\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{pifont} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{scratch} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {}, pdftitle = {2013}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours TSA-TSEEAC} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small 2013} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Techniciens supérieurs de l'aviation 2013~\decofourright\\[5pt]Techniciens supérieurs des études et de l'exploitation de l'aviation civile }}} \bigskip \textbf{\Large ÉPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE} \bigskip L'usage de calculatrices, de téléphones portables ou de documents personnels n'est pas autorisé \bigskip \textbf{\large QUESTIONS LIÉES} \bigskip \textbf{1 et 2\\[7pt] 3 à 5\\[7pt] 6 à 13\\[7pt] 14 et 15} \end{center} \bigskip \begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center} \bigskip L'espace uni d'un repère orthonormal $\left(O,~\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}\right)$. On note $(D)$ la droite passant par les points A$(1~;~-2, -1)$ et B$(3~;~-5~;~-2)$ et $\left(D'\right)$ la droite ayant pour représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&2 - k\\y&=&1 + 2k\\ z&=&k \end{array}\right., \,\text{avec}\, k \in \R\] On considère le plan $P)$ d'équation : $4x + y + 5z + 3 = 0$ \bigskip \textbf{Question 1 :} \medskip On montre que \medskip \begin{enumerate} \item la droite $(D)$ a pour représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 + 2t\\y&=&- 2 + 3t\\ z&=& 1 + t \end{array}\right.$, avec $t \in \R$ \item la droite $(D)$ est dirigée par dirigée par le vecteur de coordonnées $(-1~;~2~;~1)$ \item les droites $(D)$ et $(D')$ sont parallèles car elles ne sont pas sécantes \item les droites $(D)$ et $(D')$ ne sont pas coplanaires car elles ne sont pas parallèles et n'ont aucun point commun puisque le système $\left\{\begin{array}{l c r} 1 + 2t &=&2 - k\\ - 2 - 3t&=&1 + 2k\\ - 1 - t &=&k \end{array}\right.$ n'a pas de solution \end{enumerate} \newpage \textbf{Question 2 :} \medskip On montre que \medskip \begin{enumerate} \item le plan $(P)$ contient la droite $(D)$ \item le plan $(P)$ contient la droite $(D')$ \item le plan $(P)$ et la droite $(D')$ se coupent en un seul point dont les coordonnées sont $(6~;~-7~;~-4)$ \item le plan $(P)$ et la droite $(D)$ se coupent en un seul point dont les coordonnées sont $(-7~;~10~;~3)$ \end{enumerate} \medskip \begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center} \medskip Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2 + \sqrt{3} + \text{i}$. \bigskip \textbf{Question 3 :} \medskip Le complexe $z_{\text{A}}$ a \begin{enumerate} \item pour module $\left|z_{\text{A}}\right| = 2$ \item pour module $\left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{1 + \text{i}^2} = 0$ \item pour argument arg$\left(z_{\text{A}}\right) = \pi/4$ \item pour argument arg$\left(z_{\text{A}}\right) = 7\pi/4$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 4 :} \medskip La forme algébrique du complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ s'écrit \medskip \begin{enumerate} \item $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i} \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}$ \item $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = -\left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i} \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}$ \item $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3}\right) + \text{i} \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$ \item $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3}\right) + \text{i} \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 5 :} \medskip On en déduit que le complexe $z_{\text{B}}$ a \medskip \begin{enumerate} \item pour module $\left|z_{\text{B}}\right| = 1 + \sqrt{3}$ \item pour module $\left|z_{\text{B}}\right| = \sqrt{6} + \sqrt{3}$ \item pour argument arg$\left(z_{\text{B}}\right) = - \pi/4 + \pi/3 = \pi/12$ \item pour argument arg$\left(z_{\text{B}}\right) = 7\pi/12$ \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{PARTIE III}\end{center} \medskip Soit $n$ un entier naturel. On note $f_n$ la fonction définie sur l"ensemble $\R$ des nombres réels par \[f_n(x)= \dfrac{\text{e}^{-nx}}{\left(1 + \text{e}^{-x}\right)}\] e désigne la fonction exponentielle et ln désigne la fonction logarithme népérien. On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormé. \bigskip \textbf{Question 6 :} \medskip La fonction $f_0$ \begin{enumerate} \item a pour dérivée $f'_0(x) = - \dfrac{1}{\text{e}^{-x}}$ pour tout $x$ réel \item a pour dérivée $f'_0(x) = - \dfrac{\text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x}\right)^2}$ pour tout $x$ réel. \item est décroissante sur $\R$ \item est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$ et croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 7 :} \medskip On établit que \medskip \begin{enumerate} \item la fonction $f_0$ a pour limite 0 lorsque $x$ tend vers $-\infty$ et 1 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ \item la fonction $f_0$ a pour limite 1 lorsque $x$ tend vers $-\infty$ et 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ \item la courbe $\mathcal{C}_0$ admet pour asymptotes les droites d'équation $y = 0$ et $y = 1$ \item la courbe $\mathcal{C}_0$ admet pour asymptotes horizontales les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 8 :} \medskip On montre que \medskip \begin{enumerate} \item $f_0(x) = - f_1(- x)$ pour tout $x$ réel \item $f_0(x) = f_1(-x)$ pour tout $x$ réel \item la fonction $f_1$ est strictement croissante sur $\R$ car $f'_1(x) = f'_0(- x) > 0$ pour tout $x$ réel \item la fonction $f_1$ est strictement décroissante sur $\R$ car $f'_1(x) = - f'_0(x) < 0$ pour tout x réel \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 9 :} \medskip On établit que \medskip \begin{enumerate} \item les courbes $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ sont symétriques par rapport à 1 ordonnées car $f_0(x) = f_1(- x)$ pour tout $x$ réel \item les courbes $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées car $f_0(x) = -f_1(- x)$ pour tout $x$ réel \item les courbes $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ sont des droites parallèle \item les courbes $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ ont un point commun de coordonnées $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 10 :} \medskip Pour tout n entier supérieur ou égal 2, la fonction $f_n$ \medskip \begin{enumerate} \item n'admet pas de limite en $-\infty$ \item a pour limite 1 lorsque $x$ tend vers $-\infty$ \item a pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et $0$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$ \item a pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ et 0 lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 11 :} \medskip Pour tout $n$ entier supérieur ou égal 2, la fonction $f_n$ \medskip \begin{enumerate} \item a pour dérivée $f'n(x) = \dfrac{n\text{e}^{-nx}}{\text{e}^{-x}}$ pour \item a pour dérivée $f'n(x) = - \dfrac{n\text{e}^{-nx} + (n - 1)\text{e}^{(n- 1)x}}{\left(\text{e}^{-nx} + \text{e}^{(n-1)x}\right)^2}$ \item est décroissante et minorée par $0$ sur $\R$ \item est croissante et minorée par $0$ sur $\R$ \bigskip Pour tout entier naturel $n$, \, $u_n$ représente l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 12 :} \medskip La suite $\left(u_n\right)$ vérifie \medskip \begin{enumerate} \item $u_1 = - \dfrac{\text{e}^{-1}}{1 + \text{e}^{-1}} + \dfrac{1}{2}$ et $u_0 = 1- u_1$ \item $u_1 = \ln (2) - \ln \left(1 + \text{e}^{-1}\right)$ et $u_0 = 1 - \ln (2) + \ln \left(1 + \text{e}^{-1}\right) )$ \item $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{2}$ pour tout $n$ entier naturel \item $0 \leqslant u_n \leqslant \displaystyle\int_0^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$ pour tout $n$ entier naturel \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 13 :} \medskip La suite $\left(u_n\right)$ \medskip \begin{enumerate} \item n'est pas convergente car elle est croissante et non majorée \item est convergente car elle est croissante et majorée \item est convergente car elle est décroissante et minorée \item a pour limite $0$ car, pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$ \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{PARTIE IV} \end{center} La durée de vie d'un téléphone portable (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), mesurée en années, est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda$ réel strictement positif. Pour tout $t$ réel positif, on note $p(X \leqslant t)$ la probabilité qu'un téléphone portable ait une durée de vie inférieur à $t$ années. e désigne la fonction exponentielle et ln la fonction logarithme népérien. \bigskip \textbf{Question 14 :} \medskip On suppose, dans cette question, que la probabilité qu'un téléphone portable portable ait une durée de vie strictement supérieure À deux années est égale à $\text{e}^{-2}$, on a \medskip \begin{enumerate} \item $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_0^1 \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$ pour tout t réel positif \item $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_0^1 \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x = \dfrac{1 - \text{e}^{-\lambda t} }{\lambda}$ \item $\lambda = \dfrac{\ln \text{e}^2}{2} = 1$ \item $\lambda = \dfrac{\ln \frac{\text{e}^2}{\text{e}^2 - 1}}{2}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Question 15 :} \medskip Reprenant la valeur du paramètre $\lambda $ de la question précédente, on note $p_{X>1}(X > 4)$ la probabilité qu'un téléphone portable ait une durée de vie supérieure à 4 années sachant qu'il n'a pas eu de panne au cours de la première année. On a \begin{enumerate} \item l'espérance de $X$ vaut $E(X) = \lambda = 1$ \item l'espérance de $X$ vaut $E(X) = \displaystyle\int_0^t \lambda x \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{\lambda} = 1$ \item $p_{X>1}(X > 4) = p(X > 4) = 1 - p(X \leqslant 4) = \text{e}^{-4}$. \item $p_{X>1}(X > 4) = \dfrac{P(X > 4)}{p(X > 1)} = \dfrac{(1- p(X \leqslant 4}{1- p \leqslant 1} = \dfrac{\text{e}^{-4}}{\text{e}^{-1}}$ \end{enumerate} \end{document}