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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Étude et réalisation d'agencement}}
\rfoot{\small{10 mai 2021}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 10 mai 2021\\[5pt] Étude et réalisation d'agencement}}

\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1  \hfill 10 points}

\medskip 

Une piscine municipale doit subir une réhabilitation. Le conseil municipal a donc décidé d'installer un faux-plafond acoustique et a choisi pour cela un modèle de \og panneaux courbes\fg{} reproduisant une vague.

\medskip

\textbf{Document 1 : Informations sur la salle}

\medskip

Le bassin de 25 m et sa pataugeoire sont situés dans une salle parallépipèdique de 35 m de largeur, 40 m de longueur et 20 m de hauteur.

\bigskip

\textbf{Document 2 : Plan des \og panneaux courbes \fg{} choisis}

\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{plafond}

Vue du plafond en perspective
\end{center}&\begin{center}
Profil d'un \og panneau courbe\fg{} de longueur curviligne $L$ 
\psset{unit=0.0035cm}
\begin{pspicture}(-100,-500)(1880,2200)
\psframe[linewidth=2pt](0,0)(1785,1700)
\multido{\n=0.000+121.429}{15}{\psline[linewidth=2pt](0,\n)(1785,\n)}
\psframe*(565,0)(638,1700)
\psframe*(1147,0)(1220,1700)
\psline{<->}(0,-50)(565,-50)\psline{<->}(638,-50)(1147,-50)\psline{<->}(1220,-50)(1785,-50)
\uput[d](282.5,-50){565}\uput[d](869.5,-50){509} \uput[d](1406.5,-50){565}
\psline{<->}(-50,0)(-50,1700)\psline{<->}(1820,1578.5)(1820,1457.1) 
\rput{90}(1880,1500){100}\rput{90}(-100,850){1700}
\psline{<->}(0,1750)(1785,1750)
\rput(892.5,-200){\og Panneau courbe \fg}. 
\rput(892.5,-300){L'unité est le millimètre}
\uput[u](892.5,1785){1785}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{0}{1785}{0.41855 x mul x dup mul 0.00023 mul sub 1800 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{0}{1785}{0.41855 x mul x dup mul 0.00023 mul sub 1820 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{0}{1785}{0.41855 x mul x dup mul 0.00023 mul sub 1850 add}
\psline{->}(80,1880)(0,1850)\psline{->}(1705,1900)(1785,1868)
\uput[u](892.5,2030){$L$}
\end{pspicture}
\end{center}\\
\end{tabularx}

\bigskip

Document 3 : Assemblage de 3 \og panneaux courbes \fg

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{ERA_2_2021}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Document 4 : Document technique}

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,2.4)
\psframe[linewidth=1.25pt,framearc=0.5](4.5,2.4)
\uput[r](0,2.1){\Large Grill technique}
\uput[r](0,1.4){\Large acoustique }
\uput[r](0,0.7){\Large courbe SLOOP}
\end{pspicture}
\end{center}
\hspace{3.5cm}\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{X}
\textbf{Dimensions:} 1700 x 1785 mm\\ 
\textbf{Epaisseur:} 34 mm\\
\textbf{Pourcentage moyen de vide:} 80\,\% permettant une excellente circulation de l'air pour des conditions d'aération et d'hygiène accrues.\\
\textbf{Poids/m$^2$:} 19 kg.\\
\textbf{Procédé industriel de fabrication:}\\
Entaillage. Technologie d'assemblage tenons-mortaises garantissant une tenue parfaite des grills techniques courbes.\\ 
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{center}Les exercices 1 et 2 ci-après sont indépendants\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 Étude des \og panneaux courbes \fg \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Détermination du nombre de panneaux nécessaires}

\medskip

En disposant la partie linéaire des \og panneaux courbes\fg{} dans le sens de la largeur, un nombre entier de ces panneaux suffit afin d'équiper le plafond, laissant ainsi un espace le long des murs. Justifier que cette installation nécessite 440 \og panneaux courbes \fg.

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude analytique de la courbe}

\medskip

On modélise le profil d'un \og panneau courbe\fg{} à l'aide d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [0~;~\np{1785}]$ et dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormé est donnée ci- dessous:

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.00625cm}
\begin{pspicture}(-200,-200)(2000,500)
\multido{\n=-200+200}{12}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-200)(\n,500)}
\multido{\n=-200+200}{4}{\psline[linewidth=0.1pt](-200,\n)(2000,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=200]{->}(0,0)(-200,-200)(2000,500)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1785}{0.4056 x mul x dup mul 0.0002272 mul sub }
\uput[d](892.5,-65){\boldmath $892,5$}\uput[dl](0,181){\boldmath $181$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,183)(892.5,183)(892.5,0)
\uput[ur](1600,80){\red $\mathcal{C}$}\uput[ur](1785,0){\boldmath $\np{1785}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On admet:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] que la courbe $\mathcal{C}$ correspond à une portion de parabole de sommet B(892,5~;~181) ;
\item[$\bullet~~$] les résultats suivants: $f(0) = 0$ ; $f(892,5) = 181$ ; $f(\np{1785}) = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation graphique de chacune de ces égalités.
		\item Indiquer le numéro du document qui permet de connaître la valeur $181$ présente dans la deuxième égalité de la question précédente.
		\item Déterminer les valeurs des réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x \in I$,\,  $f(x) = ax^2 + bx + c$. 
		
