnes désirant acheter cet article est fonction du prix $x$, en euros, auquel il est proposé à la vente. % %Pour cet article et pour un prix $x$, on note $f(x)$ le nombre de milliers d'acheteurs. La fonction $f$ est la fonction de demande. % %Une entreprise décide de fabriquer cet article. Cette entreprise pourra fabriquer $g(x)$ milliers d'articles au prix $x$. La fonction $g$ est la fonction d'offre. % %Les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$ sont données en annexe 1$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %On suppose que pour cet article la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [1~;~12] par : %\[f(x) = 10 - 3\ln (x).\] \begin{enumerate} \item %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$. Sur [1~;~12], \: $f'(x) = - 3 \times \dfrac{1}{x}$ \item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~12]. Comme $w > 0, \: \dfrac{1}{x} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $- 3$. On a donc sur [1~;~12], \:$f'(x) < 0$. \item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~12]. Le résultat précédent montre que sur [1~;~12], $f$ est décroissante de $f(1) = 10$ à $f(12) = 10 - 3 \ln (12) \approx 2,545$. \end{enumerate} \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %On suppose que pour cet article la fonction $g$ est définie sur l'intervalle [1~;~12] par \[g(x) = 2 \ln (x).\] %L'entreprise pourra-t-elle vendre tous les articles qu'elle aura fabriqués si le prix de vente est fixé à 8~\euro{}? Pour un prix de vente fixé à 8~\euro{}, l'entreprise produit $g(8) = 2 \ln (8) \approx 4,159$ milliers d'articles alors que la demande sera de : $f(8) = 10 - 3\ln (8) \approx 3,762$ milliers d'articles. Il y aura donc $\np{4159} - \np{3762} = 387$ articles invendus. \emph{Rem.} On peut voir sur le graphique que pour $x = 8$, la demande est au dessous de l'offre. \item %On se propose de déterminer, à l'aide d'un tableur, la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x)$. %Cette valeur est appelée prix d'équilibre de l'article. %La feuille de calcul de l'annexe 2, donne les valeurs de $f(x)$, les valeurs de $g(x)$ et les valeurs de $g(x) - f(x)$, pour $x$ variant de $7$ à $7,5$ au pas $0,01$. %Sur ce tableur la fonction logarithme népérien se note LN( ) et pour les colonnes B, C et D le format d'affichage est un format numérique à trois décimales. \begin{enumerate} \item %Donner une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B2:B52. On écrit dans B2 : = 10 - 3*LN(A2) \item %Donner une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules D2:D52. On écrit dans D2 : = C2 - B2 \item %Donner la valeur du prix d'équilibre (arrondir au centime d'euro). Il faut trouver dans le tableau $x$ ou $f()$ et $g(x)$ sont les plus proches. On trouve environ 7,39~euros. \item %Déterminer le nombre d'articles qui seront achetés si le prix de vente est égal au prix d'équilibre. On calcule $f(7,39) = 10 - 3 \ln (7,39) \approx \np{3,9996} \approx \np{4,000}$ et $g(7,39) = 2 \ln (7,39) \approx \np{4,0002} \approx \np{4,000}$. On trouve dans les deux cas environ \np{4000} articles vendus. