par Paul
Halmos,

traduit par Martine Bellaïch de
Linear Algebra Problem Book, the
Mathematical Association of America,
1995.

Cassini, collection L n° 1, avril 2011.
380 p. en 12,5x 19.

ISBN : 978-2-84225-089-8, 15€.

Paul-Halmos (1916-2006) est connu internationalement
pour la qualité des nombreux
livres d’enseignement qu’il a écrits pour les
étudiants en mathématiques de 1942 à la fin
du siècle. Il faut donc féliciter les éditions
Cassini de nous donner une traduction d’un
ouvrage d’algèbre linéaire rassemblant des
problèmes et destiné aux étudiants des premières
années d’université, qu’ils se destinent
à la recherche en mathématique ou à son
utilisation comme discipline de service.

Le livre est divisé en trois parties :
 les énoncés s’articulant les uns aux autres
et précédés chacun d’une entrée en matière,
 des indications de quelques lignes facilitant
les déblocages et la recherche,
– et enfin les solutions détaillées.

Il aborde tous les aspects de l’algèbre linéaire,
tels qu’ils figurent dans les programmes
de licence :
 1) Scalaires (Transformations affines, éléments
neutres, groupes, corps).
 2) Vecteurs (Espaces vectoriels, sous- espaces,
dépendance).
 3) Bases (Changements de bases, bases
incomplètes, dimension d’un espace quotient).
 4) Transformations (Image et noyau, inversibilité,
déterminants, matrices, projecteurs).
 5) Dualité (Dual, annulateurs, transposition).
 6) Similitude (Changement de base, rang
d’une somme et d’un produit, équivalence).
 7) Formes canoniques (Valeurs propres, triangularisation,
nilpotence, forme de Jordan).
 8) Espaces hermitiens (Produit scalaire,
adjoints, formes quadratiques, projections).
 9) Normalité (Diagonalisation des hermitiens,
Matrices de Gram, racines carrées non
positives, …).

Ce qui frappe immédiatement le lecteur, c’est
la grande liberté qu’a prise l’auteur pour le
parcours qu’il propose ; il ne s’agit pas d’un
manuel, et l’exposé n’est nullement progressif
 : les problèmes vont et viennent d’un sujet
à l’autre, du plus facile au plus difficile et de
nouveau au plus facile ; ainsi la place d’un
énoncé ne fournit aucune indication sur les
méthodes à employer ni sur sa difficulté :
certains sont accessibles aux débutants,
d’autres feront sécher les experts. La solution
contient parfois des commentaires qui ne
peuvent être donnés auparavant sans vendre
la mèche.

Ce qui fait le charme du livre c’est la fraicheur
du style qui aide le lecteur à progresser.

Remercions la traductrice d’avoir su transmettre
cette fraicheur et donnons-en
quelques exemples :

La meilleure façon (et même la seule façon
convaincante) de répondre à des questions
sur l’ensemble vide est de se demander
quand elles pourraient être fausses.

C’est un bon principe en mathématiques, si
on a pu faire quelque chose une fois, d’essayer
de répéter, encore et encore, c’est-à-dire
d’itérer quand c’est possible.

La démonstration du cas général comporte
un petit piège.

De nouvelles idées et des méthodes plus
sophistiquées sont nécessaires. Elles existent,
mais elles viendront plus tard.

La démonstration prend une ligne, mais il
faut penser à une astuce.

Un livre à recommander chaleureusement à
tous les étudiants, en particulier aux candidats
au CAPES, mais aussi à tous ceux qui
utilisent régulièrement l’algèbre linéaire
dans leur activité professionnelle, par
exemple les statisticiens, les gestionnaires ou
les médecins.