On pourra donner la valeur arrondie du réel $a$ à $10^{-5}$ et celle du réel $b$ à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Dans la suite, on décide de considérer que la fonction $f$ s'exprime désormais pour tout $x \in I$, par $f(x) = - \np{0,0002272} \left(x^2 - \np{1785}x\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in I$.
		\item Comparer $f'(0)$ et $f'(\np{1785})$. 

Grâce à quel aspect technique ce résultat était-il prévisible ? (on indiquera le numéro du document utilisé)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Détermination de la surface et de la masse totale}

\medskip

Une fois les \og panneaux courbes\fg{} assemblés, un tissu acoustique en fil de verre est tendu et collé à chaud sur les panneaux. On souhaite connaître la surface totale de tissu nécessaire. Pour cela, il faut calculer la longueur curviligne $L$ de l'arc de chaque panneau.

On admet que

\[L = \displaystyle\int_0^{\np{1785}} \sqrt{1 + (f'(t))^2}\:\text{d}t\]

Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
1					&$f(x): = \np{0.00023}*(x^2 - \np{1785}*x)$\\
$\bullet$			& $\to f(x) := \dfrac{23}{\np{100000}}\left(x^2 - \np{1785}x\right)$\\ \hline
2					& Dérivée$(f(x))$\\
\pscircle(0,0){0.1}&$\to \dfrac{23}{\np{100000}}(2x - \np{1785})$\\ \hline
3					&$g(x) : =\text{sqrt}(1 + (f'(x)^2))$\\
$\bullet$			&$\to g(x) := \dfrac{1}{\np{100000}}\sqrt{\np{2116}x^2 - \np{3777060} x + \np{11685513025}}$\\ \hline
4					&Intégrale$(g(x),0, \np{1785})$\\
\pscircle(0,0){0.1}&\np{1833.95}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Donner la valeur arrondie de L à $10^{-2}$

Calculer la surface totale de tissu nécessaire, en m$^2$, au m$^2$ près.

En déduire la masse totale des $440$ \og panneaux courbes\fg. (on précisera le numéro du document utilisé)

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\quad Étude statistique des suspentes \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément}

\medskip

Dans ce qui suit, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.

Le système de suspente de chaque panneau est composé de deux tiges filetées, l'une de longueur $500$ mm, l'autre de longueur $862$ mm et de deux écrous combifix.

La ville possède un stock important de chacun de ces éléments dans lequel vont être prélevées les quantités nécessaires.

\bigskip

\textbf{Partie A : Loi normale}

\medskip

Une tige filetée dite \og de 500 mm \fg{} est considérée comme conforme lorsque sa longueur appartient à l'intervalle $[499,45~;~500,55]$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tige de ce type prélevée au hasard dans le stock, associe sa longueur en mm.

On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $500$ et d'écart-type $0,25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans le stock soit conforme pour la longueur.
\item Déterminer un nombre réel $h$ positif tel que $P(500 - h \leqslant X \leqslant 500 + h) \approx 0,95$.

Interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Loi binomiale}

\medskip

Dans le stock, 1\,\% des tiges filetées dites \og de 862 mm \fg{} sont non conformes.
Pour mettre en œuvre le plafond suspendu choisi, on prélève $440$ tiges. 

Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $440$ tiges. 

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de $440$ tiges, associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur.
\item Calculer $P(Y = 0)$.

Interpréter ce résultat dans le contexte.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Intervalle de confiance}

\medskip

Dans cette question, on s'intéresse au diamètre des écrous, exprimé en millimètres. Un écrou est jugé conforme si son diamètre appartient à l'intervalle [5,98~;~ 6,01]. 

On souhaite estimer la proportion inconnue notée $p$ d'écrous non conformes dans le stock.

Pour la déterminer, on prélève au hasard et avec remise un échantillon de $50$ écrous dans le stock et on mesure leur diamètre. Les résultats sont donnés ci-dessous :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diamètre en mm &5,97 &5,98 &5,997& 6,00 &6,01 &6,02 &6,03\\ \hline
Effectif &1 &3 &9 &22 &13 &1 &1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle f de la proportion inconnue $p$ d'écrous non conformes.
\item En déduire un intervalle de confiance de la proportion $p$ au risque de 5\,\%. 

On rappelle que l'intervalle de confiance d'une proportion $p$ avec 95\,\% de confiance est :

\[I = \left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 -f)}{n-1}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 -f)}{n -1}}\right]\]

\item On considère l'affirmation suivante: \og la proportion $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question C. 2 \fg. Est-elle vraie ?
\end{enumerate}
\end{document}