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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours TSA-TSEEAC}
\lfoot{\small{Épreuve commune obligatoire}}
\rfoot{\small 2008}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2008~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile
}}} 

\bigskip

\textbf{\Large ÉPREUVE COMMUNE OBLIGATOIRE}

\bigskip

\textbf{\large QUESTIONS LIÉES\\[12pt]
1 à 5\\[7pt]
6 à 9\\[7pt]
10 à 12\\[7pt]
13 à 17\\[7pt]
18 à 25}

\newpage

\begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center}

\end{center}

Au 1\up{er} janvier 2007, une entreprise comptait $560$ employés, les hommes âgés de plus de 50 ans représentent 12,5\,\% de ce nombre. 

Les femmes sont quatre fois plus nombreuses que les hommes sauf dans la catégorie des employés de plus de 50 ans où les femmes sont seulement deux fois plus nombreuses.

\bigskip


\textbf{Question 1 :} Les hommes de moins de 50 ans représentent

\medskip

\begin{enumerate}
\item 1/4 des employés de moins de 50 ans 
\item 1/5 des employés de moins de 50 ans 
\item 70 personnes
\item 140 personnes
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2:} Le nombre total de femmes employées dans l'entreprise est égal à 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 350
\item 210
\item 140
\item 420
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3:} L'entreprise se développant, elle embauche du personnelle 1\up{er} mars 2007, ce qui a pour effet de porter le nombre total de ses employés à 140\,\% de ce qu'il était précédemment. Le nombre $x$ d'hommes embauchés le 1\up{er} mars 2007 représente le sixième du nombre y de femmes embauchées à cette même date.

Le nombre de personnes embauchées par l'entreprise le 1\up{er} mars 2007 est égal à 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 784
\item 220
\item 140 
\item 336
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4 :} $x$ et $y$ vérifient le système $(S)$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x + y = 224$ et $y = \dfrac{x}{6}$ 
\item $x + y = 336$ et $y = 6x$ 
\item $x + y = 140$ et $y = 6x$
\item $x + y = 224$ et $y = 6x$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5 :} Le système $(S)$ a pour solution

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x = 32$ et $y = 304$
\item $x = 32$ et $y = 192$ 
\item $x =192$ et $y = 32$
\item $x = 20$ et $y = 120$
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\medskip

Un musée pratique des tarifs de visite distincts pour les adultes et pour les enfants; de plus, les jours fériés, le tarif adulte est réduit de 25\,\% et le tarif enfant de 50\,\%. Un jour non férié, la recette a été de \np{2120}~euros pour $140$~entrées adultes et $55$~entrées enfants. Un jour férié la recette a été de \np{1700}~euros pour $180$~entrées adultes et $20$~entrées enfants. On note $x$ le tarif adulte et $y$ le tarif enfant.

\bigskip

\textbf{Question 6 :} Les jours fériés

\medskip

\begin{enumerate}
\item le tarif adulte est de $O,25x$ 
\item le tarif adulte est de $0,75x$ 
\item le tarif enfant est de $0,50x$ 
\item le tarif enfant est de $0,50y$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 7 :} $x$ et $y$ vérifient le système d'équations

\medskip

\begin{enumerate}
\item $140x + 55y = \np{2120}$ et $135x+ 10y = \np{1700}$ 
\item $140x+55y = \np{2120}$ et $45x+10y = \np{1700}$
\item $28x+11y = 424$ et $297x + 22y = \np{3740}$
\item $28x+ 11y = 424$ et $9x + 2y = 340$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 8 :} $x$ et $y$ vérifient

\medskip

\begin{enumerate}
\item $241x = \np{1276}$
\item $y = 116$ 
\item $x =12$
\item $y = 16$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 9 :} Pour les jours fériés

\medskip

\begin{enumerate}
\item le tarif adulte est de 12 euros et le tarif enfant est de 4 euros
\item le tarif adulte est de 3 euros et le tarif enfant est de 2 euros 
\item le tarif adulte est de 9 euros et le tarif enfant est de 4 euros 
\item le tarif adulte est de 9 euros et le tarif enfant est de 8 euros
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE III}\end{center}

On dispose de $26$ jetons identiques. Sur chacun d'eux on inscrit une des 26 lettres de l'alphabet, deux jetons ne portant pas la même lettre. On met ces jetons dans un sac et on en tire deux successivement, sans remise.

\medskip

\textbf{Question 10 :} La probabilité Pc de tirer 2 consonnes est égale à 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\left(\dfrac{1}{26}\right)^2$
\item $\dfrac{20}{26} + \dfrac{19}{25}$
\item $\left(\dfrac{20}{26}\right)^2$
\item $\dfrac{38}{65}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 11 :} La probabilité $P_V$ de tirer 2 voyelles est égale à

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\left(\dfrac{1}{26}\right)^2$
\item $\dfrac{3}{65}$
\item $\left(\dfrac{1}{6}\right)^2= \dfrac{1}{36}$
\item $1 - P_C = \dfrac{27}{65}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 12 :} La probabilité $P$ de tirer les lettres A et B, dans cet ordre, est égale à 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\left(\dfrac{1}{26}\right)^2$
\item $\dfrac{1}{26} + \dfrac{1}{25}$
\item $\dfrac{1}{26} \times \dfrac{1}{25} = \dfrac{1}{650}$
\item $1 - P_C - P_V$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}

\medskip

On considère la suite $x_1 = \dfrac{1}{27},\, x_2 = \dfrac{1}{9},\, x_3 = \dfrac{1}{3},\, x_4 =1,\, x_5 = 3,\, x_6 = 9,\, x_7 = 27$.

