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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small{métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}
%\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration  ~\decofourright\\[5pt] Métropole 19 juin 2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}  

\vspace{0.25cm}

\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A}

Un salon de thé propose deux types de desserts : des gaufres et des parts de tarte maison.

La gérante a remarqué que :
\begin{itemize}
\item 70\,\% des clients prennent une boisson chaude, les autres prennent une boisson froide.
\item Parmi les clients prenant une boisson chaude, 50\,\% prennent une gaufre, 30\,\% une
part de tarte et les autres ne prennent pas de dessert.
\item Parmi les clients prenant une boisson froide, 70\,\% prennent une gaufre, 20\,\% une part
de tarte et les autres ne prennent pas de dessert.
\item Aucun client ne prend plusieurs desserts.
\end{itemize}

On interroge au hasard un client de ce salon de thé.

On considère les évènements suivants :
\begin{description}
\item[] $H$ : le client prend une boisson chaude,
\item[] $G$ : le client prend une gaufre,
\item[] $T$ : le client prend une part de tarte,
\item[] $S$ : le client ne prend pas de dessert.
\end{description}

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter l’arbre ci-dessous :

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$H$~}\taput{0,70}}
	{
	\TR{$G$}\taput{$\np{0.50}$}
	\TR{$T$}\tbput{}
	\TR{$S$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{H}$~}\tbput{}}
	{\TR{$G$}\taput{}
	\TR{$T$}\tbput{}
	\TR{$S$}
}
}
\end{center} 

\item Traduire par une phrase l’évènement $H \cap G$, puis calculer sa probabilité.
\item Montrer que la probabilité que le client prenne une gaufre est égale à 0,56.
\item  Sachant que le client prend une gaufre, quelle est la probabilité qu’il prenne une boisson
chaude ?
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une machine se charge de remplir automatiquement les gaufriers.

La masse de chaque gaufre, exprimée en grammes, est modélisée par une variable aléatoire M
qui suit la loi normale d’espérance \textmu = 80 et d’écart-type $\sigma= 7$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité que la masse d’une gaufre soit comprise entre 70 g et 90 g.
\item On ne souhaite commercialiser une gaufre que si sa masse est supérieure à 75 g.
Déterminer la probabilité qu’une gaufre soit commercialisable.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le salon de thé est ouvert de \np[h]{9} à \np[h]{19}.

Le nombre de clients présents dans le salon est modélisé par la fonction $f$ définie sur [0 ; 10]
par :
\[f(t)= -0,5t^3 + 6,75t^2 - 21t+ 35,\]

où $t$ désigne le temps en heures écoulé depuis \np[h]{9}.
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$. Interpréter le résultat.
\item Montrer que $f'(x) = (3 - 1,5t)(t- 7)$.
\item Étudier le signe de $f'(t)$, puis en déduire le tableau de variation de $f$ sur [0; 10].
\item À quelle heure le nombre de clients attendus dans le salon est-il maximal ? Donner une estimation du nombre maximal de clients attendus.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\vspace{0.5cm}


Pour la France, les dépenses touristiques intérieures annuelles effectuées dans les restaurants
et cafés entre les années 2011 et 2015 sont données dans le tableau suivant :

\smallskip

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{5.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année 									&2011 	&2012	&2013	& 2014	&2015\\\hline
Dépense touristique intérieure dans
 lesrestaurants et cafés (en milliards
  d’euros).								&19,1	&19,4 	&19,9	&20,4	&20,5\\\hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source : Insee, DGE, compte satellite du tourisme-base 2010.}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que le taux d’évolution annuel moyen des dépenses touristiques intérieures dans
les restaurants et cafés entre 2011 et 2015, arrondi au centième, est égal à 1,78\,\%.
\end{enumerate}
Pour prévoir les dépenses touristiques intérieures effectuées dans les restaurants et cafés, on
modélise la situation par une suite $\left( u_n\right)$ où $u_n$ est la dépense en $2015 + n $ exprimée en
milliards d’euros. On a donc $u_0 = 20,5$. On admet pour la suite de l’exercice que la dépense
touristique intérieure augmentera de 2\,\% par an à partir de 2015.
\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire que la suite $\left( u_n\right)$
est géométrique.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20,5\times 1,02^n$.
\item Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour la dépense touristique intérieure dans
les restaurants et cafés en 2023 ? On arrondira le résultat au milliard d’euros.
\item Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’à la fin de son exécution, la variable $U$
soit égale à la dépense touristique intérieure dans les restaurants et cafés de l’année $2015 + n$
pour un entier naturel $n$ donné.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
 $U\longleftarrow$ \dotfill\\
 \hline\\
Pour $I$ variant de 1 à $n$\\
 \hspace{2em}$U$ \dotfill\\
Fin Pour\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item En utilisant la méthode de votre choix, déterminer à partir de quelle année la dépense
touristique intérieure dans les restaurants et cafés dépassera 26 milliards d’euros.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}  

\vspace{0.5cm}


Voici le tableau décrivant les différentes tâches pour la préparation d’une tarte à la rhubarbe
meringuée.