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(12,10) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(12,10) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(12,10) \psplot[linecolor=blue]{1}{12}{10 x ln 3 mul sub} \psplot[linecolor=green]{1}{12}{x ln 2 mul} \rput(6,11){\textbf{ANNEXE 1}} \uput[dl](0,0){O}\uput[u](4,6){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[d](4,2.8){$\mathcal{C}_{g}$} \end{pspicture} }\hfill \parbox{0.35\linewidth}{\scriptsize{$\begin{array}{|*{5}{c|}} \multicolumn{5}{c}{\textbf{ANNEXE 2}}\\ \hline &A&B&C&D\\ \hline 1& x& f(x)& g(x)& g(x)-f(x)\\ \hline 2& 7,00& 4,162& 3,892& -0,270\\ \hline 3& 7,01& 4,158& 3,895& -0,263\\ \hline 4& 7,02& 4,154& 3,898& -0,256\\ \hline 5& 7,03& 4,149& 3,900& -0,249\\ \hline 6& 7,04& 4,145& 3,903& -0,242\\ \hline 7& 7,05& 4,141& 3,906& -0,235\\ \hline 8& 7,06& 4,137& 3,909& -0.228\\ \hline 9& 7,07& 4,132& 3,912& -0,221\\ \hline 10& 7,08& 4,128& 3,915& -0,234\\ \hline 11& 7,09& 4,124& 3,917& -0,207\\ \hline 12& 7,10& 4,320& 3,920& -0,200\\ \hline 13& 7,11& 4,115& 3,923& -0,192\\ \hline 14& 7,12& 4,111& 3,926& -0,185\\ \hline 15& 7,13& 4,107& 3,929& -0,178\\ \hline 16& 714& 4,103& 3,931& -0,171\\ \hline 17& 7,15& 4,099& 3,934& -0,164\\ \hline 18& 7,16& 4,094& 3,937& -0,157\\ \hline 19& 7,17& 4,090& 3,940& -0,150\\ \hline 20& 7,18& 4,086& 3,943& -0,144\\ \hline 21& 7,19& 4,082& 3,945& -0,137\\ \hline 22& 7,20& 4,078& 3,948& -0,130\\ \hline 23& 7,21& 4,074& 3,951& -0,123\\ \hline 24& 7,22& 4.069& 3,954& -0,116\\ \hline 25& 7,23& 4,065& 3,956& -0,109\\ \hline 26& 7,24& 4,061& 3,959& -0,102\\ \hline 27& 7,25& 4,057& 3,962& -0,095\\ \hline 28& 7,26& 4,053& 3,965& -0,088\\ \hline 29& 7,27& 4,049& 3,968& -0,081\\ \hline 30& 7,28& 4,045& 3.970& -0,074\\ \hline 31& 7,29& 4,040& 3,973& -0.067\\ \hline 32& 7,30& 4,036& 3,976& -0,061\\ \hline 33& 7,31& 4,032& 3,978& -0,054\\ \hline 34& 7,32& 4,028& 3,981& -0,047\\ \hline 35& 7,33& 4,024& 3,984& -0,040\\ \hline 36& 7,34& 4,020& 3,987& -0,033\\ \hline 37& 7,35& 4,016& 3,989& -0,026\\ \hline 38& 7,36& 4,012& 3,992& -0,020\\ \hline 39& 7,37& 4,008& 3,995& -0,013\\ \hline 40& 7,38& 4,004& 3,998& -0,006\\ \hline 41& 7,39& 4,000& 4,000& 0,001\\ \hline 42& 7,40& 3,996& 4,003& 0,007\\ \hline 43& 7,41& 3,992& 4,006& 0,014\\ \hline 44& 7,42& 3,987& 4,008& 0,023\\ \hline 45& 7,43& 3,983& 4,011& 0,028\\ \hline 46& 7,44& 3,979& 4,014& 0,034\\ \hline 47& 7,45& 3,975& 4,016& 0,041\\ \hline 48& 7,46& 3,971& 4,019& 0,048\\ \hline 49& 7,47& 3,967& 4,022& 0,054\\ \hline 50& 7,48& 3,963& 4,024& 0,061\\ \hline 51& 7,49& 3,959& 4,027& 0.068\\ \hline 52& 7,50& 3,955& 4,030& 0,075\\ \hline \end{array}$}} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 3\\ À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(0.5,99)(8.5,122) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Ox=0.5,Oy=99]{->}(0.5,99)(9,122) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0.5,99)(8.5,122) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.5}{8.4}{x dup mul 0.3 mul 0.1 x mul add 99.9 add} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,100)(2,101.5)(3,102.8)(4,104)(5,107.1)(6,109.4)(7,113.5) \multido{\n=1.5+1.0}{8}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,99)(\n,122)} \uput[u](7,115.5){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}