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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STG Mercatique Antilles--Guyane~\decofourright\\septembre 2008}} 
    
\vspace{0,25cm}

Coefficient 3 et 4 pour gestion des systèmes d'information  \hfill DurŽée 3 heures

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisŽée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)

Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire $0,5$~point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On place un capital de 100~euros à 3,8\,\% par an à intérêts composés.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $D_{n}$ le capital obtenu au bout de $n$ années, On a donc $D_{0} = 100$.
 
La suite $\left(D_{n}\right)$ ainsi obtenue est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.} arithmétique de raison $1,038$& 
\textbf{b.} géométrique de raison $1,038$& \textbf{c.} géométrique de raison $3,8$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Le prix de l'immobilier dans une ville a augmenté de 22\,\% en un an.

 Le taux d'évolution mensuel moyen équivalent, arrondi à $0,001$\,\%, est de :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}   
\textbf{a.}~~ 1,833\,\% & \textbf{b.}~~ 1,017\,\% &	\textbf{c.}~~ 1,671 \,\% \\
\end{tabularx}

\medskip
\item  Pour tout nombre réel $x$ strictement positif, la fonction $f$ définie par : 

$f(x) = x^2- \ln (x)$ 
admet pour fonction dérivée la fonction $f'$ définie par : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}   
\textbf{a.}~~ $f'(x)  = \dfrac{2x^2-1 }{x}$&
\textbf{b.}~~ $f'(x) = \dfrac{2x- 1}{ x}$& 
\textbf{c.}~~ $f'(x) = x^2 - \dfrac{1}{x}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
\item On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Sachant que la carte tirée est un c{\oe}ur,  la probabilité que ce soit un roi est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}   
\textbf{a.}~~ $\dfrac{1}{2}$&\textbf{b.}~~ $\dfrac{1}{4}$&\textbf{c.}~~ $\dfrac{1}{8}$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} 

\medskip

L'évolution des ventes d'un produit fabriqué par une entreprise est donnée dans le tableau suivant : 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&1999 	&2000 	&2001 	&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 \\ \hline
Ventes $y_{i}$ 
(en millions d'unités)	&200 	&202 	&213 	&225 	&233 	&241 	&247 	&252 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 
 
1 cm pour une année sur l'axe des abscisses ; 

1 cm pour 10~millions sur l'axe des ordonnées (graduer l'axe des ordonnées à partir de 190). 
\item  Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points, Placer G dans le repère précédent. 

\medskip

\end{enumerate}

On cherche à faire une prévision pour l'année 2009. Dans ce but, on propose deux modèles. 

\bigskip

\textbf{Partie B : Modèle affine}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite ($D$) d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à l'unité). 
\item Tracer cette droite dans le repère précédent. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Modèle exponentiel} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ~;~ 10]$  par : $f(x) = 1 99\text{e}^{0,04x}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Quel est le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~10]$ ? Justifier la réponse. 
\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira à l'unité) : 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline 
$f(x)$	&	&	&216&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip
 
Indiquer pour chacun des deux modèles, les prévisions que l'on peut effectuer sur le nombre de ventes du produit durant l'année 2009. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~13] par :

\[f(x) = x \ln (x) - 3x + 10. \]

Une entreprise fabrique du dissolvant chimique. Lorsque l'entreprise fabrique $x$ centaines de litres par jour, le coût moyen de production du litre est égal à $f(x)$ ($x$ est compris entre 1 centaine et 13 centaines). Ce coût est exprimé en euros. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si l'entreprise produit 500~litres par jour, quel sera le coût moyen de production du litre, en euros, arrondi au centime ? 
\item Montrer que $f'(x) = \ln(x) - 2$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1~;~13]. 
\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis établir le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~13]. 
\item En déduire le nombre de litres à produire par jour pour que le coût moyen de production du litre soit minimum. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au litre près. 

Préciser alors la valeur arrondie au centime du coût moyen de production du litre correspondant. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

À l'aide d'une machine, un supermarché contrôle l'authenticité de \np{2000}~billets de banque. Les coupures de 20~\euro{} représentent 40\,\% de l'ensemble des billets contrôlés. 

On a détecté 5 fausses coupures. Les billets de 20~\euro{} représentent 60\,\% des fausses coupures.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant. Faire figurer le détail des calculs sur votre copie.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} 
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Coupure de 10~\euro 	&Coupure de 20~\euro&Coupure de 50~\euro&Total \\\hline
Billets falsifiés		&						&					& 2				& \\ \hline 
Billets authentiques	&600 					&					&				&\\ \hline
Total 					&						&					&				&\np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
Dans les questions suivantes, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible.

Un billet est choisi au hasard parmi les \np{2000} billets contrôlés. 
 
On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $F$ : \og le billet choisi est falsifié \fg{} ; 
\item[] $C$ : \og le billet choisi est une coupure de 50~\euro{} \fg{} ;
\item[] $V$ : \og le billet choisi est une coupure de 20~\euro{} \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item  Définir par une phrase l'évènement $V \cap F$ et calculer $p(V \cap F)$. 
\item  Calculer la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$ notée $p_{C}(F)$. 
\item  Calculer $p(F)$. Peut-on dire que les évènements $F$ et $C$ sont indépendants ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}
\end{document}