Pour réaliser cette recette, on part du principe que certaines tâches peuvent être réalisées
simultanément par plusieurs personnes.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Tâche& Description de la tâche & Temps en minutes&Tâches à réaliser auparavant\\
\hline 
A& Éplucher et découper la rhubarbe en dés& 8&\\\hline
B &Mettre la rhubarbe dans un plat et verser le sucre &2& A\\\hline
C &Préchauffer le four à 180°C (thermostat 6)& 8&\\\hline
D &Préparer la pâte& 8&\\\hline
E &Laisser reposer la pâte &15 &D\\\hline
F& Étaler la pâte dans le moule beurré et saupoudrer de farine& 4& E\\\hline
G& Égoutter la rhubarbe et la verser sur la pâte& 5& B et F\\\hline
H& Enfourner &20& C et G\\\hline
I& Préparer la garniture &4&\\\hline
J& Sortir du four et ajouter la garniture sur la tarte&1 & I et H\\\hline
K& Enfourner à nouveau& 10& J\\\hline
L& Monter les blancs en neige& 5 &I\\\hline
M& Incorporer aux blancs le sucre& 2& L\\\hline
N& Sortir du four et étaler le mélange sur la tarte &2& M et K\\\hline
O& Mettre sous le grill& 5& N\\\hline
P& Sortir du four et laisser refroidir& 30& O\\\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item Compléter le graphe donné en annexe pour respecter l'ordonnancement des tâches de cette
recette. Indiquer au-dessus de chaque flèche le temps nécessaire à l'exécution de la tâche
d'origine.

Par exemple, sur le graphe donné en annexe, la flèche allant de A vers B et pondérée par le
nombre 8 indique que la tâche A dure 8 minutes et qu’elle doit se faire obligatoirement avant
la tâche B.
\item Quel est le temps minimum pour réaliser cette recette ? Expliquer.
\end{enumerate}
\newpage


\framebox[14.5cm]{
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\textbf{Annexe exercice 3\\
Cette page est à rendre avec la copie d'examen}
\end{center}
\end{minipage}}

%\begin{center}
\psset{shortput=tablr}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-3)(0,8)
\Cnode[radius=0.3cm](0,3){Z}\rput(0,3){\tiny Début}
\Cnode[radius=0.3cm](3,4.5){B}\rput(3,4.5){\large B}
 \Cnode[radius=0.3cm](3,3){E}\rput(3,3){}
\Cnode[radius=0.3cm](4.5,3){F}\rput(4.5,3){}
 \Cnode[radius=0.3cm](6,3){G}\rput(6,3){}
 \Cnode[radius=0.3cm](7.5,3){H}\rput(7.5,3){\large H}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,6){C}\rput(1.5,6){\large C}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,4.5){A}\rput(1.5,4.5){\large A}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,3){D}\rput(1.5,3){\large D}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,1.5){I}\rput(1.5,1.5){\large I}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,0){L}\rput(1.5,0){}
\Cnode[radius=0.3cm](6,0){M}\rput(6,0){\large M}
\Cnode[radius=0.3cm](7.5,1.5){J}\rput(7.5,1.5){}
\Cnode[radius=0.3cm](9,1.5){K}\rput(9,1.5){}
\Cnode[radius=0.3cm](10.5,1.5){N}\rput(10.5,1.5){}
\Cnode[radius=0.3cm](12,1.5){O}\rput(12,1.5){\large O}
\Cnode[radius=0.3cm](13.5,1.5){P}\rput(13.5,1.5){\large P}
\Cnode[radius=0.3cm](15,1.5){Y}\rput(15,1.5){Fin}
\ncline{->}{Z}{D}\ncline{->}{A}{B}^8\ncline{->}{D}{E}\ncline{->}{E}{F}\ncline{->}{F}{G}\ncline{->}{G}{H}\ncline{->}{B}{G}\ncline{->}{C}{H}
\ncline{->}{Z}{A} \ncline{->}{Z}{C}\ncline{->}{Z}{I} \ncline{->}{Z}{L}
\ncline{->}{I}{J}\ncline{->}{J}{K}\ncline{->}{K}{N}\ncline{->}{N}{O}\ncline{->}{O}{P}^5\ncline{->}{P}{Y}^{30}
\ncline{->}{H}{J}>{20}\ncline{->}{I}{L}\ncline{->}{L}{M}\ncline{->}{M}{N}_2
\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}