\medskip

\textbf{Question 13 :} Cette suite

\medskip

\begin{enumerate}
\item est une progression géométrique de raison égale à $\dfrac{1}{3}$
\item est une progression géométrique de raison égale à 3
\item est une progression arithmétique de raison égale à 3
\item n'est ni une progression arithmétique ni une progression géométrique
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 14 :} On calcule la fonction $y = \ln x$, ln désignant le logarithme népérien, en donnant successivement à $x$ les valeurs précédentes $x_i,\, i$ variant de 1 à 7. On a

\medskip

\begin{enumerate}
\item $y_1 = -3 \ln 3,\, y_6 = 2\ln 3$
\item $y_1 = \dfrac{\ln 3}{3},\, y_6 = 2\ln 3$
\item $y_1 = (\ln 3)^{\frac{1}{3}},\, y_6 =(\ln 3)^2$ 
\item $y_i = \ln \left(3^i\right)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 15:} La suite $\left(y_i\right)$ définie à la question 14 

\medskip

\begin{enumerate}
\item est une progression géométrique de raison égale à $\ln 3$ 
\item est une progression arithmétique de raison égale à $\ln \left(\dfrac{1}{3}\right)$ 
\item est une progression arithmétique de raison égale à $- \ln 3$ 
\item n'est pas une progression arithmétique
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 16 :} De manière générale, si l'on donne à la variable $x$ des valeurs positives $u_1,\, u_2,\, \ldots,\,  u_{n-1},\, u_n$ en progression géométrique de raison $q$, $q$ étant positif et différent de 1, les valeurs correspondantes de $z = \ln x$

\medskip

\begin{enumerate}
\item constituent une progression géométrique de raison $\ln q$
\item constituent une progression arithmétique de raison $- \ln q$
\item constituent une progression arithmétique de raison $\ln q$
\item ne constituent ni une progression arithmétique ni une progression géométrique
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 17:} La suite $z_i$ définie à la question 16

\medskip

\begin{enumerate}
\item est croissante si $q$ est strictement inférieur à 1
\item est décroissante si $q$ est strictement inférieur à 1 
\item est décroissante si $q$ est strictement supérieur à 1 
\item est croissante si $q$ est strictement supérieur à 1
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{PARTIE V}\end{center}

\medskip

On considère la fonction $h$ qui à $x$ réel associe 

\[h(x)= \dfrac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^2}\]

On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ et on désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $h$ dans un repère orthonormal.

\bigskip

\textbf{Question 18 :} La fonction $h$ ainsi obtenue

\medskip

\begin{enumerate}
\item est définie sur chacun des intervalles $]-\infty~;~0[$,\, $]0~;~+\infty[$ 
\item n'est définie que sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$
\item est définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$
\item est définie sur l'intervalle $]-\infty~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 19 :} Sur chacun des intervalles où la fonction $h$ est définie la fonction dérivée $h'$ vérifie

\medskip

\begin{enumerate}
\item $h'(x)= \dfrac{3x^2 - 6x}{2x}$
\item $h'(x)= \dfrac{3x^2 - 6x}{x^2}$
\item $h'(x)= 1 + \dfrac{8}{x^3}$
\item $h'(x)= 1+ \dfrac{8}{x}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 20 :} Sur chacun des intervalles où la fonction $h$ est définie la fonction dérivée $h'$ vérifie

\medskip

\begin{enumerate}
\item $h'(x)= \dfrac{3x - 6}{2}$
\item $h'(x)= \dfrac{(x + 2)\left(x^2 - 2x + 4\right)}{x^3}$ 
\item $h'(x)= \dfrac{x^3 + 8}{x^3}$
\item $h'(x)= \dfrac{x+ 8}{x}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 21 :} La fonction dérivée $h'$

\medskip

\begin{enumerate}
\item est nulle pour $x= - 2$ et elle a, pour $x$ différent de $- 2$ et de $0$, le signe de $x^2(x + 2)$ 
\item est nulle pour $x = - 8$ et elle a, pour $x$ différent de $- 8$ et de 0, le signe de $x(x+8)$ 
\item est nulle pour $x= 2$ et elle a le signe de $3x - 6$
\item est nulle pour $x = - 2$ et elle a, pour $x$ différent de $- 2$ et de $0$, le signe de$- x(x +2)$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 22 :} La fonction $h$ est

\medskip

\begin{enumerate}
\item croissante sur $]-\infty~;~+\infty[$
\item croissante sur $]-\infty~;~0[$ et décroissante sur $]0~;~+\infty[$
\item décroissante sur $]-2~;~0[$ et croissante sur les intervalles $]-\infty~;~- 2[$ et $]0~;~+\infty[$ 
\item décroissante sur $]-8~;~0[$ et croissante sur les intervalles $]-\infty~;~- 8[$ et $]0~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 23 :} La courbe représentative $\mathcal{C}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item coupe l'axe des abscisses en $3$ points
\item coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $x = 1$ 
\item coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $x = - 1$ 
\item ne coupe pas l'axe des abscisses
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 24 :} La courbe représentative $\mathcal{C}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item est tangente à l'axe des abscisses O$x$ au point d'abscisse $x = -2$ 
\item est tangente à l'axe des abscisses O$x$ au point d'abscisse $x = 1$ 
\item est tangente à l'axe des abscisses O$x$ au point d'abscisse $x = - 1$ 
\item est tangente à l'axe des abscisses O$x$ au point d'abscisse $x = 2$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 25 :} L'ensemble des $x$ réels tels que $h(x) > 0$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item ne contient aucun élément
\item est constitué par le seul intervalle $]-\infty~;~-2[$ 
\item est constitué par le seul intervalle $]0~;~+\infty[$ 
\item est constitué par le seul intervalle $] 1~;~+\infty[$
\end{enumerate}
\end{document}